平行四边形的判定 第一课时 课后练习-2025-2026学年湘教版《数学》八年级下册

第一章四边形

1.2.2平行四边形的判定⑴

笆）必做题

1.下列条件中，不能判断四边形ABC。是平行四边形的是（）

A.ZA=ZC,/B=/DB.AB//CD,AB=CD

C.AB=CD,AD//BCD.AB//CD,AD//BC

2.如图，点A是直线/外一点，在/上取两点8、C,分别以小。为圆心，BC、人8长为半径画弧,

两弧交于点。，连结4仄AD.CD,则四边形48C。是平行四边形.其依据是（）

t/

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

C两组对边分别平行的四边形是平行四边形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

3.如图所示，在口4BCO中，E,尸分别在BC,AO上，若想使四边形AR7E为平行四边形，须添加

一个条件，这个条件可以是（）

@AF=CF^@AE=CFx③/BAE二/FCD：@ZBEA=ZFCE.

A.①或②B.②或③C.③或④D.①或③或④

4.已知，如图，AB11CD,AB=CD,点、E、尸在BD上.乙BAE=cDCF,连接力尸,EC.

求证：(I)AE=fC：

(2)四边形AECP是平行四边形.

R

5.在四边形ABC。中，ADWBC.连结对角线AC,B。交于点E,且AE=CE.

(1)求证：四边形A8CD是平行四边形.

(2)若4CJ_3C,已知A8=5,AO4,求3。的长.

6.如图，在A/RC中，〃是人R上一点连接C兄过点A作/D||FC.用是AC的中点,连接FE并延

长，交4。于点。，连CD.

(1)求证四边形A/CD是平行四边形.

(2)若8c=4&，BF=1,Z.DCB=135°,请直接写出尸。的长度.

苴)选做题

选做题:

7.如图，梯形48co中，AB//CD,A8=24cm,DC=10cm,点P和。同时从。、B出发，P由。向

C运动，速度为每秒1cm,点Q由8向A运动,速度为每秒3cm,试求几秒后，尸、Q和梯形A8CO

的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？

2

8.如图，在平面直角坐标系中，ABII0C,71(0,-4),C(c,0),并且a,满足c=序口巨+

713^+10.一动点P从点力出发，在线段45上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点

。出发在线段。。上以每秒1个单位长度的速度向点。运动，点P,Q分别从点儿。同时出发，当点P运

动到点8时，点Q随之停止运动，设运动时间为(秒).

(1)求氏C两点的坐标；

(2)当为何值时，PQIIDC；

(3)点。为线段OC的中点，直接写出为何值时，aOPD是等腰三角形.

参考答案

1.c

・•・四边形A8CQ是平行四边形，正确，故本选项错误；

B、*：AB//CD,AB=CD,

・•・四边形A8CQ是平行四边形，正确，故本选项错误；

C、根据A4=CO,AQ〃8C可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形A8CQ是平行四边形，错

误，故本选项正确；

。、\*AB=CDfAD//BC,

・•・四边形A8C。是平行四边形，正确，故本选项错误：

故选C.

2.A

【解析】由题意，以3C、AB为半径画弧，故AD=BC,CD=AB,故其为平行四边形的依据是两组对

边分别相等的四边形是平行四边形.

故答案为：4

3.C

【解析】解：•・•四边形A8CQ是平行四边形，

J.AB//CD,AB=CDt/B二/D,AD//BC,AD=BC,

如果NBAE=NFCD,

贝SAB噂△£>FCCASA）

:・BE=DF,

：,AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

*：AF//CEf

••・四边形AFCE是平行四边形；（③符合题意）

如果/BEA=/FCE,

则4E〃。凡

4

•・・四边形4FCE是平行四边形：(④符合题意)

故答案为：C

4.(1)证明：-AB||CD,

:.乙B=Z.D.

在COF中，

乙8=Z.D

AB=CD

Z.BAE=乙DCF

•••△4BEwZkCDFG4SA).

・•.AE=CF.

(2)解：由(1)t^ABECDF

：.AE=CF,Z,AEB=乙CFD,

180°-z/IEF=180O-zCFD,

HPz/lEF=乙CFE.

AEIICF.

-AE=CF,

二四边形AEd•是平行四边形.

【分析】(1)根据二直线平行，内错角相等得/8=/。，然后利用“ASA”证明ZMBE丝△0"，即可

求证；

(2)由全等三角形的性质得4£=CF,NAEB=NCFD,然后根据邻补角及等角得补角相等可得

N4后产=NCF£由内错角相等，两直线平行得4£〃C£最后根据平行四边形的判定定理“一组对边平

行且相等得四边形是平行四边形''即可求解.

