配方法的十大应用（专项训练）-浙教版八年级数学下册（解析版）

专题03配方法的十大应用（举一反三专项训练）

【新教材浙教版】

飕题型归纳

【题型1利用配方法求参数（范围）】............................................................1

【题型2利用配方法比较代数式大小】............................................................3

【题型3利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】.......................................6

【题型4利用配方法求最值问题】................................................................10

【题型5利用配方法确定三角形的形状】..........................................................13

【题型6利用配方法解决几何问题】.............................................................16

【题型7配方法在二次根式中的应用】...........................................................22

【题型8配方法在分式中的应用】...............................................................24

【题型9利用配方法在实数范围内分解因式】.....................................................27

【题型10利用配方法解决新定义问题】...........................................................29

举一反三

【题型1利用配方法求参数（范围）】

【例1】）已知实数九，c满足ri?—m+Xc=0,n=12m2-12m+c2则"的取值范围是（）

44

A.nN—B.ri>—C・几之一2D.ri>-2

44

【答案】A

【分析】由m2-m+工。=0变形得nt?一6=_!c,代入n=12由？-12m+c?+；中得到n=c?-3c+L

4444

再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案.

【详解】vm2-ni+-c=0

4

二m2—771----1C

4

•••7U2—771=（771—1）2—

•••C<1

•••n=12m2-12m+c2+7=12（m2-m）+c2+7=12x（-7C）+cz+7=c2-3c+7

44444

...n=（c-|）2-2

故选:A.

【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键.

【变式1-1](24-25九年级上•江苏宿迁•期末)已知a,匕满足(a?+4。+7)(〃-6b+11)=6,则2a+8=()

A.-6B.-1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题考杳了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质：将(。2+4。+7)(块一6匕+11)=6变形，

然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出Q、匕的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：(a2+4a+7)(b2-6b4-11)=6.

[(a+2尸+3][(Z>—3)2+2]=6,

•••(a+2产NO(6-3)2NO,

13当a+2=0,b-3=0时，[(a+2)2+3][(b-3)2+2]=6,

解得：Q=-2,b=3,

:.2a+b

=2x(-2)+3

=-4+3

=-1»

故选：B.

【变式1-2]无论x为何值，关于)的多项式・%2+3x+阳的值都为负数，则常数加的取值范围是()

9Q

A.m<-9B.--C.inOD.m<-

22

【答案】B

【分析】首先判断出：-5户〃?=3>+〃吟然后根据偶次方的非负性质，可得巧《3”+〃?*〃吟

再根据无论x为何值，-*+3户机<0,推得机+：V0,据此判断出常数/〃的取值范围即可.

【详解】解：回-1(J2-6.V+9)+〃?+：=-1(x-3)；+机+：

回■工(%-3)2<0,

2

[99

0--（x-3）2+???+-<///+-»

222

回无论x为何值，-1X2+3.V+//?<0,

9

2

解得

故选:B.

【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键.

【变式1-3]（24-25九年级上•江苏泰州•期中）已知7九+n=4,mn-p2+8p>20,则7mlp的值为.

【答案】16

【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先由m+n=4得m=4-①将其代入nrn-p2+8p>20

后，将不等式整理并配方得（ri-2）2+（p-4）2<0,根据非负数的性质可得几=2,p=4,进而可得血=2,

再将〃?、〃、〃的值代入nmp即可得答案.

【详解】解：所n+n=4,

（3m=4-n,

将n=4-九代入nm-p2+Bp>20得：（4-n）n-p2+8p>20,

整理后配方可得：（ri-2尸+（p-4尸WO,

回ri-2=0,p—4=0,

回—2,p=4,

0m=4—2=2,

0mnp=2x2x4=16,

故答案为:16.

【题型2利用配方法比较代数式大小】

【例2】（2025•安徽六安•一模）已知了，y,z为实数，且y+z=5-4%+3/,z-y=1-2%+公，则》,y,z

之间的大小关系是（）

A.x<y<zB.y<x<zC.y<z<xD.z<x<y

【答案】A

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用.先根据已知等式求出y=/-x+2,z=2x2-

3x+3,再利用完全平方公式判断出y>x,z>y,由此即可得出答案.

