第2章《分式》全章提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

第2章分式

2.1分式的概念及基本性质

课时1分式的概念

刷基础

知识点I分式的概念

1代数式①1②工③户必④9，⑤9,⑥二⑦贮中，分式有（）

zx^ysi&xm

A.I个B.2个C.3个D.4个

知识点2分式的值存在（或不存在）的条件

2分式土的值存在的条件是（）

A.x=0B.x#0C.x#-2D.xR2

3对于分式叱丝，当x=-2022时分式的值不存在，则a的值为一.

x-a

4.x取何值时，下列分式的值存在？

⑴胃⑵舒;⑶篝.

知识点3分式的值及分式值为（）的条件

5如果分式％中的x=2,y=l,那么这个分式的值为（）

A3B.4C.5D.6

6下表给出了分式常勺部分信息:

X的值■XiX20X3

T的值无意义

x-n■y>y?y3

其中<冷<。<口心<。，则下列说法正确的是（）

A.O<n<mB.n<m<（）C.n<O<mD.m<O<n

7已知x=l时，分式台的值不存在；x=4时，分式号的值为0,则（a+6）2°25=.

x-ax-a-

知识点4根据实际问题列分式

8某生产车间生产m个机械零件需要a小时完成，那么该车间生产200个同样的零件需要的时间为（）

A.坨小B寸B•击小时

a200«

C.%小时D.就小时

m200m

9一个圆柱形容器的容积为6立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度到达容器高度的一半后，改

用一根=1径为小水管口径2倍的大水管注水直至注满容器，设小水管每小时注水v立方米，则上述过程中，小水管

注水所用时间为一小时，大水管注水所用时间为一小时.

刷易错

易错点,,分式值为（）,、时漏掉',分母不为（广的条件而致错

I。如果分式力）值为零，那么m的值是（）

A.m#2B.m=±2C.m=-2D.m=2

课时2分式的基本性质

刷基础

知识点1分式的基本性质

1下列式子从左至右变形不正确的是()

-aa

A。•六《

b4byr

2分式等中的x,y的值都扩大到原来的10倍，则分式的值)

A.扩大为原来的10倍B.不变

C.缩小为原来的D.缩小为原来的点

时上

3当a,b满足J，55(o~b)

4根据分式的基本性质填空:

呜T⑵3xl+3xy_x+y

6x)'

⑶齐局；（4）竽=曷（厚。）♦

知识点2约分

d)G+2).

5若分式司以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（）

A.IB.xC.-xD.4

6下列分式约分正确的是（）

a^+b2

A.=a+bB==3

x-y

C之=2D.--=-l

・x^bbx-y

7先化简，再求值：已知分式产其中x=2,尸|.

知识点3最简分式

8下列分式是最简分式的是（）

A.-B.-4

4<7a+ab

c.学D.早

x2-im+i

9若分式三是最简分式，则△表示的是（）

A.2x+2yB.（x-y）2

C.3+2;9H/D.f+y2

刷易错

易错点1对分式的基本性质理解不透彻导致漏乘而出错

10不改变分式的值，把分式噌性的分子、分母各项系数都化为整数，得

0.3+y

易错点2分子、分母同乘一个为（）的数致错

11化简当或时，小明、小华两位同学的化简过程如下:

16a2—/>2_(4a+/>)(4a—8)

小明:=4。一人;

4a+b4a+b

小华：*喏冷=24

对于他俩的解法，你的看法是)

A.都正确

B.小明正确，小华不正确

C.小华正确，小明不正确

D.都不正确

刷提升

1若x,y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（）

3+比六3y八3y23y3

A.-----B.-C.-------TD.--

x-yx（x-y）2x

2若m为整数，则能使贮会也为整数的m有（）

w-I

A.I个B.2个C.3个D.4个

3请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，目当x=l时，分式的值为2：

4如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为•和谐分式］

⑴下列分式：①号;②嚼;③言;④今参，其中是“和谐分式”的是一（填序号）；

⑵若a为正整数，且和谐分式”，则a的值为

⑶从m2_/"2+2加〃+〃2,!11H三个整式中，任意选择两个整式构造分式，分别作为分子、分母，要求构造的分

式是“和谐分式'直接写出所有的结果:

5已知亡=2（孙¥0）.求分式三三邪]值该题没有给出x,y的值，怎样求出分式的值值两种方法:

.1）AS'JJ

方法一：因为==2,所以y-x=2xy,所以x-y=-2xy,

3(x-)^)-5xy_3x(-2x)^)-5xy-1Ixy

所以原式=

(x-y^6xy-2xy^-6xy4AV

方法二：因为xyrO,所以将分式的分子、分母同时除以xy得，原式=需果子=•.

