人教版七年级数学上册教案-有理数及其大小比较

1.2有理数及其大小比较

1.2.1有理数的概念

课时目标

1.正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数

和负分数.

2.了解有理数的概念，掌握有理数的分类方法,会将有理数恰当归类，体会分类

讨论的数学思想方法，培养学生的数感.

学习重点

理解有理数的概念，并能掌握有理数的分类.

学习难点

有理数的分类.

课时活动设计

教学活动1

回顾引入

1.到目前为止，我们都认识了哪些数？

2.什么是正数?什么是负数？

3.观察下面的数，它们有什么特征?你能将它们进行分类吗？

+2,-3,+8,・13,+20,-6,+290,-123,-53,+22,-43.

•设计意图:引导学生回顾上一节课的内容，为本节课的学习作铺垫.

教学活动2

探究新知

教师给出一些正数、负数，写在黑板上，如：

正数:+7之998,4,70,+1.8%],+17,3.8,+三;

3611

负数:-9,-4.5,-白-4,-2,-2.7%,-8,-2.7,4

JLUJ

思考:你能将上述正数、负数再进行分类吗?说一说你分类的依据.

学生分类，教师同步展示：

正整数:+7,998,4,70,+17;

正分数:：,+1.8%,占3.8,+9

So11

负整数:・9,・4,・2,・8;

负分数:・4.5,4・2.7%,・27・*

引导学生对前面的数进行概括，得出:正整数、0、负整数统称为整数;正分数

和负分数统称为分数.整数可以看作分母为1的分数，正整数、负整数、0、正分数

和负分数都可以写成分数的形式.

教师给出有理数的概念:可以写成分数形式的数称为有理数.其中，可以写成

正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.

让学生在总结出5类数基础上，进行概括，并尝试进行分类，通过交流和讨论,

再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式.

（1）按定义分类：（2）按性质分类：

（正整数‘正整数

整数,0正有理数

、正分数

有理数（（负整数有理数

0

分数，正分数（伊整数

负有理数

I负分数I负分数

＞设计意图:通过对数进行分类，引导学生认识有理数,培养学生科学严谨的

态度,让学生知道分类要做到不重不漏;通过分类，体会分类讨论的数学思想方法,

培养学生的数感与抽象能力.

教学酒动a

典例精讲

例指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负

整数：

13,4.3,--3,8.5%,-30,-12%,I3-752（）,-60,1.2.

89

解:正有理数:13,4.3,8.5%,初）,1.2;其中正整数有13,2（）;

负有理数：弓-30,-12%,-7.5,-60;其中负整数有-30,・60.

O

•设计意图:通过洌题，加深学生对有理数及其分类的认识，提高学生的应用

能力.

教学活动4

巩固训练

1.对于-3.14,下列说法正确的是（C）

A.是负数不是分数B.不是分数是有理数

C.是负数也是分数D.是分数不是有理数

2.下列关于“0”的说法:①是整数,也是有理数;②不是正数,也不是负数;③不是

整数，是有理数;④是整数，不是自然数.正确的有（C）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.下列关于有理数的分类，正确的是（D）

A.有理数分为正有理数和负有理数

B.有埋数分为正有埋数、0和分数

C.有理数分为正整数、负整数和正分数、负分数

D.有理数分为整数和分数

4.把+6,・5.3,0,7.9,*，,-7,200,0.31,⑷,-9%填入相应的集合中:

正数集合:{+6,7.9,2&2OO,0.31,

整数集合:（+6,0,7,200,41,...};

非负数集合:{+6。7.9,2&2（）0,0.31,...};

A

负分数集合:白

•设计意图:通过列题，加强学生对有理数的认识和理解，并能进行有理数的

分类.

教学活动5

课堂小结

1.什么是有理数？

2.有理数可以怎么分类？

»设计意图:让学生自己总结有理数的概念和分类，促进学生对本节课内容的

掌握,提高学生的总结归纳能力.

随堂练习

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第8页练习第1,2,3题，第16页习题1.2第1题.

板书设计

1.2.2数轴

课时目标

1.经历从现实生活抽象出数轴的过程，体会数学与现实世界的联系，培养学生

的建模能力与抽象意识.

2.知道数轴的三要素，会画数轴，培养学生的动手能力.

3.能用数轴上的点表示有理数，初步体会数形结合的数学思想方法.

学习重点

数轴的概念和用数轴上的点表示有•理数.

学习难点

有理数与数轴上的点的对应关系.

课时活动设计

教学活动1

情境引入

在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3m和7.5m处分别

有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3m和4.8m处分别有一棵槐树和一

根电线杆.

