一定是直角三角形吗-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第八讲一定是直角三角形吗

【学习目标】

1.会用勾股定理逆定理判定三角形是不是直角三角形.

2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数

【基础知识】

1.如果三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

2.满足条件a?+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，常见的数组有3、4、5：5、12、13；8、

15、17等等.这些数组的倍数仍然是勾股数组.

【考点剖析】

考点一：勾股数

例1.（1）下列各组数据中，是勾股数的是（）

A.3,4,5B.I,2,3

C.8,9,10D.5,6,9

【答案】A

【详解】

解：A、32+42=52,能构成直角三角形，是正整数，放是勾股数；

B.12+22^3\不能构成三角形，故不是勾股数：

C、+10\不能构成直角三角形，故不是勾股数：

D、52+62^92,不能构成直角三角形，故不是勾股数.

故选：A.

（2）下列各组数中，是勾股数的是（）

A.12,8,5B.0.3,（）.4,0.5C.9,12,15D.

6810

【答案】C

【详解】

解：A、82+52?122,不能构成直角三角形，故此选项错误；

B、0.3，0.4,0.5,不是整数，故此选项错误；

C、92+122=152,能构成直角三角形，是整数，故此选项正确；

D、不是整数，故此选项错误；

6810

故选：C.

考点二：直角三角形的判定

例2.（1）下列条件中，能判断8c是直角三角形的有（）

®ZA+ZB=ZC；②Z4-N8=NC；③ZA:NB:NC=2:5:3；

@ZA=2ZB=3ZC；⑤N4」N5」NC；⑥A6:AC:3c=3:4:5.

23

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】A

【详解】解：①ZA+/3=NC,

・•・ZA+ZB^-ZC=2ZC=180°.

AZC=90°,即△A8C为直角三角形；

②ZA-/8=NC,

.•・NA=N3+NC,

・•・ZA+NB+NC=24=180%

・・・NA=90。，即A44C为直角三角形；

⑤ZA:N3:NC=2:5:3,

ZB=180°x---=90°,即LABC为直角.三角形；

2+5+3

@ZA=2ZB=3ZC,

，可以假设NA=6A,NB=3k,NC=2k,

••・62+34+22=180°,

国］。

11)

1080

°>90。，即AABC是钝角三角形;

，ZA=~TT

⑤ZA」N8=』NC,

23

设/A=x,ZB=2x,ZC=3x,贝ijx+2x+3.r=180。，

解得尸30°,故NC=h=90。，即△ABC是直角三角形；

⑥AB:AC:5C=3:4:5,

设A8=3x,AC=4x,BC=5x,则（3x）2+（4x）2=（5x）2,即是直角三角形,

故选：A.

（2）如图，根据下列条件，不能判断△AM是直角三角形的是（）

A

A.ZD=20°,ZB=70°B.A3=5,A。=12,3。=13

C.AC=BC=DCD.N8=3NO,N84O=8N。

【答案】D

【详解】

解：A、ZD=20°,ZB=70°,

贝1」/区4。=180。-20。・70。=90。，则aAB。是直角三角形；

B、AB=5,AD=\2,BD=\3,满足AB?+AO?=80?，

则△ABO是直角三角形；

C、AC=BC=CD,则NB=/C4B,ND=/CAD,

：.ZBAD=ZCAB+ZCAD=—(ZB+ZCAB+ZD+ZCAD)=90。，则△48。是直角三角形；

2

D、ZB=3ZD,ZBAD=8ZD,

贝ij3ZD+8ZD+ZD=180°,

解得：Z£>=15°,则NMD=8ND=120。，则AABD不是直角三角形；

故选D.

考点三：勾股定理逆定理的应用

例3.古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长

的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第

8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.

图1图2

（1）你能说说其中的道理吗？

（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中,

只需网1出示意图.）

【答案】（I）见解析；［2）见解析

【详解】解：（I）设相邻两个结点的距离为■则此图1口△A4c的三边长分别为3x、4x、

5x»

（3x）2+（4x）2=（5x）2,

・••以3x、4.x>5x为边长的三角形是直角三角形，即AABC是直角三角形，其中ZC=90°；

（2）V62+82=102»

・•・如图所示,△。所即为所求（答案不唯一,正确即可得分）.

例4.如图，在心△ABC中，NACB=90。，AB=13,AC=12,点。为△A3C外一点，连接

BD,CD,测得C/X4,80=3,求四边形48OC的面积.

【答案】36.

【详解】

解：在向AABr中，NACB=90°,AC=\2,AB=13,

/.BC^AB'AC2=132-l22=25,

：,BC=5,

VC£>=4,80=3,

:.CgRgBC2,

是直角三角形，且ND=90。，

S&DBC=—BDXDC=—x3x4=6；

22

由（1）知在心AABC中，N8CA=90°,AC=12,BC=5,

/.SAABC=~BCxAC=-x5x12=30.

22

:.S四边形八3CD=SA4，C+SAO8C=30+6=36.

