北师大版八年级数学下册《分式方程》同步练习题（含答案解析）

北师大版八年级数学下册《5.3分式方程》同步练习题（含答案解析）

一、单选题

2

1.若4-1=0,那么x的值为（）

A

A.2B.-2C.D.-1

2.下列各式中，是分式方程的是（)

X-

A.x4—=3B.L+2

TC.r-1x

2A-5x121

C------十一—一D.

432x-2

3.某AI公司租用云服务器进行模型训练,租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）.A、B两种实例每小

时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元.已知“”，设A实例每小时

的租用费用为X元，则可列方程学里.根据此情境，题中“”表示的缺失条件可以是（）

\00-x

A.A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍

B.B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍

C.A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍

D.B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍

4.若关于x的方程无解，则〃?的值是（）

x-3x-3

A.3B.2C.-3D.-2

2_x+m

5.若关于x的分式方程——=2+----有增根,贝ljm的值是（)

x-3x-3

B."7=1C."?=3D.，〃=-1或加=3

6.解分式方程L+二=2时，去分母正确的是（

x-\x+1

A.(x+l)+2x(x-l)=2

B.(x-l)(x+l)+2x(x-l)=2(x-l)(x+l)

C.(X4-I)4-2X(X-1)=2(X-1)(X+I)

D.(x-l)(x+l)+2x=2(x+l)

7.在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求

小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳1次，则可列方程为()

100100+20门100100+20

A.----=-------B.一=--------

x-30xxx+30

―100100+20n100100+20

C.----=-------D.一=--------

K+30XXx-30

8.某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也

不一样,第一次花费380元，第二次花费360元，第三次花费480元，第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购

买的单价比第一次多2元.若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程驾=粤，则下列说法不正确的是()

A.方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价

B.第一次购买节能灯的单价是10元

C.第二次购买节能灯的数量比第一次多了2个

D.如果设第二次购买的数量为)，个，可列方程为迎2

yy

9.某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效提升了20%,这样加工同样多的零件就少用了8h.为了求采用

新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为()

12001200012001200。

人xA(1+20%)X(1+20%)x

C.I200X(1+20%)-1200X=8D."。+20%)_^=8

12001200

2-x.

——<2+x

10.若数〃?使关于x的不等式组3有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程丝三+L=2有

吠A-l1-X

X<—

3

整数解，则满足条件的所有整数机的积为()

A.-3B.3C.-15D.15

二、填空题

2r+l3

11.如图，点A,B,C在数轴上对应的数分别是-1二一双若点。到—两点的距离相等，则，的值为

x

A,CB

0

m(m>n)

12.对于任意不相等的实数〃?，〃，定义运算力〃*〃“如下："产〃二”一〃.若x*2=3,则x的值为______.

n、

------(zm<n)

m-n

13.已知一次函数丁=辰+3化=0)的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则左的值为.

14.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%,结果

提前10天完成任务.设原来每天制作x件，则可列方程是_______.

15.科幻题材《三体》首次影视化改编受到了观众的一致好评，其中大量的逼真特效镜头让网友大呼：科幻元年来

了！所有的特效镜头仝部由甲、乙、丙三家特效公司完成.三家公司共有8个渲染组，原计划三家公司每个渲染组

每天渲染镜头数之比为4:3:1.为了更好的呈现特效效果，三家公司均增加渲染组组数，减少每组工作量.甲公司

渲染组增加1倍，乙与丙公司共增加4个渲染组.增加组数后，甲公司每组每天渲染镜头数比原来的一半少2个,

乙、丙两个公司每组每天渲染镜头数都减少了4个，这样三家公司每天渲染镜头数总数比原计划多18个，甲公司

每天渲染镜头数与三家公司每天渲染总镜头数之比为8:13,则原计划三家公司每天渲染镜头总数为.

三、解答题

16.解分式方程.

23

⑴F

?I

(2)—-+-=0

x-6x

r2

(3)^+^—=0

x-22-x

17.对于x,定义运算/(同=3(其中工工一1)

⑴若・人)="含，求口的值;

⑵若a>0A=f(a+\)8=/(a+3),比较A与B的大小关系.

18.某商城销售A,B两种自行车，A型自行车售价为2300元/辆，B型自行车售价为1950元/辆，每辆A型自行

车的进价比每辆B型自行车的进价多300元，商城用60000元购进A型自行车的数号与用51000元购进B型自行

车的数量相等.