思考：(1)如果你在汽车站牌处，怎样说明其他物体的位置？

(2)如果以汽车站牌为参照点，并用()表示该点,你能用有理数表示其他物体

的位置吗?说一说你的想法.(引导学生用不同的方法表示)

＞设计意图:从现实生活的实例出发，引导学生体会要确定一条马路上物体的

位置，需要知道参照点、距离和方向,为学习数轴三要素作铺垫.

教学活动2

探究新知

探究1数轴的概念及画法

你能画图表示出教学活动1中的情境吗？

学生画图,教师巡视指导，并给出准确图形.

T嗓2余?

E-D:0A=B----Cp

4^8T75**

问题:为了使表达更清楚，我们规定向东为正，根据正数和负数可以表示具有

相反意义的量，请同学们探讨，如何用正数、负数把汽车站牌两边的位置表示出来?

学生先独立思考，再小组讨论自己想到的办法,教师巡视并给予恰当点拨.

请同学们按照如下方法，将柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的

相对位置关系表示出来.

解:在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度(线段OA的长)代

表1m长，再用()表示点O,用负数表示点。左边的点,用正数表示点。右边的点.

这样就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.

学生自己完成，请两名同学上台板演，教师点评并给出正确的画法.

柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系如图所示，大

家说一说下图中的数分别表示什么物体的位置？

ED0ABC

11_____________II________iI

-4.8-30137.5

观察如下图所示的体温计，它和上图有什么共同点?有什么不同点?

学生自主交流，教师进行指导.

总结:在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件：

（1）在直线上任取一个点表示数0,这个点叫作原点；

0是正数和负数的分界;原点是数轴的“基准点

（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度双一

个点，依次表示1,2,3,...;从原点向左,用类似方法依次表示・1,-2,-3,...（如图所示）.

-5-4-3-2-10123456

像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.

原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半

轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.

探究2数轴上的点与有理数的对应关系

问题:请同学们尝试在数轴上表示出数6.5和

学生思考，动手尝试,教师请学生代表上台板演.

解:在数轴的正半轴上，距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5;在数轴的负

半轴上，距离原点|个单位长度的点表示数-|（如图所示）.

3

~26.5

I111■」II111」1■」》

-5-4-3-2-101234567

总结:一般地，设。是一个正数，则数轴上表示数。的点在数轴的正半轴上，与原

点的距离是4个单位长度;表示数Y的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是。个

单位长度.数轴上与原点的距离是。个单位长度的点,简称为数轴上与原点的电离

是。的点.

•设计意图:通过把现实生活中的场景用数学图像简洁地表示出来，培养学生

的抽象能力与动手操作能力;在画图的过程中，引导学生归纳总结数轴的概念，再

思考画图的注意事项，培养学生的抽象概括能力;通过观察数轴上的两个与原点的

距离相等的点，找到这两个数之间的联系，再次体会数形结合的思想方法,同时也

为下一节引入相反数的概念作铺垫.

教学活动3

典例精讲

例画出数轴,并在数轴上表示下列各数：

3,-4,4,0.5,0,9,-1.

解:如图所示.

5

-4-2-100.534

J------J---------------1--1-J-----1---------iX----->

-4-3-2-101234

>设计意图:通过对例题的思考与解答，让学生初步体会数形结合的数学思想

方法，培养学生的抽象能力.

教学活动4

巩固训练

1.在已知的数轴上，表示・2.5的点是（A）

ABCD

I'I,III'I■I»

-3-2-10123

A.点AB.点BC.点CD.点D

2.在数轴上表示-3。,5［的点中，在原点右边的点有（B）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.画出数轴,并在数轴上表示下列各数：

・2,5,0,2.5,35,冷

43

解:如图所示.

41

-3.5-2-j0j255

1i.iJ.1i.i।J।

-5-4-3-2-10123456

•设计意图:通过设置不同层次的练习，不仅能使学生的新知得到及时巩固,

也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.

教学活动5

课堂小结

1.什么是数轴？

2.数轴的三要素是什么？

3.如何画数轴？

4.如何在数轴上表示有理数？

»设计意图:让学生自己总结，促进学生对本节课内容的掌握,提高学生的总

结归纳能力.

随堂练习

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第11页练习第1,2题，第16页习题1.2第2题.

板书设计

1.2.3相反数

课时目标

1.掌握相反数的概念，进一步理解数轴上的点与数的对应关系.

2.理解一〃可以是正数，也可以是负数，培养学生的抽象思想.

学习重点

求已知数的相反数.

学习难点

根据相反数的意义化简符号.

课时活动设计

教学直动1

情境引入

请两个学生背靠背站在同一位置，然后一个向右走5步，一个向左走5步.

问题:如果向右为正，那么向右走5步,向左走5步各记作什么？

>设计意图:从实际情境引入，激发学生的兴趣，为本节课的学习作铺垫.