【真题演练】

1.在下列由线段m江c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）

A.。=4,b=5,c=6B.a=12,b=5,c=13

C.a=6,〃=8,c=10D.a=7,人=24,c=25

【答案】A

【详解】

A、42+52^62«所以该三角形不是直角三角形，故该选项符合题意；

B.122+52=132,所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；

C、62+82=102.所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；

D、72+2不=252,所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意.

故选A.

2.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.4,6,8C.8,24,25D.6,12,13

【答案】A

【详解】

解：432+42=52,能组成直角三角形；

B、4MV82,不能组成直角三角形；

C、82+24V252,不能组成直角三角形；

D、62+122,132,不能组成直角三角形.

故选：A.

3.下列条件中，使△AAC不是直角三角形的是（）

A.a=3,Z?=4,c=5B.a2+Z?2=c2

C.a:b:c=2:2:3D.ZA:ZB:ZC=1:2:3

【答案】C

【详解】

A、・・•3?+42=52，•••△ABC是直角三角形;

B、・・・。2+从=/,...△A6c是直角三角形;

C、设a=b=2x,c=3x,

222

a+b=(2x)2+(2x)2=8/,/_(3X)=9/,

•*-a2+Z?2,

•••△48C不是直角三角形；

D、设NA=x,则NB=2x,ZC=3x,

VZA+ZB+ZC=18OC.

，x+2x+3x=180°，

解得x=3()°,

••・NC=3x=90。，

•••△AAC是直角三角形；

故选：C.

4.若AABC的三边为下列四组数据，则能判断△人台。是直角三角形的是()

A.1、2、2B.2、3、4C.6、7、8D.6、8、10

【答案】D

【详解】

解：•.•12+22=5^22,

.•.△A6C不是直角三角形，故A不符合题意；

•/22+32=13^42,

「.△ABC小是直角三角形，故4不符合题意；

・.・62+72=85工82,

.•.△A区C不是直角三角形，故C不符合题意；

62+82=100=102,

「.△A8C是直角三角形，放。符合题意；

故选：D.

5.以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是()

A.1,2,3B.2,3,4C.6,8,10D.9,16,25

【答案】C

【详解】

解：•・・『+22=5工32,故4错误;

222

v2+3=4+9=13^4,故2错误;

V62+82=36+64=100=102,故。正确；

92+16?=81+256=337w252,故。错误；

故选：C.

6.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且这三边长满足(a—3)2+JE+|C-5|=0,

则aABC最长边上的高人()

12

A.3B.4C.5D.—

5

【答案】D

三角形的面积公式列方程即可求解.

【详解】

解：V(r/-3)2+\]b-4-1<?-5|=0,

a—3=0.〃—4=0,c—5=0>

解得：。=3,〃=4,c=5.

则a1+b2-(?>

故这个三角形的形状是直角三角形，

根据题意得：-ab=-ch

22

BP—x3x4=—x5/?,

22

解得：/?=£.

J

故选：D.

7.已知a,b,c是^ABC的三条边，满足下列条件的aABC中，不是直角三角形的是()

A.b2=c2-a2B.ZA：ZB：ZC=3：4：5C.ZC=ZA-ZBD.a：b：c=5：

12：13

【答案】B

【详解】

解：A、Vb2=c2-a2,

c2=b2+a2,

•••△ABC是直角三角形

故本选项不符合题意；

B、VZA+ZB+ZC=180°,ZA：ZB：ZC=3：4：5,

・•・最大角NC=»xl8()o=75。，此三角形不是直角三角形，本选项符合题意：

C、VZC=ZA-ZB,

/.ZC+ZB=ZA,

AZA=90°,

•••△ABC是直角三角形，

故本选项不符合题意；

D、Va：b：c=12：13：5,

:.a2+c2=b2,

•••△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选:B.

8.AABC中NA，DB,NC的对边分别是〃，b,c,下列说法错误的是()

A.如果NC-N8=NA,则AABC是直角三角形

B.如果02二/一后，则是直角三角形，且NC=90。

C.如果4:N3:NC=5:2:3,则AA8C是直角三角形

D.如果(c+G(c-。)=〃，则AA3c是直角三角形

【答案】B

【详解】

A选项：根据三角形内角和定理，可求出NC为90度，故A正确；

B选项：解得应为NB=90度，故B错误；

C选项：设三角分别为5丸，3x,2九，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：

90度，36.度，54度，则AA8C是直角三角形，故C正确；

D选项：化简后有，=〃+〃.根据勾股定理.则AABC是直角二角形，故D正确：

故选B.

9.如图，一块四边形的土地，其中NB4D=90。，A6=4m，BC=13m,CD=12m,

(1)试说明BOJ.AC；

(2)求这块土地的面积.

【答案】(I)证明见解析；(2)36).

【详解】

(1)如图，在RsARD中，ZBAD=90°,AR=4m.AD=3m.由勾股定理得：RD=5m.

VBC=l3m,CD=l2m,BD=5m.