（1广方法二',中运用的分式的基本性质是

（2请你将“方法二”中的剩余解题过程补充完整.

⑶若b=ab+a（a,b都不为0）,请计算分式与詈的值

刷素养

6••约去指数：如篝|=言,若=言...................你见过这样的约分吗?面对这荒谬的约分，一笑之

后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因?仔细观察式子，我们可作如下猜想：试说

明此猜想的正确性.（供参考：/+/=（1+H（/-孙+/）

2.2分式的加法和减法

课时1同分母分式的加减

刷基础

知识点1同分母分式的加减

1若匕=力-等厕人是（）

A.-3B.2C.3D.-2

2设机=看一5，11=-^-±,贝!]01,n的关系是（）

A.m=nB.m>nC.m<nD.m+n=0

3计算：

⑴迫—=__L.⑵上+也一上

m-nm-nm-n'x-4y4y-xx-4y

⑶—.....---

I,（a-垃25a）2•

知识点2同分母分式的化简求值

4如果a+b=23B么合一击的值是()

A”B.2C.-iD.1

5已知六二-止,。=(仆)，)2-2)，(厂内.小敏、小聪两人在乂=2,产-1的条件下分别计算了P和Q的值，小敏认

x-yx-y

为P的值比Q大，小聪认为Q的值比P大.请你判断谁的说法正确，并说明理由.

6已知a+b+c=O,且abc#O,求aQ+0+c的值.

7分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，那么称这样的分式为真分式.例

如，分式《和芸是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，那么称这样的分式为假分式.例如，分式廿和5

是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如：号=膏=1-^.

(1照假分式皆化为一个整式与一个真分式的和；

(2)如果分式三的值为整数，求x的整数值.

课时2异分母分式的加减

刷基础

知识点1通分与最简公分母

1下列各选项中，所求的最简公分母错误的是()

能看的最简公分母是6x

B.曰十的最简公分母是3a2b：c

C/片与表的最简公分母是ab(x-y)-(y-x)

D.工3最简公分母是苏-〃2

m-n

2写出最简公分母并通分：⑴的*;(2)±,&a

知识点2异分母分式的加减

3如果x>y>1.那么昔一：的值是()

A.正数B.负数C.零D.不确定

4已知x是整数，且.+,+誓为整数，则所有符合条件的x的值的和为（）

A.I2B.15C.18D.20

5若!」=2,则分式上=.

xyy-x-

6计算下列各题.

八、cr-3aa-32a+4

(2)-;——---------

'72<Z2+2ZZa2+2a+\a+2

(3)仁一厂2)+总;.

刷易错

易错点括号前是负号，去括号时未将括号里各项变号导致分式化简的结果错误

7不面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

r-92x+\

./•|3:卜92x»6

_(,v4-3)(x-3)2x+\第一步

(x+3)22(x+3)

x-32x+\第二步

x+32(.v+3)

_2(x-3)2t+1第三步

2(.r+3)2(x+3)

_lx6(2A।1)第四步

2(-v+3)

_lx-6-2x+]第五步

2(-v+3)

=一5第六步

2.V+6"

任务一：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是

任务二：请你写出该分式化简后的正确过程及结果.

刷提升

1已知喂+M消冷?则A，B的值分别为（）

A.3,-15B.-15,3C.-3,I5D.15,-3

2某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合作完成所需天数的a倍，乙队单独做所需天数是甲、丙两队合

作完成所需天数的b倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合作完成所需天数的c倍，则」7+占+々的值是

)

A.IB.2C.3D.4

3已知实数x,y,z满足2+±+W=；，且;^+±+1=1L则：x+y+z的值为（）

A.I2B.14C.yD.9

4计篁，一!—+-L+J-+—!—=

“VT丹.13K2F-XF+X?+3x+2-1

5若两个分式M和N满足M-N=k（k为整数），则称M,N为“兄弟分式”，整数k是M关于N的“信度值”.如分式

河=小23因为日-2=2,所以左白为“兄弟分式'整数2是三关于2的“信度值”.

x-1x-1X-1X-lX-\X-lX-IX-1

⑴已知分式河=*,2标判断M,N是否为“兄弟分式？若不是，说明理由；若是，请求出M关于N的“信

度值“k.

（2）已知x,y均为非零实数，分式与，意

为“兄弟分式、且寻关于意的“信度值,为3,求分式合的值.