【详解】解:团y+z=5—4无+3x2,z-y=1-2x+x2,

解得y=x2—x+2,z=2x2—3x+3,

0y-x=x2-x+2-x=x2-2x+2=(x-l)2+l>O,

0y>x：

0z-y=1-2x+x2=(x-l)2>0,

I3z>y,

0%<y<z,

故选:A.

【变式2-1】阅读以下材料：

利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些同题，如小+2a-4=小+2。+1-1

4=(Q+1)2-5

团(。+I)2>0,

0a24-2a—4=(a4-1)2—5>—5,

因此，代数式。2+2。一4有最小值一5

根据以上材料，解决下列问题：

⑴代数式一2Q+2的最小值为；

2

(2)试比较Q2+b+11与6a-2b的大小关系,并说明理由；

(3)已知:a—b=2,ab+c2-4c+5=0,求代数式a+b+c的值.

【答案】⑴1

(2)a2+b2+11>6a-2b,见解析

(3)2

【分析】(1)将代数式小-2。+2配方可得最值；

(2)作差并配方，可进行大小比较；

(3)变形后得：a=b+2,代入处+c2—4c+5=0中，再利用配方法即可解决问题.

【详解】(1)解：a2-2a4-2=(a2-2a4-1)4-1=(a-I)2+1,

2

H(Q-l)>0,

0(a-I)2+1>1,

即代数式a?-2a+2的最小值为1；

故答案为：1;

(2)a2+b2+11>6a—2b,理由如卜：

a24-b24-11—(6a—2b)

=a2+b2+11—6a+2b

=(a2-6a+9)+(b24-2/?+1)+1,

13("3尸>0,(b+l)2>0,

0a2+/?2+ll>6a-2b；

(3)0a-b=2,

0a=b+2,

0a/»+c2—4c+5=0,

助(b+2)+c2-4c+5=0,

国(b+l)2+(c—2)2=0,

助+1=0,c-2=0,

助=-1,c=2,

0a=-1+2=1,

回Q+匕+c=l—l+2=2.

【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值

问题，属于中考常考题型.

【变式2-2](24-25九年级上•全国•单元测试)已知P=^m-2,Q=m2-^m,当m取任意实数时，则P、

Q的大小关系为()

A.总有PNQB.可能P=QC.总有PVQD.不确定

【答案】C

【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用作差法得到Q-P=(m-1)2+1,据此可得结论.

【详解】解：—2,Q—m2—

0Q—P=m2—1|m+2=m2—2m+2=(m—l)2+1,

团(m-1)2>0,

0(7n-l)2+1>1,

0Q-P>1>0,

团总有P<Q,

故选：c.

【变式2-3】设x,y都是实数，请探究下列问题，

⑴尝试：①当％=-2,丫=1时，丁%2+、2=5,2xy=-4,x2+y2>2xy.

②当x=1,y=2时，vx2+y2=5,2xy=4,x2+y2>2xy.

③当x=2,y=2.5时,vx2+y2=10.25,2xy=10,x2+y2>2xy.

⑷当x=3,v=3时，vx24-y2=18,2xy=18,•••x24-y22xv.

⑵归纳：始+丫2与2孙有怎样的大小关系？试说明理由.

⑶运用：求代数式/+9的最小优

【答案】（1）=

（2）x2+y2>2xy,理由见解析；

⑶代数式/+爰的最小值为8.

【分析】（1）求得/+y2=18,2xy=18,得到/+y2=2到；

（2）结合完全平方的非负性即可解答；

（3）利用归纳的结论即可求解.

【详解】（1）解：当x=3,y=3时，丁/+V=18,2xy=18,

:x2+y2=2xy,

故答案为：=：

（2）解：x2+y2>2xy,理由如下，

0X2-2xy4-y2=（x-y）2>0,

0x2+y2>2xy；

（3）解:Ox2+y2>2xy,

址2+W22/・W=8,

X2X2

历代数式/+［的最小值为8.

xz

【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键.

【题型3利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】

【例3】【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如a/+双+线。=0）的多项式变形为以％+小）2+几的形

式，我们把这样的变形方法叫做多项式a/+.+。伍/0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能

对一些多项式进行因式分解或有关运算.

例如：对于a2+6a+8.(1)用配方法分解因式：(2)当a取何值，代数式。2+6a+8有最小值？最小值

是多少？

解：(1)原式=M+6Q+8+1-1

=G24-6a+9—1

=(a+3)2-1

=[(a+3)+l][(a+3)-l]

=(a+4)(a+2).

