2026年中考数学二轮复习 高效培优16 几何探究综合题（高频考点专练）原卷版

专题16几何探究综合题

目录

就高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

，聚焦题型檐流解密（4大题型精讲+变式拔高训练）

题型一三角形的儿何探究

题型二四边形的几何探究

题型三相似三角形的几何探究

题型四圆的几何探究

Sh实战演练霭级提分（中考仿真校拟+限时训练提升）

几何探究综合题是中考数学的核心压轴模块，分值约12〜18分，以解答题形式为主，

多为中考卷的压轴题或次压轴题，整体以中高档题为主，是拉开分数差距、突破高分的关键板

块。该模块侧重考查几何直观、逻辑推理、数学建模与探究创新能力，常结合图形变换、动态

问题进行综合命题。

基础知识必备：掌握三角形、四边形的核心性质与判定，熟练运用相似三角形的判定与性质、

圆的基本定理进行推理论证；理解平移、旋转、折叠等图形变换的本质，能结合勾股定理、三

角函数进行儿何计算；具备从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想，能通过观察、猜

想、验证、推理的步骤解决探究性问题，能实现几何条件的合理转化与代数化表达。

2026中考预测：

题型稳定：三角形、四边形、相似三角形、圆相关几何探究为必考类型，多以多问形式呈现,

层层递进；

难度梯度明显：第一间基础铺垫，第二间进阶探究，第三问拓展延伸，重点考查逻辑推理与探

究能力；

命题趋势：贴近教材核心知识，注重几何图形间的关联与转化，部分题目融入新定义、新情境，

偶尔结合平面直角坐标系实现几何问题代数化，强调数学思想方法与创新思维的考查。

出考点，梳理.

一:SSS/SAS/ASA/AAS/HI■噫对

待珠三房形：嶂明一边演角三角形性就与列定）

41注理：中位统勾股定理及建的、内JW外用性1S）

综时化）

•，蛙与性晅淮）

形并网四a形:

/SSS.T三峥WA/X：尹谢鳖J

i：maffitm周）

'勾殷定多金合计）

I:与三♦

基本性质：垂&定理.圜硝丽角定理及推论）

w«：脸(《.偿.aa(ma包tiMutsg))

园与图般网数外切三角形.因内接四边形性gQ

市g：如长/原形面堂.弦阳圜心距/半径关或）

班到~般：移钏F枷所隔8TKgieTg%eg）

通用岸被路

敷F缁自：几哂锄化力1aL煤，利M程求川）

:遇中点连中线/中蝇角平分线作曲废长距）

,蹈悦喇仍三舷小F生播5丽魅D

几何探究三角形：「iBA/XZ一航三角蝇，作平行黄Ba以）

常用技巧方法

综合题Eft关系：“St一面角一勾股回，平〜同位角怕等）

I其利6•：分饼为三角形/西a形/essagB廊T）

；-g丽导：从结论出发，班算需硼东件）

碱向《：热酶理meagg.科utt南秘丽）

计“技巧

西£:酬卜法.等限淖、相似面联比出，七）

丽:就igffiSSA福)

崎殊平行四边形般条件，如疑与觊的悔卧）

明胫,所.后忽略对舜性质；

忽v四边形存在惶8制，如边长为正.内角和约束）

岛总制grtii^ia/GPtgah。.jBawmitHCm）

误版5砒：直接用同毗代惴附此的平方）

一畿三号角侬显峥切％0＞的葩。

雌£15£0少却步妻，宋有WR+*g.双■箪件）

瓯用定理俣用：忽15伺弼响T*9）

BB9和做MBKE.弦谈翻殂：

聚焦题型♦解密■

题型一三角形的几何探究

【典例01］（2025•贵州遵义•模拟预测）综合与探究：

问题情境：如图，△48C和△EDC都是等腰直角三角形，Z.BAC=ZEDC=90°,连接8凡F是8E的中点,

连接力F.

