线性代数拔高试题及详细作答

线性代数拔高试题及详细作答考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，向量β₁=2α₁+α₂，β₂=α₁-α₂，β₃=α₃+α₁，则向量组β₁,β₂,β₃的秩为（）。A.1B.2C.3D.不能确定2.设A是n阶矩阵，且A²-A=O，则下列结论正确的是（）。A.A必为可逆矩阵B.A必为不可逆矩阵C.A的秩为n-1D.A的特征值只能是0或13.设V₁={x∈R⁴|x=(1,a,a,a)ᵀ,a∈R}，V₂={x∈R⁴|x=(0,1,b,b)ᵀ,b∈R}，则V₁与V₂的维数分别为（）。A.1,1B.1,2C.2,1D.2,24.设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若AB=O，且B的列向量组线性无关，则下列结论正确的是（）。A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.r(A)+r(B)=nD.r(A)≤n-r(B)5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+ax₃²+4x₁x₂+6x₁x₃+2x₂x₃的正惯性指数为2，则实数a的取值范围是（）。A.a>1B.a<-3C.-3<a<1D.a≤-3或a≥1二、填空题（每题4分，共20分）6.设A是3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______。7.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性相关，则α₁,α₂,α₃中至少有______个向量是零向量。8.设A=(aᵢⱼ)₃×₃是可逆矩阵，且AᵀA=E，则a₁₁+a₂₂+a₃₃=______。9.设n阶矩阵A的特征值为1,2,...,n，则|A|=______。10.设R⁴的两个基为B={β₁,β₂,β₃,β₄}和B'={β₁,β₂,β₃,γ}，其中γ=β₁+β₂+β₃+β₄。若向量α在基B下的坐标为(1,1,1,1)ᵀ，则α在基B'下的坐标为______。三、计算题（每题7分，共28分）11.计算行列式|A|，其中A=[(1+a)⁻¹,1,1;1,(1+b)⁻¹,1;1,1,(1+c)⁻¹]。12.已知向量组α₁=(1,1,1)ᵀ,α₂=(1,1,0)ᵀ,α₃=(1,0,0)ᵀ，求该向量组的秩，并判断向量β=(1,2,3)ᵀ是否在此向量组生成的线性空间中。若在，求β由α₁,α₂,α₃线性表示的表达式。13.设矩阵A=[(1,0,1);(2,1,3);(3,2,5)],B=[(2,1);(1,3);(4,5)]。求矩阵X，使得3AX-2BᵀX+E=O，其中E为2×2单位矩阵。14.设向量组α₁=(1,1,2,3)ᵀ,α₂=(1,3,-x,-1)ᵀ,α₃=(1,-1,6,5)ᵀ。问x为何值时，向量组α₁,α₂,α₃线性相关？此时求其一个极大无关组。四、证明题（每题9分，共18分）15.设A是n阶正定矩阵，证明：存在n阶正定矩阵B，使得A=B²。16.设A是n阶矩阵，且满足A²=A。证明：(1)A的特征值只能是0或1。(2)r(A)+r(A-E)=n。试卷答案一、单项选择题1.C2.D3.B4.B5.C二、填空题6.167.28.19.n!10.(1,1,1,-1)ᵀ三、计算题11.解：利用行列式性质，将第二、三行分别加到第一行，得：|A|=|(a+1+a+1+a+1,1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1)|=|(3a+3,6,6)|=6*|(a+1,1,1;1,a+1,1;1,1,a+1)|（将第一行提出公因数6）=6*[(a+1)*|(a+1,1,1;1,a+1,1;1,1,a+1)|（对第一行展开）-1*|(1,1,1;1,a+1,1;1,1,a+1)|（对第一行展开）+1*|(1,1,1;a+1,1,1;1,1,a+1)|]（对第一行展开）=6*[(a+1)*(a+1)²-1*[(a+1)*(a+1)-1*1]+1*[1*(a+1)-1*1]]=6*[(a+1)*(a²+2a+1)-(a²+2a)]=6*[a³+3a²+3a+1-a²-2a]=6*(a³+2a²+a+1)=6(a³+2a²+a+1)12.解：构造矩阵(α₁,α₂,α₃,β)=[(1,1,1,1;1,1,0,2;1,0,0,3)]，进行初等行变换化为行阶梯形：[(1,1,1,1;1,1,0,2;1,0,0,3)]→[(1,1,1,1;0,0,-1,1;0,-1,-1,2)]→[(1,1,1,1;0,1,1,-2;0,0,-1,1)]→[(1,0,0,3;0,1,1,-2;0,0,1,-1)]→[(1,0,0,3;0,1,0,-1;0,0,1,-1)]向量组α₁,α₂,α₃的秩为3。由于β的第四个分量不为0，向量β=(1,2,3)ᵀ在该向量组生成的线性空间中。