(2)由(1)得：a2+6a+8=(a+3产-1,

•••(a+3)2>0,

(n+3)z—1>-1»

•••当a=-3时，代数式a?十Ga十8有最小值，最小值是一1.

【问题解决】利用配方法解决下列问题：

⑴用配方法因式分解：X2+2X-8；

(2)试说明不论m为何值，代数式-m2+4m-5恒为负数；

(3)若已知(a+c)(b-a)=+c)2且Q。0,求与£的值.

【答案】⑴(％+4)(%-2)

⑵见解析

(3)2

【分析】(1)根据题干信息，利用配方法分解因式即可：

(2)先利用配方法将一环+4m-5变形为一(m-2/一1,根据二次方的非负性，求出一小+4m-5的值

恒为负数；

(3)先将(a+c)(b—a)—：(b+c)?变形为(2a—b+c)2—0,得出2a—b+c—0,即可求出-2.

【详解】(1)解：X2+2X-8

=J2+2x+1-9

=(%+I)2-9

=(x+1+3)(%+1-3)

=(x+4)(x-2).

(2)解：v-m24-4m-5

=-(m2—4m+4)—1

=-(m—2/—1,

(m-2)2>0,

•••-(m-2)2<0,

•••-(m-2)2-1<-1<0

二不论？n为何值，代数式一根2+一5恒为负数.

(3)解：:(。+。)(6—。)=[(8+(?)2,

:.ab-a2+be-ac=^(b2+2bc+c2),

•••4ab—4a2+4bc—4ac=b2+2bc+c2,

•••(4a2-4ab+b2)+2(2a-b)c+c2=0,

•••(2a-b)2+2(2a-b)c+c2=0,

•••(2a-b+c)?=0,

2a—b+c=0,

:.2a=b—c,

•••aH0,

=2.

a

【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌喔完全平方公式小±2ab+炉=(°±5尸.

【变式3-1](24-25九年级上•甘肃•期中)用配方法求证：代数式4/一8%+9的值恒为正数.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到4/一取+9=4(%—1)2+5,再根据偶次方的非

负性得到4(%—1)2+525,据此可证明结论.

【详解】证明：4/-8%4-9

=(4/-8%+4)+5

=4(x2—2x4-1)4-5

=4(x-l)2+5,

0(x-l)2>0,

04(x-l)2>0,

04(x-l)2+5>5,

团代数式4产一8x+9的值恒为正数.

【变式3-2】不论x,y取何值，代数式9/+4y2+6%-8y+2的值()

A.总不小于一3B.总不大于一3C.总大于2D.总小于2

【答案】A

【分析】通过配方可把代数式9/+4V2+6》一8y+2变形为(3X+1)2+4(y-l)2-3,由非负数的知识可

知该代数式的值总不小于-3.

【详解】解：09x2+4y2+6%-8y+2

=9J2+6x+1+4y2-8y+4-3

=(3x+l)2+4(y-l)2-3

又以3x+l)2>0,(y-I)2>0,

09x2+4y2+6x-8y+2>-3,

即代数式9%2+4y2+6x-8y+2的值总不小于-3.

故选：A.

【点睛】本题灵活运用配方法和非负数概念，考杳了计算、推理能力和数学整体思想.

【变式3-3](24-25八年级上•福建漳州•期中)我们把多项式M+2ab+b2Ra2-2ab+必叫做完全平方式,

如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，

再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，

不仅可以将•个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决•些与非负数有关的问题或求代数式最大值，

最小值等

例如：分解因式：x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-I)2-22=(x-1+2)(x-1-2)=(x4-l)(x-

3)

⑴请用上述方法把/+4%+3分解因式；

(2)求多项式/+10%+26的最小值;

⑶试说明：无论又、y取任何实数时，多项式/+丫2一4%+2丁+6的值总为正数.

【答案】⑴0+3)(X+1)

(2)1

⑶见解析

【分析】本题考查/配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的

数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数

式最大值，最小值等.

(1)按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可；

(2)利用配方法将多项式变形为(工+5>+1,然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式好+10%+26

的最小值；

(3)利用配方法将多项式变形为(工-2产+(y+1)2+1,然后利用完全平方式的非负性即可得出结论.