AAA

E

E

BDCB

D

D

图1图2图3

(1)【问题发现】

AF

如图1,当点E在边4c上时,连接DF,AD,WUAFD=~AD

⑵【进阶探究】

如图2,当点E在边8C上时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图3,将图1中△EDC绕点C逆时针旋转a度(0°<a<360°),若A8=4,CD=2.直接写出4F的最小值.

【变式01】（2022•山东青岛•中考真题）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如：如图①.在△/BC和B'C'中,4。/。分别是8C和B'C'边上的高线,且4。=4'。，则△ABC

和△A4。'是等高三角形.

BZADCB4'D'C

图①图③

【性质探究】

如图①,用S&48C,SMBU分别表示△4BC和△4'8'C'的面积.

贝/△ABC=^BC-AD.S^A'B,C'=J"'。',4'。'，

♦:AD=A'D'

♦,♦SAABC：SAA'B'C=BC'.B'C.

【性质应用】

(1)如图②，。是△ABC的边8c上的一点.若BD=3,DC=4,M5^HD：SA/IDC=:

(2)如图③，在△4BC中，D,£分别是8c和4B边上的点.若BE:AB=1:2,CD,BC=1:3,S^ABC=1,则

S&BEC=，S&CDE=；

(3)如图③，在△ABC中，。，《分别是8c和4B边上的点,若CD,BC=l:n,SLABC=a,则

■^△CDE=.

【变式02】【课本再现】（1）如图1,△48C和△CDE都是等边三角形，且点8、C、E在一条直线上,

连接80和/IE相交于点P,线段8。与4E的数量关系是「请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由.

【深入探究】（2）如图2,将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同.

①线段8。与4E的数量关系是；

②iCPE的度数为.

【拓展应用】（3）如图3,△ABC是等边三角形,LADC=30c,40=6,BD=10,求边CD的长度.

【变式03］（1）如图①，在△/4BC中，AB=AC,^BAC=90%DE是过点力的直线，6。IDE丁点

CE_LOE于点区RBD=AE.求证：OE=80+CE.

图①图②

(2)如图②，在△ABC中，AB=CA,D,A,E三点都在直线/上，并且有4B£M=N4EC=4B4C=a,

且a090。，请问DE=BO+CE是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由.

(3)拓展与应用：如图③，E是。，A,E三点所在直线/上的两动点(。，A,E三点互不重合)，

点F为乙8/1C平分线上的一点，且△/B/和△/1CF均为等边三角形，连接8D,CE.若"D4=4lEC=

乙BAG试判断△/)£1小的形状.

【变式04】(1)【探究发现】

在△48C中，CA=CB,Z/1CF=90°,直线/经过点C,AD11,BE11,D、E为垂足，则有结论

△ACD三ACBE.请在图1、图2中任选一图给予证明.

(2)【知识迁移】

如图3,已知：71(-2,0),8(0,3),BCLAB,BDLBE,AB=BD=BC=BE,连接CD、CE、DE,则点C

的坐标为，点£的坐标为，△(；"£的面积为.

(3)【拓展应用】

如图4,已知：点/的坐标为(一4,0),分别以。8、AB为直角边在第一、第二象限作等腰RtZiOB"与等腰

ABE,^.Z.OBF=/.ABE=90°,连接EF交p轴于点P,求BP的长.

图1图2

【变式05］如图，点M在等腰直角三角形力BC的斜边BC所在直线上，/-MAN=45°,BNA.BC交AN于点N.

A

(1)当点M在8c上，点N在8。上方时，如图①，求证：BN+MN=CM；

(2)当点M在的延长线上，点N在BC上方时，如图②；当点M在BC上，点N在8C下方时，如图③，猜想线

段BN,MN,CM之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明.