⑶已知“兄弟分式”M,N,分式M=含关于分式N=高的“信度值”是-2.

①求P（用含x的代数式表示）；

②若M的值为正整数，且x为正整数，求x的值.

刷素养

6观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：……

（常青想看⑷1，且n为正整数尸;

（2）14■算:11--------H-4------------；

'/2023《+1）（"1）（户2）（产2022）（x+2023）'

（3阖ab-3|+|b-l|=0,求2+号不+品司+品两十一品两的值・

2.3分式的乘法和除法

课时1分式的乘除

刷基础

知识点1分式的乘法

1计算:5的结果为（）

A.—B.-J-C.—D./

abab

2若m-n=2,则代数式白土也的值是（）

mm«/1

A.-2B.2C.-4D.4

3/

3计算:

9b'『Gf）2

知识点2分式的除法

4若W卷的运算结果为整式，则。代表的式子可能是（）

X

A.—B.3xyC.5yD.x+y

5若化简总结果为已则m的值是（）

A.-4B.4C.-2D.2

知识点3分式混合运算

6已知六则P与Q的大小关系是（）

人1I•AI'I

A.P-QB.P>Q

C.P<QD.无法确定

7计算：

⑴0+q+2_.

,m+24-nrnt-2'

Q）信一忘7）+£

⑶务（1-答）4

8先将;.（〃计1）、詈化简，再选取一个你认为合适的m的值代入求值.

刷易错

易错点在进行分式的乘除混合运算时，弄错运算顺序而致错

9阅读埋解：

计算户（02>当时，小虎的解答过程如下：解：/（厂2）白/号=xX=x.

小虎的解答过程是否正确?如果不正确，请你写出正确的解答过程.

刷提升

10符号0代表一个代数式，能使分式运算善+烹=®（〃雄T且m邦）成立，则®代表的代数式为（）

A.」—B.-C.mD.±m

1m

2你听说过著名的牛顿万有引力定律吗?任何两个物体之间都存在互相吸引的力，如果设两个物体的质量分别

为n,m2,它们之间的距离是d,那么它们之间的引力为4竽（G为常数）.人站在地球表面所受到的重力近似地

等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.地球的半径约为木星半径的《，地球的质量约为木星质量的白，则

!131o

站在地球表面的人所受到的重力约是他站在木星表面所受到的重力的（）

A.gB.|C.25倍D.4倍

3如图，将四张长、宽分别为a,b[a>b>0）|的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方

形的面积为49,中间小正方形的面积为1,则（1-/广宁+（6叱66）的值为

ao

a

4在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：（"+》（。2+/）（/+点）・（/+9（41）,同

学们都感到无从下手，小明将a2-\变形为a，然后用平方差公式很轻松地得出结论.你知道他是怎么做的

吗？

刷素养

5定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则称分式B是分式A的''可存异分式”.如；与

匕因为占-土时）12），煮$=品丽，所以孕印r访异分式”.

（I澳空：分式上—分式9的''可存异分式”（填••是''或"不是”）.

（2）分式七的''可存异分式”是—.

.V-4

（3）已知分式三|是分式A的“可存异分式”.

①求分式A；

②若整数x使得分式A的值是止整数，直接写出分式A的值.

（4）若关于x的分式二音“是关于x的分式号的，•可存异分式'求6M+19«+534的值.

课时2分式的乘方及乘除混合运算

刷基础

知识点1分式的乘方

1下列计算中，错误的是（）

e?

B.图当

C侈

D（5广=京〃为正整数）

2如果品那么A=—

知识点2含乘方的分式乘除混合运算

3（-给周二［步（）

A.--7B.-7C.3x3D.4x^

yrvv,

4若［答竺的计算结果为正整数，则对a值的描述最准确的是（）

a-\2aL2aJ

A.a为自然数B.a为大于0的偶数

C.a为大于1的奇数D.a为正整数

5计算：

（l）4a2^（-^）2-（-£）.

⑵彦）2

（3）（方㈢3.志・

6先化简，再求值：(\F)-(x+y)•(士)，其中x=-^产T.

7下面是斌斌同学的一道作业题，请仔细观察他的解题过程，然后按要求回答问题.

计算:包⑶旬.

解：原式二勺。台岳,……...第一步

第二步

第三步

⑴上述变形过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是.

(2请你写出正确的解题过程.