【详解】(1)解：x2+4%+3

=X2+4%4-4-1

=(x+2)2-1

=(x+2+l)(x+2-l)

=(x+3)(%+1)；

(2)加至：x2+10x十26

=x2+10x+25+1

=0+5尸+1,

回(x+5)2>0,

12(%+5t+1>1,

13多项式%2+10X+26的最小值为1：

(3)解：^x2+y2-4x+2y+6

=严一4%+4+V+2y+1+1

=(%-2尸+(y+1)2+1,

又以％—2/NO,(y+l)2>0,

22

0(x-2)+(y+l)+l>l>O；

(3无论》、y取任何实数时，多项式/+y2-4x+2y+6的值总为正数.

【题型4利用配方法求最值问题】

【例4】教科书中这样写道："我们把多项式小+2立+垓及Q2-2ab+b2叫做完全平方式〃，如果一个多项

式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项,

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将•个看

似不能分解的多项式分解因式，逐能解决一些与非负数有关的同题或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解困式

x24-2x—3=x2+2x+l—1—3=(%2+2x+1)—4=(x+I)2—4=(x4-14-2)(x+1—2)=

(x+3)(%-1)；

例如：求代数式2/+4%—6的最小值为2/4-4x—6=2(x2+2x)—6=2(x2+2x4-1—1)-6=

20+1)2—8.可知当％=-1时，2/+4%一6有最小值，最小值是一8,根据阅读材料用配方法解决下列问

题：

⑴分解因式：m2-4m-5=______；

⑵当。为何值时，多项式-小+4。+18有最大值，并求出这个最大值；

(3)当4,〃为何值时，多项式Q2+3/?2+4Q—6匕+27有最小值，并求出这个最小值.

【答案】⑴(m+l)(m-5)；

(2)2,22；

(3)a=-2,b=1,20.

2

［分析］(1〉根据阅读材料，先将_4m-5变形为血？_47n+4-9,再根据完全平方公式写成(m-2)-

9,然后利用平方差公式分解即可解答；

(2)利用分解因式将多项式-M+4a+18转化为一(。—2)2+22,然后利用非负数的性质即可解答；

(3)利用分解因式将多项式小+3匕2+4Q—6b+27转化为(a+2尸+3(匕-1)2+20,然后利用非负数的

性质即可解答.

【详解】(1)解：m2—4m—5=m2-4m4-4—9=(ni—2)2—9=(m+l)(m—5).

(2)解:0—a2+4a4-18=—(a2—4a4-4)+44-18=—(a-2)2+22,

回当a=2时，多项式一a?+4。+18有最大值22.

22

(3)(3)ISM+3〃+4。―6b+27=a2+4Q+4+3s2-2b4-1)4-20=(a+2)+3(b-I)+20,

团当Q=-2,b=l时，多项式M+3〃+4。-6b+27有最小值20.

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解的

方法是解本题的关键.

【变式4-1］若M=x2-4xy+4y2+2%-4y+3,则M的最小值为.

【答案】2

【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行

因式分解是解题的关键.

【详解】解：M=x2-4xy+4y2+2%-4y+3,

=(x-2y¥+2(x—2y)+3,

=(x-2y+l)2+2,

当％-2y+l=0时，原式取最小值2,

故答案为:2.

【变式4-2］(24-25九年级上•江苏镇江•阶段练习)配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式

子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变

形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.已知熨数％、y满足—％2+：%+丫—3=0,则x-2y的最大值

为.

【答案】2

【分析】本题主要考查了配方法的应用，不等式的性质，由己知式子表示出了，代入x-2y中，配方后再利

用非负数的性质以及不等式的性质求出最大值即可.

【详解】解：-x2+^x+y-3=0

,7

y=x2--x+3

乙

x-2y=x-2卜2-+3)

=x-2x2+7x-6

=-2x2+8x-6

=-2(X-2)2+2

团(％—2)2>0,

13-2(X-2)2<0

13-2(%—2尸+2<2,

团当x=2时，%—2y有最大值，最大值为：2.

故答案为：2.

［变式4-3］设实数x,y,z满足x+y+z=1,则河=xy+2yz+3zx的最大值为.

【答案】:

【分析】先将已知等式变形可得z=l-x-y,然后代入M中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非

负性即可求出结论.