【变式06](2025•四川成都•一模)如图，在△4BC中，AB=AC=5,BC=8,点。在8c边上，连接力。,

将线段力D顺时针旋转a度(a=^BAC)得到线段4E,连接。£

⑴如图,当点力不与点/?、r1重合.线段0/?与/W交干点心求证：〜CD：

(2)若CC=1,求EF的长；

(3)点D在运动过程中，当△B/D是等腰三角形，求4F的长.

【变式07】(2025・重庆•模拟预测)在△48。中，4180=90。，AB=2BC,。是4C的中点，E在AB边上运

动，连接DE,将△/IDE沿着DE折卷得到△/£,点4的对•应点为F,其中DF交48于点G,连接力凡BF.

(1)如图1,当乙10尸二90。时，求证：DG=FG；

(2)如图2,当乙4EF=90。时，用等式表示线段DG与8尸之间的数量关系，并证明；

(3)在点E的运动过程中，当AE=1,4。=花时，过点G作GQ1B广于点Q,连接EQ,请直接写出N/EQ的度数.

题型二四边形的几何探究

【典例01］（2022•浙江衢州•中考真题）如图，在菱形48c（中,AB=5,8。为对角线.点E是边力〃延长

（2）若BD=6,DG=2GE.

①求菱形/18C0的面积.

②求tan"DE的值.

（3）若=当2fM8的大小发生变化时（0。＜180。）,在AE上找一点八使GT为足值，说明理

由并求出ET的值.

【变式01］如图1，四边形A6CD是正方形，点E是边6c上的点，乙4EF=90。且“交正方形的外角4DCG的

角平分线于点?

图1

(1)求»正：^BAE=/.FEG.

(2)试猜想线段4E与线段EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论.

(3)如图2,线段8。与力产交于点M若48=6,CG=2,连接GM求GN+NF的最小值.

【变式02］如图，正方形ABCD,点E、4分别在力8、8C上.

图3

①求证：DE=GH；

②平移图1中线段GH,使G点与0重合，”点在8C延长线上，连接EH,取E”中点P,连接PC,如图2,求

证：BE=V2PC；

(2)如图3,若点G在人。上，G”和DE相交于点。.当NGOO=45。，边长718=3,HG=V10,求OE的长.

【变式03】(2026•陕西宝鸡•一模)【问题探究】

（1）如图1,四边形/18C。为矩形，点E为边BC上的一点，连接4E,过E作EF_LAE交边CD于点F,若

BE

力8=4,EC=3,则而的值为；

（2）如图2,在正方形力BCD中，E、尸分别是边BC、4B上的点，连接4E,过点F作产G1AE交CD边于点G,

求证：AE=FGx

【问题解决】

（3）如图3,矩形/BCD是某植物园规划的一个花圃，点M处有一个凉亭，现要在力D、BC边上分别设立游

客服务中心P、E,沿BM、PE修建两条互相垂直的普通小路，再沿BP和EM铺设两条石板小路，为节约铺设

AD2

石板小路的费用，要求PB与ME的长度之和尽可能的小，已知而=5，8M=600米，请你帮助植物园规划

人员求出两条石板小路长度之和（P8+ME）的最小值.（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度

均忽略不计）

BEBECEC

图1图2

【变式04］如图在四边形月BCD中，点E是直线6c上点，将射线AE绕点力逆时针旋转a交直线CO丁点色

F

ADAD

⑴如图①.若四边形4BCD为菱形，48=60。〃=60。，则;4E与"之间的数量关系是；

(2)如图②，若四边形48CD为正方形，a=45。，连接EF,当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF

与EF之间的数最关系，并加以证明；

(3)若四边形48CD为正方形，a=45。，连接EF,当力8=4,BE=。时，请直接写出EF的长.

【变式05】(2026•江西•模拟预测)【猜想探究】

如图1.在中，。、E分别为48、47的中点，连接DE：

操作1.将△ADE绕点

£按顺时针方向旋转

180。到△CF8的位

A

置.「丁

操作2.延KOE到点

F,使£T=DE,连接

B乙-----------

CF.