令x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β，得方程组：x₁+x₂+x₃=1x₁+x₂=2x₁=3解得x₁=3,x₂=-1,x₃=-2。所以β=3α₁-α₂-2α₃。13.解：方程可化为(3A-2Bᵀ)X=-E。计算3A-2Bᵀ：3A=[(3,0,3);(6,3,9);(9,6,15)]2Bᵀ=[(4,2);(2,6);(5,10)]3A-2Bᵀ=[(3-4,0-2);(6-2,3-6);(9-5,6-10)]=[(-1,-2);(4,-3);(4,-4)]求(3A-2Bᵀ)的逆矩阵。设B=[(b₁,b₂);(b₃,b₄);(b₅,b₆)](3A-2Bᵀ)B=[(-1,-2),(4,-3),(4,-4)]*[(b₁,b₂);(b₃,b₄);(b₅,b₆)]=[(-b₁-2b₃-4b₅,-b₂-2b₄-4b₆);(4b₁-3b₃-4b₅,4b₂-3b₄-4b₆);(4b₁-4b₃-4b₅,4b₂-4b₄-4b₆)]=[(0,0);(0,1);(0,0)]得到方程组：-b₁-2b₃-4b₅=0-b₂-2b₄-4b₆=04b₁-3b₃-4b₅=04b₂-3b₄-4b₆=14b₁-4b₃-4b₅=04b₂-4b₄-4b₆=0由前两个方程，b₅=-(b₁/4+b₃/2)。由第四个方程，4b₂-3b₄-4b₆=1。由第五个方程，b₃=b₁。代入前两个方程，b₅=-(b₁/4+b₁/2)=-(3b₁/4)。由第六个方程，b₆=-(b₂/4+b₄/4)。将b₃=b₁,b₅=-(3b₁/4),b₆=-(b₂/4+b₄/4)代入第四个方程：4b₂-3b₄-4(-(b₂/4+b₄/4))=14b₂-3b₄+b₂+b₄=15b₂-2b₄=1取b₂=1,b₄=(5/2)。则b₆=-(1/4+5/8)=-3/8。所以B=[(b₁,1);(b₁,(5/2));(-(3b₁/4),-(3/8))].(3A-2Bᵀ)B=[(-b₁-2b₃-4b₅,-b₂-2b₄-4b₆);(4b₁-3b₃-4b₅,4b₂-3b₄-4b₆);(4b₁-4b₃-4b₅,4b₂-4b₄-4b₆)]=[(0,0);(0,1);(0,0)]所以(3A-2Bᵀ)B=E。令X=B，则(3A-2Bᵀ)X=E。即X=(3A-2Bᵀ)⁻¹。X=[(1/4,1/8,-1/8);(1/8,-3/16,1/16);(-1/4,1/8,-1/8)]即X=[(1/4,1/8,-1/8);(1/8,-3/16,1/16);(-1/4,1/8,-1/8)]14.解：构造矩阵(α₁,α₂,α₃)=[(1,1,1;1,3,-x;2,-1,6)]，进行初等行变换化为行阶梯形：[(1,1,1;1,3,-x;2,-1,6)]→[(1,1,1;0,2,-x-1;0,-3,4)]向量组α₁,α₂,α₃线性相关的充要条件是其秩小于3，即存在非零向量k=(k₁,k₂,k₃)ᵀ，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，即：k₁(1,1,2)ᵀ+k₂(1,3,-x)ᵀ+k₃(1,-1,6)ᵀ=(0,0,0)ᵀ得到方程组：k₁+k₂+k₃=0k₁+3k₂-k₃=02k₁-xk₂+6k₃=0由第一、二个方程，得k₃=-k₁-k₂。代入第三个方程：2k₁-xk₂+6(-k₁-k₂)=02k₁-xk₂-6k₁-6k₂=0(-4k₁)+(-x-6)k₂=0若要存在非零解，则系数行列式为0：(-4)*(-x-6)=04(x+6)=0x+6=0x=-6当x=-6时，向量组线性相关。此时，矩阵化为：[(1,1,1;0,2,5;0,-3,4)]→[(1,1,1;0,2,5;0,0,19/2)]秩为3，说明x=-6是唯一的使得向量组线性相关的值。极大无关组为α₁,α₂。四、证明题15.证明：由A是正定矩阵，知A是对称矩阵(Aᵀ=A)，且A的所有特征值λᵢ>0(i=1,...,n)。对二次型f(x)=xᵀAx，由正定性的定义，f(x)>0对所有非零向量x成立。设A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则存在正交矩阵P，使得PᵀAP=Λ=diag(λ₁,λ₂,...,λₙ)。令B=PΛ^(1/2)Pᵀ。由于P是正交矩阵，PᵀP=E，且Λ^(1/2)=diag(√λ₁,√λ₂,...,√λₙ)是对角矩阵，其对角元为正数。所以B是对称矩阵(Bᵀ=(PΛ^(1/2)Pᵀ)ᵀ=P(Λ^(1/2))ᵀPᵀ=PΛ^(1/2)Pᵀ=B)。计算B²：B²=(PΛ^(1/2)Pᵀ)(PΛ^(1/2)Pᵀ)=PΛ^(1/2)(PᵀP)Λ^(1/2)Pᵀ=PΛΛ^(1/2)Pᵀ=PΛPᵀ=A。因此，B是正定矩阵(因为B是对称矩阵且特征值λᵢ^(1/2)>0)。得证。16.证明：(1)设λ是A的特征值，x是对应的特征向量(x≠0)，则Ax=λx。两边左乘A，得A²x=A(λx)=λ(Ax)=λ²x。又由A²=A，得Ax=λx。所以λ²x=λx。即(λ²-λ)x=0。因为x≠0，