(详解］解：0%4-y+z=1

0z=1-x-y

团M=xy+2yz+3zx

=xy+2y(1-x-y)+3x(1-x-y)

=xy+2y-2xy-2y2+3x-3x2-3xy

=-3x2-4xy-2y2+2y+3x

=(-2x2-4xy-2y2)-%2+2y4-3x

=-2(x+y)2+2x+2y-x2+x

=-2[(x+y)2-(x+y)+；-1]-(x2-x+1-i)

=-2(x+y-/-(x-/+渭

=-21+y—j)2-(x-1)2+;

0-2(x+y--(x-1)<0

回-2(x+y-i)2-(%-i)2+芸

0M=xy+2yz+3zx的最大值为:

故答案为：

4

【点睛】此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键.

【题型5利用配方法确定三角形的形状】

【例5】(24-25九年级匕・贵州黔西•期中)阅读下列材料：

配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助.所谓配方，就

是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的.例如：解方程--4%+3=0,则有/-

2

4X+4-4+3=0,/.(x-2)=1,解得%i=3,x2=1-已知/-2%+/+4y+5=0,求x,y的值,

则有(，-2x+1)+(y2+4y+4)=0,(x-+(y+2)2=0,解得％=1,y=-2.

根据以上材料解答下列各题：

⑴若/+6x+y2-8y+25=0,求(x+犷皿的值;

⑵若a,b,c分别表示△48。的三边长，KWJEa2+8b24-c2-4ab-4fec=0,试判断△ABC的形状,并说明

理由.

【答案】⑴1

(2)A/8C为等腰三角形，理由见解析

【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式

是解题的关键.

(1)应用配方法将方程变形为(％+3)2+(y-4)2=0,解方程得到％=-3,y=4,代入(％+丫)?。24计算即

可；

(2)△ABC为等腰三角形，理由：先将方程变形为(a-28)2+(c—28)2=0,解方程得到a=2b,c=2b,

进而得出。二小即可得到结论.

【详解】(1)解：v%24-6x+y2-8y4-25=0,

:.(x2+6x+9)+(y2—8y+16)=0,

/.(r+3)2+(y-4)2=0,

•••x=-3,y=4,

...0+y)2024=(_3+4)2024=12024=1

(2)解：△ABC为等腰二角形.

理由：•••M+8川+c2-4ab-4bc=0,

•••(a2-4ab+4b2)+(c2—4bc+4b2)=0,

•••(a-2b>+(c-2b)2=0,

••a-2b=0,c-2h=0,

二a=2b,c=2b,

•••a=c.

••.△ABC为等腰三角形.

【变式5-1］已知三角形三边长为a、b^c,且满足a?—4b=7,b2—4c=—6,c2-6a=-18,则此三

角形的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无法确定

【答案】A

【详解】解:0/-4b=7,b2-4(--6,c2-6a=-18,

Sa2-4b+b2-Ac+c2-6a=7-6-18.

整理得：a2-6a+9+b2-4/7+4+c2-4c+4=0,

即(a-3)2+(b-2)2+(c-2)2=0,

团a=3,b=2,c=2,

团此三角形为等腰三角形.故选A.

点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解.

【变式5-2】已知a,b,c是ZiABC的三边，若a,b,c满足a?—5a+b?—8b+)c—5+25=0,则ZiABC是_

三角形；若a,b,c满足a2+b?+c2—ab—be—ac=0,则aABC是三角形.

【答案】直角；等边.

【分析】把25分成9、16,利用配方法把a2—6a+b2-8b+闹飞+25=0改写为(a-3尸+(b⑷2+G^=0,利

用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2+b2+c2-ab-bc-ac

=C改写为(a-bF+(b-02+(a©2=0,再利用非负数的性质，可分别求出a、b、c的关系.

【详解】0a2-6a+b2-8b+Vc-5+25=0,

0(a-3)2+(b-4)2+Vc-5=0,

0a=3>b=4,c=5,

[332+42=52,

0AABC是直角二角形；

0a2+b2+c2-ab-be-ac=0,

0(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=O,

l2)a=b,b—c>a=c,

Pla=b=c,

团aABC是等边三角形.

故答案为直角；等边.

【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变

形的过程中不要改变式子的值.

【变式5-3】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做

配方法.如：①用配方法分解因式：a2+6a+8.

解原式=a2+6a4-8+l—l=a2+6a+9—l=(a+3)2—l2=[(a+3)+l][(a+3)—1]=(a+

4)(a+2).

②仞=小一2。一1,利用配方法求M的最小值.

解：Q?—2Q—1=Q2—2a+1—2=(a—1乃一2.