(1)求A,B两种自行车的进价分别是多少元/辆？

(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车机辆，这100辆自行车的销售总利润为卬元，

要求购进B型自行车数量不少于A型自行车数量的2倍，HA型车辆至少30辆，请用含〃?的代数式表示w,并求

获利最大的方案.

19.为丰富校园课外活动，鼓励同学们参与体育锻炼，某中学准备一次性购买若干个篮球和排球，已知用480元购

买篮球的数晟和用360元购买排球的数量相同，篮球的单价比排球的单价多15元.

(1)求篮球和排球的单价各是多少元？

(2)根据学校实际情况，需一次性购买篮球和排球共100个，但要求其总费用不超过5000元，那么学校最多可以购

买多少个篮球？

20.甲、乙两车分别从4地出发，在A、8两地之间匀速往返行驶，甲的速度大于乙的速度，甲从A地出发，乙从

距离A地20千米的地方出发，两车同时出发，第一次相遇在距离4北4()千米的地方，第二次相遇在距离A地6()千

米的地方，求A、3两地的距离.

参考答案与解析

题号~1|21314151617181g|10-

答案ADCDACADAA

1.A

2

【详解】解：--i=o

x

2-x=0

x=2

检验：当x=2时，分母x=2w0

因此x=2是原分式方程的解..

2.D

【详解】解：选项AA+-=3,分母期是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求；

7T

19

选项B—-+W,不是等式，不是方程，不符合要求；

X-1X

9r—SX1

选项+?=分母4,3,2都是常数，是整式方程，不符合要求；

432

?I

选项D--=-是等式，旦分母都含有未知数x,符合分式方程的定义.

x-2x-1

3.C

【分析】先明确两个分式的实际意义，再根据给出的方程推导数量关系，即可得到缺失条件.

【详解】解：•・•设A实例每小时的租赁费用为x元，A、B两种实例每小时的租赁费用之和为100元

・・・B实例每小时的租赁费用为(100-x)元

•・•两种实例的总租赁费用均为12800元

・•・上空表示A实例的租赁时间，然巴■表示B实例的租赁时间

x100-x

I19X00

已知方程为=即A实例的租赁时间是B实例租赁时间的两倍

x100-x

因此缺失条件为：A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍.

4.D

【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键.

先解方程得x=5+〃z,再由方程无解得x-3=0,解方程即可求出加的值.

【详解】解：•・•▲;=1一3

x-3x-3

「.x=5+/〃①

•・•关于x的方程义=1-无解

x-3x-3

X—3=0,即x=3；

把x=3代入①，得3=5+〃?，解得，二一2.

5.A

【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程上7=2+当有增根得到x的值，求解即可.

x-3x-3

［详解］解：解义=2+筌得x=¥

x-3x-33

;关于x的分式方程义=2+当有增根

x-3x-3

x-3=0

解得：m=-\.

6.C

【分析】先确定分式的最简公分母，再给方程每一项同乘最简公分母消去分母，即可得到正确结果.

【详解】—1+39X=2

A-lX+1

•••两个分式的最简公分母为（xT）（x+l）

1Or

•••给方程两边每一项同时乘（x—l）（x+l）得：—（x—lXx+lH多•（X—1）（X+1）=2（X—1）（X+1）

X—1X+1

化简得：（工+1）+2工（工-1）=2（%-1）。+1）,和选项C一致.

7.A

【分析】本题主要考查了分式方程在实际生活中的应用.审清题意、找出等量关系是解题的关键.

设小颖每分钟跳x次，，那么小林每分钟跳（X-30）下.再根据相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳2（）次列出

分式方程即可解答.

【详解】解：设小颖每分钟跳x次，，那么小林每分钟跳（x-30）下.

100100+20

由题意可得:

X-30-x

故选：A.

8.D

【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐•验证各选项即可得出结果.