5.(I)解：•・•在四边形力BCD中，力。IIBC,

：,^DAC=^ACB,乙BDA=cDBC,

，在△4E0和△CE8中，

Z.DAC=乙ACB

Z.BDA=Z.DBC>

AE=CE

：.^AEDCEB{AAS),

：.AD=BC,

\*AD||BC,

・•・四边形48CD是平行四边形；

5

(2)解；VAC1BC,

=90°,

'：AB=5,AC=4,

・••在R£△力8C中，BC2=V/4B2-AC2=V52-42=3»

,•,在四边形48co中，AD||BC,

：.Z.DAC=Z.ACB,Z.BDA=乙DBC,

•••在△4£。和乙CE5中,

(Z.DAC=Z.ACB

I/LBDA=乙DBC，

(AE=CE

：.^AED三△CE8(力力S),

：.AD=BC,

*：AD||BC,

・•・四边形/BCD是平行四边形；

：

,CE=-2AC,2BE=-BD,

：.CE=2,

，在R£△BCE中，BE=y/BC2+CE2=V32+22=g,

；・BD=2BE=2g.

【分析】(I)根据平行线的性质得到N/MC=乙ACB,乙BDA=乙DBC,进而根据三角形全等的判定

与性质证明△AE。=△CE8QMS)得到4。=BC,从而根据平行四边形的判定即可求解；

(2)先根据垂直的N4CB=90。,进而根据勾股定理求出8C2,从而证明△/1ED三△CE8(44S)得至必0=

BC,再根据平行四边形的判定与性质得到BE=：BD,从而根据勾股定理求出8E即可得

Z4

到BD.

6.(1)证明：•・•£是AC的中点，

：-AE=CE.

AD||FC,：,Z-DAE=LVCE.

(Z.AED=Z-CEF,

在△ZZ4E和AFCE中，AE=CE,

LOAE=Z-FCE,

：,l^DAE三△FCKG4S4),

：.AD=CF,・•・四边形A尸C。是平行四边形.

(2)5

【解析】(2)•・•四边形AFCZ)是平行四边形，

6

/.ZB+ZDCB=I8O°,

VZDCB=135°,

:.N5=45。,

过点广作FH_L8C于点〃，如图所示:

ZBFH=45°=ZB,

:.BH=FH,

在Rt^B/77中，BF=\,BFP+F^BF2,

A2^=1,

:,BH=FH巫,

2

：.CH=BC-BH=4V2一包=鸣

22

在RtACFH中,FC=F*CU,

•.•”|囹+（苧）、5,

故答案为：5.

【分析】（I）先利用“ASA”证出△DAE-△FCE,可得AD=CF,再结合4。IIFC,即可证出四边形

AR7Q是平行四边形；

（2）过点F作FHLBC于点H,利用勾股定理求出8，="/=电，利用线段的和差求出

2

CH=BC-BH=4&一4=斗，最后利用勾股定理求出FC的长即可.

7.解：①以PQAO构成四边形

设x秒成为平行四边形

根据题意得：

x=24-3x

,\x=6

・••当运动6s时成为平行四边形；

②以PQBC构成四边形

设），秒成为平行四边形

7

根据题意得；

10-y=3y

.*.>=2.5

・•・当运动2.5s时也成为平行四边形.

③四边形南QC、四边形PQQB其实也可能成为平行四边形，其中，POQ8是错误的，四边形附QC

成为平行四边形时是7秒.

故答案为6秒、2.5秒、7秒

【分析】根据题意P，Q和梯形A8CO的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成

四边形PQI。；②可以构成四边形PQ8C两种.

8.(1)解：vc=Va-13+V13-a4-10.

工鬲"I?]:解得°=13.

<13-a>0.

c=10.-AB||OC,21(0,-4),.-./?=-4.

故3(13,-4),C(10,0)；

(2)解：由题意得：AP=2t,QO=t,则：PB=13-2t,QC=10-t.

vPQIIBC,AB||OC,

四边形PQCB是平行四边形，APB=QC.

13-2t=10-t.解得t=3.

•••当为3s时，PQIIBC.

(3)解：当为2或Is或4s或4时，ZiOPC是等腰三角形

【解析】解：(3)当为1或1s或4s或1时，△。尸。是等腰三角形.

提示：•••点。为线段。C的中点，=5.

当OP=OD=5时，AOPD是等腰三角形，

•.Q=4,RP=3=2-=宏

当DP=OD=5时，△OPD是等腰三角