教学活动2

探究新知

探究1相反数的概念

问题:请同学们在数轴上，画出表示+3,-3的点，并观察点的特征.

解:如图所示.根据图形，可得到在数轴上,+3和-3所对应的点位于原点的两边,

并且与原点的距离相等.

----1-----------1-----------i------>

-303

请同学们再举出几组具有这样特征的两个数,并总结发现的规律.

归纳:一般地，设。是一个正数，数轴上与原点的距离是。的点有两个，它们分别

在正、负半轴上，表示a和乜这两个数只有符号不同（如图所示）.

一11

-303

像3和和一这样只有符号不同的两个数，互为相反数.0的相反数是0.

追问:上面的。一定是正数吗?-。一定是负数吗?代入具体数值进行验证.

一般地,和互为相反数.这里,。表示任意一个数,可以是正数、负数,也可以

是().

探究2多重符号的化简

我们知道M与Y互为相反数，那-(-〃)与有什么关系呢?请在数轴上找出这两

个数表示的点，并说明它们之间的关系.

学生自主探究，小组讨论并派代表回答.

根据数轴，可知-(“。二兄所以・(-〃)与互为相反数.

在正数前面添上“.”号，就得到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上“，

号，新的数就表示原数的相反数.

请同学们借助数轴说明・(-5)=+5,・(+5)=-5.

从以上的化简结果中，可以发现什么规律？

归纳:化简多重符号时,只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结

果为正;若有奇数个，则结果为负.

»设计意图:通过让学生思考相反数的特征，让学生理解相反数，培养学生的

抽象概括能力，通过具体的相反数让学生总结一般的相反数的表示方法，经历由特

殊到一般的研究过程，培养学生的数学思维.

教学活动3

典例精讲

例1⑴分别写出・7和狗相反数；

(2)a的相反数是24,写出a的值.

解:(1)-7的相反数是7,(的相反数是三

(2)因为2.4与-2.4互为相反数，所以a的值是-2.4.

例2化简下列各数：

-(-3),-(+4),+(-5).

解:-(-3)=+3.-(+4)=-4.+(-5)=-5.

＞设计意图:通过例题，加深学生对相反数的认识，提高学生的应用能力.

教学活动4

巩固训练

1.-2的相反数是(A)

A.2B.-iC.-2

2诟

2.若。与・5互为相反数，则〃的值是(B)

A.-5B.5C」

5

3.相反数等于它本身的数是(C)

A.正数B.负数C.0D.非负数

4.如图，表示互为相反数的两个数的点是(D)

ARCD

、J----1----1----1।----¥-

0

A.点A和点8B.点A和点CC.点8和点CD.点A和点。

5.化简下列各数:

+(-3),-(-7),-(+3.2),-(-0.5).

解：+(-3)=・3.・(・7)=+7.・(+3.2)=・3.2.・(・0.5)=+05

»设计意图:通过设置不同层次的练习，不仅能使学生的新知得到及时巩固,

也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.

教学酒动国

课堂小结

1.相反数的定义是什么？

2.互为相反数的两个数在数轴上表示的点的特征是什么？

3.怎样求一个数的相反数?怎样表示一个数的相反数？

4.怎样化简多重符号？

＞设计意图:让学生自己总结，促进学生对本节课内容的掌握,提高学生的总

结归纳能力.

随堂练习

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第12页练习第2,3.4题，第16页习题1.2第3题.

板书设计

1.2.3相反数

「相反数的概念iff天有符号不同的两个数互为相反数：

;诵蔽......................,

,..............、:化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少：

i多重符号的化简：j个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数

!个，则结果为负

教学反思

1.2.4绝对值

课时目标

1.理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义,

初步了解数形结合的思想方法.

2.会求一个数的绝对值;知道一个数的绝对值，会求这个数.

3.掌握绝对值的有关性质.

学习重点

绝对值的概念.

学习难点

绝对值的几何意义.

课时活动设计

教学活动1

情境引入

两辆汽车从同一处出发，分别向东、西方向行驶10km,到达A,B两地,它们的

行驶路线相同吗?它们的行驶路程相同吗?

•设计意图:通过情境引入,激发学生的学习兴趣，为本节课的学习作铺垫.

教学酒动2

探究新知

探究1绝对值的概念

在教学活动1中，两辆汽车的行驶路线不同，但行驶的路程相等.如果我们将道

路抽象成数轴，点O为原点，向东为正方向,那么点A表示十10,点6表示-10,点

到原点O的距离就是我们这节课要学习的绝对值.

%io9.io4

卜中一H上

-10010•

请同学们自己总结绝对值的概念，教师点评.

绝对值的概念:一般地,数轴上表示数。的点与原点的距离叫作数。的绝对值,

记作M3可以是正数、负数和。).