【详解】解：•・•方程空=粤中，360是第二次购买的总价，480是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买

x-1x+2

的数量相同

故第二次购买的单价为工-1,第三次购买的单价为工+2

•・•第二次购买的单价比第一次少1元，第.三次购买的单价比第一次多2元

・・・x表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意;

360_480

x-\~x+2

360（x+2）=480（x-l）

360.r+720=480x-480

12ax=1200

解得x=l()

・•・第一次购买节能灯的单价是I。元，故R选项说法正确，不符合题意：

故第二次购买单价为10-1=9元

・•・第一次购买数量为答=38个，第二次购买数量为券=40个，40-38=2个

・•・第二次购买数量比第一次多2个，故C选项说法正确，不符合题意；

若设第二次购买数量为V个

•••笫二次和第三次购买数量相同

•••第三次购买数量也为)'个

故第二次单价为理，第一次单价为图+1,第三次单价为塾

yyy

•・•第三次单价比第一次单价多2元

〃360,c480

故——+1+2=——

y丁

整理得迎=.-3,与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意.

yy

9.A

【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用8小时”找到等量关系，即可

列出方程.

【详解】解：设新工艺前每小时加工、个零件，已知工效提升20%,因此新工艺的工作效率为(1+20%)“个/小时

加工1200个零件，新工艺前用时为幽小时，新工艺后用时为小时

xx(l+20%)

由“新工艺加工同样多的零件少用8小时”

12001200Q

可得："r-一x(l+20%)=*

10.A

【分析】本题主要考杳解不等式组和解分式方程，解题的关键是注意分式方程的增根.先解不等式组，根据不等式

组有解且至多3个整数解得到〃?的取值范围，再解分式方程，结合分式方程有整数解且分母不为0,找出符合条件

的整数〃?，计算它们的积即可.

—<2+x®

【详解】解：制不等式组3

〃？不

x<—②

3

解①得

二不等式组的解集为-l<X<y

••・不等式组有解且至多有3个整数解

.,.-1<—<2,解得一3</〃<6

3

解分式方程”了+「一=2

x-\1-x

方程两边同乘(“-1)得"a一2-3=2(工一1)

整理得(6—2)x=3

当机=2时，方程无解，不符合题意

当〃冲2时x=二一

m-2

•••分式方程分母不为0

3

•••A-*1,即---/1,得。5

m-2

•.•方程有整数解，〃，为整数

二机一2是3的因数，即，〃一2=±1,±3

解得m=3,1,5,7,排除m=5,符合-3〈〃收6的整数机为TL3

它们的积为(-l)xlx3=-3

故选:A.

II.2

3?X4.13

【分析】根据点。到A,川两点的距离相等得出三-(-1)=三」-弓，解方程求出x的值，再检验即可.

2xx2x

【详解】解：•・•点C到A,8两点的距离相等

・3/n2八十13

2xx2A-

去分母得3+2x=2(2x+l)-3

解得：x=2

经检验：x=2是分式方程的解.

•X的值为2.

【点睛】解分式方程时，最后要检验，避免出现增根.

12.3

【分析】本题考直新定义运算与分式方程的求解，需根据新定义分工>2和工<2两种情况，分别列出方程求解，再

验证解是否满足前提条件，舍去不符今的解即可得到结果.

【详解】根据题意，分两种情况讨论：

1.当x>2时，由定义得：

去分母，得x=3（x-2）

去括号，得x=3x-6

移项，合并同类项，得-21=-6

系数化为1,得x=3

V3>2,符合条件

故此解有效；

2.当x<2时，由定义得；

去分母，得2=3（x-2）

去括号，得2=3.r-6

移项，合并同类项，得3x=8

系数化为I，得.r=1

v1>2,不符合x<2的条件

故此解舍去.

综上，工的值为3.

【点睛】理解新运算法则，根据新运算法则分情况讨论是解题的关键.

13.±0-

【分析】先根据一次函数解析式求出图象与X轴、），轴的交点坐标，再根据三角形面积为3列出含绝对值的方程,

求解即可得到々的值.

a

【详解】解：•.•在尸区+3（左。0）中，当户（）时y=3；当），=0时工=一楙

:.y=依+3的图象与x轴的交点坐标为（-jo）,与），轴的交点坐标为（0,3）

由题意可得：!--1-3=3

7

整理得IM=]

3

解得&=±]

经检验，2=±1均是原分式方程的解

3

・・.k的值为±；.

14.

480480,八

--------/---------\—=1。

X(l+50%)x

【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完

成建立等量关系即可

【详解】解:由题意可得，原来每天制作x件，原来完成480件订单需要的时间为早

实际每天制作件数比原来多50%,因此实际每天制作件数为(l+50%)x

480

实际完成订单需要的时间为(1,50%)J结果提前1。天完成

即原来用时比实际用时多10天

480480,八

因此可列方程：V-(l；50%)x=1°

15.242

【分析】本题考查三元一次方程组与分式方程的应用，设甲乙丙三家公司分别有。bC个渲染组，原计划

三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为4〃3kk,再根据题意分别列方程，最后消元求解即可.