图1

试探究DE与BC有怎样

的位置关系和数量关

系？

（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理,

【结论应用】

（2）如图2,四边形48co中，对角线4C、80相交于点O,四条边上的中点分别为七、F、G、H、依次连

接EF、FG、GH、HE,得到四边形£7访H.若4c=16,BD=20,LA0B=60°,求四边形£7访H的面积.

图2

【问题解决】

（3）如图3所示，在一个四边形力BC。的草坪上修一条小路，其中点尸和点。分别为边和边。。的中点,

且+4力BC=90。，BC=6,AD=8,求小路PQ的长度.

B%

图3

【变式06】（2024•辽宁•模拟预测）【操作判定】

（1）如图1,在中，/.ACB=90°,4c=8C,点£在BC上（且不与点尻。重合），在△A8C的外

部作△8EZ）,使乙BED=90。，BE=DE,连接CZ）,过点A作力网|CD,过点。作DFIL4C,DF交AF于点F,连

接CF.根据以上操作，判断：四边形AC。尸的形状是,=:

【变换探究】

（2）如图2,将图1中的△BED绕点B逆时针施转，便点E落在4B边上，过点力作4FIICD,过点。作

DF\\ACfDF交AF千点F,连接CE、CF.若CE=4,求C/的长.

【拓展应用】

（3）将图1中的△BED绕点8顺时针旋转,使点。在BC的右侧,过点/作AFIICD,过点。作DF||AC,DF

交AF于点F,连接CF,若BE=2,BC=6,当四边形4C。/为菱形时.

①求CF的长；

②当点。在BC左侧时，请直接写出C"的长.

F

(S3)

【变式07】（2025•吉林松原•模拟预测）【初步尝试】如图①.点七、G分别是的边BC的中

点，点b为对角线BD上一点，以点尸为直角顶点作乙EFG=90。，过点七作EH||尸G交8。于点〃，连接GH,

求证：四边形EFGH为矩形；

【深入探究】如图②，将图①中的口改为菱形.其他条件不变.若248c=60。，且AE=2,宜接写

出四边形EFGH的面积；

【拓展延伸】如图③.将图①中的UL4BC。改为矩形,其他条件不变.若4。=3,48=2,直接写出四边

形EFG，的面积.

AED

BG

题型三相似三角形的几何探究

【典例01】同学们学习了华师版数学八年级.卜.册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现

可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题.

(1)(1)在△48C中，210平分匕B4C,Z.ABC=2zC,求证：AC=AB+BD：任选下面一种方法，并写出完

整的证明过程:

方法一：如图①，在AC上截取力£使得力/?=48,连接OE,可以得到全等三角形，进而解决问题；

方法二：如图②，延长AB到点立使得=连接。F,可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(2)如图③，在△ABC中，Z.ABC=2zC,AH上BC交BC于点、H,直接写出力8、BH、BC之间的等量关系

(3)如图④，在△48C中，4。平分NB4C,/.ABC=2zC,ADBG分别为4B4C、N/8C的角平分线,

AB=5tBD=3,AG=^,直接写出GC=.

【变式01】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在AABC中，点。是8C的中点，点、E

是中点.连结AD,BE交于点G,求芸的值.

(1)小明发现，过点。作OHIIBE交力。干”，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案.下面是小明

的部分解题过程：

解：如图1,过点。作。HII8E交4c于〃，

图1

・•・D是BC的中点，

:.BD=CD,

,CD_CH

**fiD==1'

请你补全余下的解题过程.

【尝试应用】

(2)如图2,在CL4BCD中，E、/分别是力8、CD的中点，连接AC分别交DE、于M、N,贝=

图2

【拓展提高】

(3)如图3,点£是左。边的中点，DC=2BD,AD、BE交于F/D=10,BE=6,AD上BE,直接写出四边

形CDFE的面积.

图3

【变式02](2024•四川广元•中考真题)数学实验,能增加学习数学的乐趣,还能经历知识“再创造川勺过程,

更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本

图形(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决.