团(a-1)2>0,

自当a=1时，M有最小值-2.

请根据以上材料解决下列问题：

⑴用配方法因式分解：X2+2X-3：

(2)若M=2%2—8%,求M的最小值；

(3)已知a、b、c是△力8C的三条边长.若a、b、。满足小+：炉+5=4a+力一|c一2],试判断△/18C的形

状，并说明你的理由；

【答案】⑴a+3)a—i)

⑵-8

⑶等边三角形，理由见解析

【分析】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性、等边三角形的判定，读懂题意，掌握配方

法是解题关键.

(1)根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；

(2)先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；

(3)先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出mb.c的值，然后判断三角形的形状即可.

【详解】(1)解：x2+2%-3=x2+2%+1-4=(%4-1)2-4=(x+14-2)(%+1—2)=Q+3)(x-1)；

(2)解：M=2x2-8x=2(x2-4x)=2(x2-4x+4)-8=2(x-2)2-8,

(3(x-2)2>0,

0M>-8,

则M的最小值为-8：

(3)解：幽4c是等边三角形，理由如卜•：

0a2+-b2+5=4a+b—|c—2|,

4

团(Q2-4a+4)+(^b2—b+1)+|c-2|=0,

即(a—2)2+-1)+|c—2|=0,

团一-0,刑—1=0,c—2=0,

解得a=2,b=2,c=2,

团Q=b=c,

即AABC是等边三角形.

【题型6利用配方法解决几何问题】

【例6】在△4BC中，24=90。,48=34。=4,〃是△力BC所在平面内一点，则P力？+P8?+PC?的最小值

是.

【答案】V

*5

【分析】本题考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的应用等知识，过P作PD14c于D,过P作

PE1于E,延长CP交4B于M,延长BP交AC于N,设4。=PE=x,AE=DP=y,得出力P?+CP2+Bpi=

3(z-^)2+3(y-l)2+^,即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：如图，过P作尸。_LAC于D,过P作PEJ.4B于E,延长CP交延长BP交

AEMB

0Z/1=90°,PDLAC,PELAB,

团四边形4EPD是矩形，

设AD=PE=x,AE=DP=y,

在Rt/k/lEP中，AP2=x2+y2,

在RtACOP中，CP2=(4—无>+y2,

在BEP中，BP2=x2+(3-y)2,

^AP2+CP2+BP2=x2+y2+(4-x)2+y2+x2+(3-y)2=3x2-8x+3y2-6y+25=3(x-+

3。TH拳

0x=py=l时，Hp2+cp2+£p2的值最小，最小值为日.

【变式6-1](24-25八年级下•安徽宣城•期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还

有其他重要应用，例如：试求二次三项式/+4%+5最小值.

解：%2+4%+5=%24-4x+4+1=(x+2)2+1,

•・•(.+2)2>0,(X+2)2+1>1,

X2+4%+5>1,即％2+4x4-5的最小值是1.

试利用“配方法〃解决下列问题：

⑴已知代数式一27+4%-5,求它的最大值.

⑵比较代数式2—।3x5与3/一x卜1的大小，并说明理由.

⑶知识迁移：

如图，在ABC中，匕C=90。,4c=8cm,8c=6cm,点P在4c边上以2cm/s的速度从点A向C移动，

点。在C8边上以lcm/s的速度从点C向点8移动.若点P,Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也

随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2,运动时间为，秒，求S的最小值.

【答案】⑴-3

(2)37—%+1>2x2+3x—5,理由见解析

⑶20

【分折】本题考查了配方法的应用，二角形的面积，解题的关键是掌握配方法.

(1)利用“配方法”计算即可;

(2)两式相减，差和0比较，确定大小；

(3)S=大三角形面积减去小三角形面积，再把含有/的式子配方，求最小值.

【详解】(1)解：一27+4%-5=-2(/-2¥+1-1)-5=-2(%-1)2-3,

•••-2(x-I)2<0,

—2(%—I)?-3<—3,

-2x2+4x—5的最大值为-3；

(2)(3x2—x+1)—(2x2+3x-5)=x2—4x+6=(x-2)24-2>0

•••(■2)2NO,

(x-2)2+2>2,

•••(x-2)2+2>0

二3x2—x+1>2x2+3%—5；

(3)vAC=8cm,8C=6cm,点P在/IC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以lcm/s的速

度从点。向点8移动

••・点P从4点运动到。点所需时间为B+2=4s,点。从。点运动到8点所需时间为6+1=6s,

•••0<t<4,

S=S4ABe-S3CQ=IxACxBC--xPCxQC,

S=1x8x6-1(8-2t)t,

S=t2-4t+24=(t-2)2+20>20,

，S的最小值为20.