.\BD2+DC2=BC2,

Z.ZBDC=90°,

即BD±BC；

（2）如图，四边形ABCD的面积是

SAABD+SABDC=—X3X4H—x5x12=36nr.

22

10.如图是一块四边形菜地，Rt^ABC»AB=4m,8c=3m,CD=\2m,DA=\3m,求

这块菜地的面积.

【详解】

如图，连接AC,

因为Z48C=90°，AB=4,8c=3,

所以AG=42+32,AC=5

因为AG+CQZtSZ+izzqG%4^=132=169

所以AG+CD2=AO2,

所以ZACO=90。，

3x45x12

所以菜地的面积为——+——=6+30=36（，"）.

22

【过关检测】

1.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.3,4,5B.6,8,10C.5,5,6D.5,12,13

【答案】C

【详解】

解.：A、32+42=52,符合勾股定理的逆定理，故错误；

B、62+82=102,符合勾股定理的逆定理，故错误;

C、52+52,62,不符合勾股定理的逆定理，故正确；

D、52+122=132,符合勾股定理的逆定理，故错误.

故选：C.

2.已知IAABC中，a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，下列条件不能判断aABC是直角三

角形的是（）

A.ZA=ZC-ZBB.a：b：c=25：7：24

1,11

C.9=lr9-c?D.=-,/?=-,c=-

345

【答案】D

【详解】

解：A.由NA=NC-NB且NA+NB+NC=180。，可求得/C=90。，故AABC是直角三角形，

A选项不符合题意：

B.设a=25,b=7,c=24,此时/+〃=25?=°?,故^ABC是直角三角形，B选项不符合题

意；

C.由条件可得到/二〃2一。2,满足勾股定理的逆定理，故AABC是直角三角形，C选项不

符合题意；

（\V（125

D.此时"+〃=_!_+1=£工o2,故^ABC不是直角三角形，符合题意.

⑶⑷144

故答案选D.

3.适合下列条件的^ABC中，直角三角形的个数为（）

(1)a=b,ZA=45°(2)ZA=32°,ZB=58°(3)a=5,b=12,c=13(4)a=32,b=42,c=52

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】

解：(1),:a=b,

，NA=NB.

VNA=45。，

•••NA=NB=45°,ZC=90°,

・•・△ABC是直角三角形：

(2)VZA=32°,ZB=58°,

/.ZC=180°-32°-58°=90%

・•・△ABC是直角三角形；

(3)a=5,b=\2,c=13,

.♦.东+为鼻

・•・ZC=90°,

•••△ABC是直角三角形.

(4)Va=32,b=42,c=52,

:.a2+b2^c2,

，不能判定△人8C是直角三角形.

・•・直角三角形的个数有3个，

故选：C.

4.下列说法中正确的是()

A.已知a,b,c是三角形的三边，则〃+/=c2

B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C.在中，ZC=90\所以AB?+AC?=台。？

D.在RfAABC中，ZC=90\所以AC?+=4台？

【答案】D

【详解】

A.在直角三角形中，两个直角边为a,b,斜边为c,则才有/+。2=。2,排除.

B.在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，排除.

C.在RfAA5c中,NC=90°,则斜边为AB,ttWAC2+BC2=AB1,排除.

D.在RfAABC中，NC=90’,则斜边为AB,故有AC?+3C?=AB?,正确

5.已知三角形的三边长为6,8,10,则这个三角形最长边上的高为()

A.2.4B.4.8C.9.6D.10

【答案】B

【详解】

解：・・・62+82=102,

•••这个三角形是直角三角形，

，边长为10的边上的高为6X8引0=4.8.

故选：B.

二、填空题

6.若三角形三边长分别为15,12,9,则这个三角形最长边上的高是—.

【答案】—

【详解】

因为92+122=152,所以此三角形是直角三角形，

设最长边上的高为〃，

11or

所以该三角形的面积为一x9xl2=-xl5x/?,解得力=一.

225

故答案为义.

7.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A3,C在小正方形的格点上,

连接则NA5C=。.

【答案】45

【详解】

解：如图，连接AC

由勾股定理得：

AB2=12+32=10,AC2=12+32=10,BC2=22+42=20,

/.AB=AC,AB1+AC2=BC2,

「.△ABC为等腰直角三角形，NB4C=90。，

:.ZABC=45°9

故答案为：45。，

8.三角形的三边a,b,c满足(a—b)2=c2—2ab,则这个三角形是.

【答案】直角三角形.

【详解】

解：•・•(a-b)2=c2-2ab,

/.a2-2ab+b2=c2-2ab,

:.a2+b2=c2.

1•△ABC是直角三角形.

故答案为：直角三角形.

9.阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M(xi,yi),N(X2,yi)),

M,N两点之间的距离可以用公式MN=J(二一々I+(%一%)?计算•解答下列问题：

(1)若点P(2,4),Q(・3,・8),求P,Q两点间的距离；

(2)若点A(1,2),B(4,-2),点O是坐标原点，判断AAOB是