图2

图3图4

在也力⑶。中，点。为边A8上一点，连接CD.

(1)初步探究

如图2,若乙ACD=求证：AC2=AD-AB,

(2)尝试应用

如图3,在(1)的条件下，若点。为力B中点，FC=4,求CD的长;

(3)创新提升

如图4,点E为。。中点，连接BE,若4COB==30。，Z.ACD=/.EBD,AC=247,求BE的长.

【变式03】【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题:

小明发现，过点。作DHIIAC交BE于H,可证明AAGE三△OGH,得到相关结论后，再利用相似三角形的性

质即可得到问题的答案.下面是小明的部分证明过程：

图①图②图③

解：如图①，过点。作0,114c交BE于则匕=乙AEG=^DHG,

•・。是8c的中点，

•••BD=CD,

"EH~CD-L，

:.BH=EH,

：.DH=迦

•••E是4C的一个三等分点，且4E=%C,

..AE=

:.AE=DH,

:.△AGE=△DGH

请你补全余下的证明过程.

【尝试应用】

如图②，在△48C中，D为力C上一点，AB=AD,连结BD,若AE1B。，交BD、BC于点E、F.若40=6,

CD=2,AF=S,则/E的长为.

【拓展提高】

如图③，在平行四边形48CD中，点£为5。的中点，点尸为C。上一点，BF^AE.4c分别交于点G、M,若

备=3则黑的值为-----.

【变式04】（2024•四川资阳•中考真题）（1）【观察发现】如图1,在△ABC中，点。在边5c上.若

乙BAD=^iAB2=BD-BC,请证明；

(2)【灵活运用】如图2,在△48C中，匕&4c=60。，点。为边8C的中点，C4=C。=2,点E在48上,

连接AD,DE.若4AEZ)=4C4D,求BE的长：

(3)【拓展延伸】如图3,在菱形ABCD中，AB=5,点、E,厂分别在边AD,CD上,/-ABC=2^EBF,延

【变式05】(2024•内蒙古包头•中考真题)如图，在匚MBCD中，为锐角，点E在边力。上，连接

BE,CE,=S4DCE,

M

⑴如图1,若F是边BC的中点,连接EF,对角线＜C分别与BE,Er相交点点逢”.

①求证：〃是4c的中点；

②求71G:GH:HC：

(2)如图2,8E的延长线与CO的延长线相交于点M,连接AM,CE的延长线与AM相交于点N.试探究线段4M

与线段月N之间的数量关系，并证明你的结论.

【变式06】(2023•浙江湖州•中考真题)【特例感知】

（1）如图1,在正方形ABCO中，点Q在边力8的延长线上，连接PD,过点。作OM_LP。，交BC的延长线

于点M.求证：△DAP^△DCM.

【变式求异】

（2）如图2,在中，乙18c=90。，点。在边上，过点。作DQ1A8,交力C于点。，点。在边

AB的延长线上，连接PQ,过点0作QM1PQ,交射线8c于点M.已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求券

的值.

【拓展应用】

（3）如图3,在RtZk/lBC中，^BAC=90°,点尸在边力B的延长线上，点。在边4c上（不与点力，。重

合），连接PQ，以。为顶点作/PQM=4PBC,4PQM的边QM交射线BC于点M.若4C=7ZL4B,CQ=nAC

（小，〃是常数），求券的值（用含〃?，〃的代数式表示）.

图1图2图3

【变式07］（2025•上海金山•一模）已知△4DE的顶点E在△ABC的内部，点。、点E在直线HC同侧.

B

B

Dt

aB

(1)如图1,联结BD、BE、CE,若△4BC和△力DE是等边三角形时，点C、点E、点。三点共

线.CE.DE=1:2,求的比值；

(2)如图2,联结BD、BE、CE,^3AC=/-DAE=n°(0<n<90),若力8=AC,4D=求上BEC-NDBE的

值(用含〃的代数式表示)；

(3)在等腰三角形4BC中，AB=BC=S,AC=S,BH1AC,点£在高BH上，点。在的延长线上，联结

AE并延长交边8C于点R联结OF,04若乙DAE=4ABH,△与△80F相似时，求EH的长.