【变式6-2]如图，正方形ABC。的边长为2,点E是边48上的动点,，连接ED、EC,将ED绕点E顺时针旋转90。

得到EN,将“绕点E逆时针旋转90。得到EM,连接MN,则线段MN的取值范围为一.

【答案】4<MN<2\[S/2\[S>MA/>4

【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等一:角形的

判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键.过点M作时尸,力氏交

的延长线于点F,过点N作NGJ./1B,交力8的延长线于点G,作NH_LFM于点H,可证得△MEF三4

ECB(AAS),得出MF=BE=2-x,EF=BC=2,同理：NG=AE=x,EG=AD=2,得出FG=EF+EG=

2+2=4,再证得四边形FGN”是矩形，得出HN=FG=4,FH=NG=x,MH=MF-FH=2-x-x=

2-2x,再运用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：如图，过点M作交84的延长线于点儿过点N作NGJ.48,交AB的延长线于点G,

作NH1FM于点H,

贝IJ/EFM=乙EGN=乙FHN=乙NHM=90°,

由旋转得：EM=EC,EN=ED,Z,CEM=Z.DEN=90%

:.Z.MEF+LCEB=90°,乙DEA+(NEG=90°,

•••Z.MEF4-乙EMF=90°,Z.DEA+LEDA=90°,

；•乙CEB=^EMF,乙NEG=LEDA,

•.•正方形力BCD的边长为2,点E是边4B上的动点，

设4E=x(0WxW2),则BE=2-x,

二AB=AD=BC=2,匕DEA=乙CBE=90°,

在AM"和△ECB中，

(ZEFM=CBE=90°

乙EMF=乙CEB,

(EM=EC

:心MEF三△ECB(AAS),

MF=BE=2-x,EF=BC=2,

同理：NG=AE=x,EG=AD-2,

FG=EF+EG=2+2=4,

•••Z.MFE=乙NGE=Z.FHN=90°,

二四边形FGN"是矩形，

:.HN=FG=4,FH=NG=x,

.--MH=MF-FH=2-x-x=2-2x,

在Rt△MNH中，MN2=MH2+HN2=(2-2x)2+42=4(x-I)2+16,

v0<%<2,

0<(x-l)2<1,

16<4(x-l)2+16<20,

即16<MN2<20,

•••MN>0,

••・线段MN的取值范围为4<MN<2V5.

故答案为：4<MN<2V5.

【变式6-3]（24-25八年级下•江苏南京•期中）如图，已知1力8=10,P为线段48上的一个动点，分别以4RPB

为边在的同侧作菱形4PCO和菱形PBFE,点匕C,E在一条直线上，NU4P=60°,M,N分别是对角线4C,8E

的中点.当点P在线段48上移动时，点MN之间的距离最短为.

DC

【分析】连接PM、PN.首先证明/MPN=90。，设P4=2a,则PB=10-2Q,PM=a,PN=V3（5-a）,

构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法的应用等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用配方法解决最值问题.

【详解】解：连接PM、PN.

•••四边，衫APCO,四边）已。笈尸fi■是菱形，/-DAP=60°,

二Z.APC=120°,乙EPB=60°,

M,N分别是对角线AC,BE的中点,

Z.CPM=-Z.APC=60°,乙EPN=-Z.EPB=30°,

zMP/V=60°+30°=90°,

设"=2a,

则P8=10-2a,PM=a,BN=-BP=S-a

2

PN=\/BP2-BN2=V3(5-a),

；.MN=Ja2+[V3(5-a)]2=V4a2-30a+75=^4(«-^)2+^,

当a=《时，则4(Q-S)2+《=F，此时有最小值，

即a=3时，MN=^4(a—y)2=竽，

团MN有最小值，最小值为第，

故答案为：竽.

【题型7配方法在二次根式中的应用】

【例7】(24-25九年级上•安徽淮北•阶段练习)无论x取任何实数，代数式五2一匕+3都有意义,则k的最

大值为.

【答案】2V3

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次根式有意义的条件，根的判别式，熟练掌握条件是解题的关键.