问题1：根据绝对值的概念，说出10和-10的绝对值分别是多少？

解:上图中，点4与点B分别表示1()和-10,它甘与原点的距离都是1()个单位

长度，所以10和-10的绝对值都是10,BP|10|=10,|-10|=10.

问题2:0的绝对值是多少？

解:根据上图，可知点。表示的数是0,由于点O是原点，所以0的绝对值等于

0,BP|0|=0.

探究2绝对值的性质

问题3:写出下列各数的绝对值：

6,-8,・3.9,爵52100,0.

学生自主作答，教师请两名同学上台进行板演.

解:⑹=6卜&二81-3.9|=39|翡|,仔卜帝100|二100,|0|二0.

问题4:上述各数的绝对值与原数有什么关系。

学生分小组进行交流，请学生代表发言,教师最后进行总结.

解:6,|,100的绝对值等于它本身,・8的绝对值是8,8与.8互为相反数，所以-8的

绝对值是它的相反数，同理何得-3.9,q的绝对值是它们的相反数.0的绝对值是它

本身.

由此，我们可以得出结论:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是

它的相反数;0的绝对值是0,即

(1)如果。＞(),那么|a|=Q；

(2)如果。=0,那么闷=0;

(3)如果那么

＞设计意图:通过让学生自己探究绝对值的概念及性质,让学生更加深刻地理

解本节课的内容，并提高学生的推理和分析能力.

教学活动3

典例精讲

例(1)写出1,-0.5,一的绝对值；

(2)如图，数轴上的点分别表示有理数〃这四个数中，绝对值最小

的是哪个数？

ABCD

l.ll.ll.ll.l»

-4-3-2-10123

分析:对于(2),一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近;反过来，数

轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小.

解:(1)|1|=1,卜0.5|=0.5+(匕

(2)因为在点A,B,C,D中，点C离原点最近,所以在有理数a,b,c,d中,c的绝对值

最小.

＞设计意图:通过洌题，让学生会求一个数的绝对值，并理解数轴上的点离原

点越近，绝对值越小.

教学活动4

巩固训练

1.-10的绝对值是(B)

A.-10B.10C.—D.--

1010

2.下列各数中，与-卜||相等的数是(D)

A.-B--C.-D.--

2233

•设计意图:通过设置不同层次的练习，不仅能使学生的新知得到及时巩固,

也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.

教学活动5

课堂小结

1.什么是绝对值?如何求一个数的绝对值？

2.在学习绝对值的过程中，你经历了什么？这个过程中用到了哪些数学方法?

积累了哪些活动经验？

3.绝对值有■哪些性质？

»设计意图:学生通过自主反思，可进一步加深对绝对值的理解;通过反思数

学思想方法与活动经验，培养学生的数学思维品质，让学生学会学习，学会思考.

随堂练习

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第14页练习第1,2,3,4题，第16页习题1.2第4题.

板书设计

1.2.4绝对值

绝施展轴上表示数。的点与原点的距离叫作数。的

：的概念；;绝对值

............................................../.............................................................................................................................................：

\绝对值］

..........................'.............................Z............................................................................................................................................................\

J绝对值—j一个正数的绝对值是它本身；一个负数的!

1的性质—1绝对值是它的相反数；。的绝对值是0

'............•'

教学反思

1.2.5有理数的大小比较

课时目标

1.经历有理数大小比较法则的获得过程，积累数学活动经验，培养学生的抽象

概括能力.

2.掌握有理数大小的比较法则,会用法则比较有理数的大小，发展学生的数感.

学习重点

有理数的大小比较.

学习难点

两个负数的大小比较.

课时活动设计

教学活动1

回顾引入

比较下列各组数的大小：

0<1,1<2,6>3.

想一想，任意两个有理数的大小如何比较?如-4与-3,-2与0,-1和1的大小.

>设计意图:通过正数的大小比较引入有理数的大小比较，为本节课的学习作

铺垫.

教学活动2

探究新知

下图是未来一星期中每天的最高气温和最低气温.

问题:上图中，最高气温是多少?最低气温是多少？

解:星期一到星期日的最高气温分别是8℃,7℃,6℃,5℃,3℃,4℃,9℃,最低

气温分别是0C1CN℃,-2℃,-4℃,-3℃,2°C.

追问1:你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？

解:这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为-4,-3,-2,-1012

追问2:你能把这些数在数轴上表示出来吗?从中能得出什么结论？

学生动手画数轴，观察、思考、讨论，最后在教师的引导下得出结论.

结论:在水平的数轴上表示有理数，数学中规定:它们从左到右的顺序,就是从

小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.

小------------------►大

-5-4-3-2-1012345