题型四圆的几何探究

【典例01］（2026•陕西西安•模拟预测）四边形48co内接于。。，对角线4C=8C,户为04延长线上一点,

连接BF,Z.DAC=Z.ABF.

⑴如图1,求证：BFWCD：

（2）如图2,连接80并延长至点E,连接CE,若CO平分乙1CE,求证：BC=CE；

（3）如图3,在（2）的条件下，tanNF=2,S^BCD=4,AD=2,延长力。交CE于点丁，求CT的长.

【变式01】（2025•云南•中考真题）如图，。。是五边形月BCDE的外接圆，6。是O。的直径.连接AC,

BE,CE,Z.AEC=Z.ACF.

(1)若CE=CB,且4CBE=60。，求NBCE的度数；

(2)求证：直线CF是O。的切线；

(3)探究，发现与证明：已知4c平分NB/E,是否存在常数Q,b,&.^AC2=aBC-CE+bAB-AE^^L?

存在，请直接写出一个Q的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式4〃

=a8C-CE+bA8AE成立：若不存在，请说明理由.

【变式02］如图，已知A6是O。的直径，弦C。1/W丁点E,点、M是线段0c延K线上的点，连结MA交O。

于点尸，连结DF交力8于点G,连结力0,BD,CF.

(1)求证：△“/。〜△。力已

(2)若AC=2运BE,求tan44尸。的值.

4G

⑶在(2)的条件下，设tan4M=x,就=y.

①求)，关于x的函数表达式；

②若£■为BG的中点，求沁的值.

【变式03](2026•陕西西安•模)问题提出

DD

AP

(1)如图①，在△ABC中，NA=30。，8c=4,求△4BC面积的最大值.

问胭探究

(2)如图②，点4是OB上任意一点，点C在OB外，已知48=2,BC=4,△4C0是等边三角形，求△BCD

的面积最大值；

问题解决

(3)如图③，线段48为。。的直径，点C在45的延长线上，4B=40,BC=20,点P是。。上一动点，连接

CP，以CP为斜边在PC上方作已△PCD,使乙DCP=60。，连接4),求△ACZ)的面枳最大值.

【变式04】(2024•湖南•中考真题)【问题背景】

已知点A是半径为r的。。上的定点，连接。4将线段04绕点O按逆时针方向旋转。（0。<«<90。）得到

OE,连接力E,过点力作。。的切线/,在直线/上取点C,使得为锐角.

【初步感知】

（1）如图1,当。=60。时，^LCAE=_°；

图1

【问题探究】

（2）以线段4C为对角线作矩形力3CD,使得边40过点E,连接CE,对角线4C,8。相交于点?

①如图2,当AC=2r时，求证：无论a在给定的范围内如何变化，13c=CD+ED总成立：

图2

②如图3,当AC=%器=:时，请补全图形，并求tana及箓的值.

图3

【变式05】（2024•山东淄博•中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习.

【操作发现】

小明作出了O。的内接等腰三角形力凤?，AB=AC.并在8c边上任取一点。（不与点B,。重合），连接4。,

然后将△4?。绕点4逆时针旋转得到△力CE.如图①

小明发现：CE与。。的位置关系是,请说明理由：

【实践探究】

连接/）/?.与4。相交干点忆如图②.小明又发现：当△4/7。确定时.线段八•的长存在最大值.

请求出当AB=3«5.BC=6时，CT长的最大值：

【问题解决】

在图②中，小明进一步发现：点。分线段8。所成的比与点F分线段0E所成的比OF:FE始终相等.请予

以证明.

【变式06］（2024•黑龙江哈尔滨•中考真题）在。0中，弦48,相交于点E,AE=CE,连接AC,BD.