令)；=*2一依+3,根据题意，得A=(-1)2-4x1x3W0,解答即可.

【详解】解：令y=/一心：+3,

13无论x取任何实数，代数式，一「％+3都有意义,

0y>0,

^x2-kx+3=0的判别式A=(-k)2-4xlx3<0

解得一2次<k<26，

欧的最大值为2vs.

故答案为：2^3.

【变式7-1】我国南宋时期数学家奏九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家

海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记2二竺广，则其面积5=

Jp[p—a)(p—b)(p—c).这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p=3,c=2,则此三角形面积的最大

值是.

【答案】V3

【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解.

【详解】解：即=空产，p=3,c=2,

团3=批”

2

(3a+b=4»

刖二4-b,

团S=Jp(p-a)(p-b)Q-c)

=《3(3-。)(3-8)(3-2)

=《3(3-a)(3-8)

={3[ab-3(a+1)+9]

=《3(帅—3)

=《3g(4-6)-3]

=《3[_Q_2产+1]

团当。二2时，5有最大值为行.

【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题H勺关键是明确题意，表示出相应的三角形的

面积.

【变式7-2]若函数y=42023-X-2021的最大值为M,最小值为例，则£=的为一.

M

【答案】中

【分析】本题考查无埋困数的最值，先求X的取值范围，求yZ=2+M-(x-2022)2+1的最大值和坂小值,

从而求出y的最大值和最小值即可.

4

【详解】y=V2023-X+Vx-20214,

2023-x>0,x-2021>0,

2021<%<2023,

•••y2=2+27(2023-x)(x-2021)=2+2/-(x-2022)2+1,

当％=2022时，户有最大值4,

当％=2021时，必有最小值2,

•••M=2,m=V2,

7n

,.,"—_\历，

M2

故答案为：y.

【变式7-3】已知点尸（。,3匕2一3）,且实数a,b满足Q—4b2+8=0,则点P到原点的最短距离为.

【答案】蔡

【分析】由已知得到点P的坐标为。（。怖。+3）,求得PO=jM+Ga+3）2=J^a2+y+9,利用配方

法求解即可.

【详解】解：0a—4b2+8=0,

13b2=-+2,则3b2—3=?a+3,

44

团P（a,；a+3）,

*。=m+（支+3）2=肾+/+9

5,72144

=-a2+--a4-——

4、2525

=M。+学+罂，

自当Q=一,时，有最小值，

最小值为江弓=片,

4255

（3P。的最小值为何=耳.

故答案为：Y.

【点睛】本题考查了点的坐标，配方法的应用，熟练掌握求解的方法是解决本题的关键.

【题型8配方法在分式中的应用】

【例8】分式好?受中可取的最小值为（）

xz+2x+2

A.4B.5C.6D.不存在

【答案】A

【分析】本题主要考查分式的性质及配方法的应用，熟练掌握分式的性质及配方法的应用是解题的关键；由

6X2+12X+10

题意可变形为=6—,然后根据分式的性质及配方法可进行求解.

X2+2X+2(X41)2+l

【详解】解：由题意得:

6X2+1ZX+1O6(X2+ZX+Z)-Z

=6-^^=6-(^775

X2+2X+2X2+2X+2

Z

若要求得6X+12X+1O的最小值，则需得出/+2%+2的最小值即可,

X2+2X+2

Hz2+2x+2=(x+I)2+1>1,

回/+2x+2的最小值为1,

0^票厂的最小值为4；

x-+2x+2

故选A

【变式8-1】代数式________10105________的最大值是

4x2-i2xy+10y2+6y+i4

【答案】2021

【分析】将分母凑成2个完全平方式，再根据完全平方的非负性和分式的性质即可求得最大值

■、出初、收1010510105,10105rex

【详解】解：4x2-12xy+10y2+6y+14=(2x-3y)2+(y+3)2+5-5=2021

故答案为：2021

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，分式的性质，掌握完全平方公式是解题的关键.

【变式8.2】若分式』不论X我何实数总有意义•求m的取值范围.

【答案】m>l

【详解】先利用配方法，再根据分母恒大于o则分式有意义这一条件即可求解.

解：*一2¥+〃?=1—2x+l-l+〃?=(x-1)2+〃?-1,

(?l(x-l)2>o.

国当机一1>0时，即机>1时，不论汇取何