【详解】设甲乙丙三家公司分别有。bc个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为4&

3kk

a+b+c=S

原计划三家公司每天渲染镜头总数为43+3幼+丘=攵(4〃+幼+c)

改变后甲乙丙三家公司分别有2ab+mc+4-m个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分

别为2A-23k-4k-4

•・•三家公司每天渲染镜头数总数比原计划多18个

/.2a(2k-2)+(b+〃2)(34一4)+(c+4-/")(k-4)-(43+3幼+品)=18

整理得(4+2/”袂=18+16+4«+劭+4(;=66

k-6633

4+2m2+m

33

*.*1<//;<4,k=为正整数

2+in

/.m=1k=\\

•••甲公司每天渲染镜头数与三家公司每天渲染总镜头数之比为8:13

，甲公司每天渲染镜头数与乙丙两家公司每天渲染总镜头数之比为8:5

._________2〃（2--2）_________=8

••（。+加）（3%-4）+（c+4—⑼（&-4）5

.2«(22-2)=8

••他+l)(33—4)+(c+4T)(l]—4)=5

整理得25。=29b+7c+50

由a+b+c=8可得c=8-a-b

・•.25。=298+7(8-。一〃)+50

整理得16〃=1心+53

.11/?+53,1g+5

a=----------=3+---------

1616

Vl<«<81</?<8l<c<8且。、b、c为正整数

・・・1仍+5是16的倍数

，当b=l时1g+5=16。=3+1=4c=3

当方=2时1仍+5=27不是16的倍数

当〃=3时11Z?+5=38不是16的倍数

当）=4时1山+5=49不是16的倍数

当〃=5时11/7+5=60不是16的倍数

当〃=6时1g+5=71不是16的倍数

当b=7时1g+5=82不是16的倍数

综上所述b=\«=3+1=4c=3

••・43+3助+左=4(船+劝+c)=l1x(16+3+3)=242

故答案为：242.

16.(l)x=6

⑵x=2

（3）原方程无解，x=2是方程的增根

【分析】根据去分母，去括号，移项，系数化为1，检验的步骤解方程即可;

23

【详解】(1)-=—

xx+3

两边同时乘以x（工+3）

23

x(x+3)•一・x(x+3)

xx+3

2(x+3)=3x

2x+6=3x

x=6

检验：把x=6代入x（x+3）中：6x（6+3）=6x9=54w。

x=6是方程的解;

(2)—+-=0

A-6x

两边同时乘以x（x-6）

2

x(x-6)-+x(x-6)--=0x(x-6)

x-6

2x+x-6=0

x=2

检验：把x=2代入x（1-6）中：2x（2-6）=2x（Y）=-8wO

・"=2是方程的解;

⑶s三。

两边同时乘以：（x-2）

2

(x-2>+"-2)・=0(x-2)

x-22-x

x-2=D

x=2

检验：把x=2代入（x—2）中：2-2=0

，原方程无解，x=2是方程的增根.

17.(l)/n=l

(2)A<B

【分析】（I）根据给定运算写出的表达式，通过等式变形即可求出〃?的值:

（2）先根据运算得到4和8的表达式，利用作差法比较大小，结合。＞0判断差的符号，即可得到A与8的大小

关系.

【详解】⑴解「•小卜喜

•.•小)=

4+1

m

V/«l=l-

~a+l

4+14+1

•・"+1工0

•»a=G+\-tn

，m=1

a+\4+1

(2)解：A=f(a+\)=

a+1+1a+2

a+3a+3

B=/(a+3)=

a+3+1a+4

A-B

4+1a+3

=-----------------

a+2a+4

(a+l)(a+4)-(〃+3),+2)

(a+2)(〃+4)

(a1+5a+4)-卜J+5a+6)

(a+2)(i+4)

2

(a-2)(〃+4)

Vt7>0

，a+2〉0a+4>0

.・.---七--------<0

,,(a+2)(a+4)

/.A-B<()

/.A<B.

18.(DA,B两种自行车的进价分别是2000元/辆，1700元/辆

(2)卬=50/〃+25000,获利最大的方案是A型自行车33辆，B型自行车67辆

【分析】（1）设每辆B型自行