2.4整数指数鬲

2.4.1同底数鬲的除法

刷基础

知识点1同底数幕的除法

1下列计算正确的是()

A.b^b2=b4B.2b^b3=2b

C.b3+(-b)2=bD.-(2b)2^2b=-b

2计算:

(1J6/-3X2;

(2)6/3+4后护；

(3)(厂厂地

知识点2同底数幕的除法的逆用

3已知2i=,〃,用含m的代数式表示2*正确的是()

A.I6mB.8mC.m+4D.-

16

4如图，在甲、乙、丙三个袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2,个球放入乙袋，再从乙袋

中取出（252，）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2,个球放入甲袋，此时二个袋中球的个数相同，则2x~y的值等于一

丙袋

5已知。加=3,4=6,求a3f的值.

知识点3同底数毫的乘、除法与幕的乘方的综合

6若*=27+3\则4V。2刈=_.

7计算下列各题：

⑴（一。）,（一

⑵肥产（-g）3乎⑺3父一03）2

⑶OpAYSfAP•（什

2利用幕的运算法则解答下列问题：

⑴已知（c严）〃=心,（，产）2%〃="3,求mn和2m-n的值；

（2）已知33-9"”4+272mi的值为729,求m的值.

知识点4同底数幕的除法的实际应用

3一种被污染的液体每升含有3.6x10U个有害细菌.为了测试某和杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1

滴杀菌剂可以杀死6x10"个此种细菌，要将1升被污染的该种液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少

毫升?（注：15滴=1毫升）

2.4.2零次幕和负整数指数幕

刷基础

知识点1零次零

1下列运算正确的是()

A.(2/H-1)°=1B.0°=0

C.aQ=\D.(屏+1)。=1

2若(2q—5)"2=i.贝J]a=.

知识点2负整数指数作

3我们知道212,22=4b2°=1024那么2-3。接近于()

A.IO10BIO/C.108D.10-7

4如果a=99°,g(-0.1尸,那么a,b,c三数的大小关系为—.(用连接)

5若(1)°-(3.广6)-2有意义，则x的取值范围是—•

6已知3m=《,2"=16,则m”的值是—.

7，P=2(s£0,pp为正整数)，即a的负p次幕等于a的p次幕的倒数.例：产4.

(1计算:5-2=_；(-2)-2=二

(2)如果2-P=；,那么p=—；如果/2=《,那么=—.

o10a

(3)如果h=、且a为整数，求满足条件的a,p的取值.

知识点3科学记数法

82D24年11月17日,第十五届新素材中国国际航空航天博览会在广东珠海圆满落幕.本届航展规模空前，展馆

面积和展品数量创历史新高，首次打造“空、海、陆''一体的动态演示新格局.十大“前所未有”的亮点震撼亮相，尽

显中国力量.其中某展品零件的半径大约为0.0000000000000000043米，将().0000000000000000043用科学记

数法表示为()

A.4.3x1077R4.3x10-18

C.4.3XK)T9D.0.43x1ir20

9已知I纳米-IO。米，将:纳米用科学记数法表示为“10"米的形式，则a,n的值分别为一

知识点4将用科学记数法表示的数还原、,

10“手撕钢”是一种能够被徒手撕碎、厚度只有A4纸四分之一的不锈钢，广泛应用于航空航天、化工、医疗等

领域.山西太钢自主研制的不锈钢箔材厚度为2xl()7m,其制造工艺达到世界领先水平.将数据"2x1『m"化为以

m”为单位的数，正确的是()

A.200mmB.200mm

C.0.02mmD.0.002mm

H原子是化学变化中的最小粒子,按照国际单位制的规定，质量单位是•'千克”.例如：1个氧原子的质量是2.6

57x10一然kg把2.657'10-26还原成小数,则这个小数中“0”的个数为

2.4.3整数指数幕的基本性质

刷基础

知识点1整数指数幕的基本性质

1下列计算错误的是（）

A.（G的3=4

B.（而2尸=「

皿尸）3=4

D.（2〃，〃-2）3・〃/3〃3=与

2计算3—2）3（4反）-2，用巴结果化为只含有正整数指数幕的形式为（）

A1B—r—D1

八•同«》0a65的广

3一个正方体盲盒的棱长为0.4m,若有一个小立方块的棱长为IX103m,则要将此盲盒装满需要小立方块的个

数为—.（用科学记数法表示）

4一个数学九宫格中，当处于同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数之积都相等时，称这个九宫格为

'、积的九宫归位”.在如图的九官格中，三填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位、则x的值为一.

阅渎下列解题过程后回答问题：

（-362〃-2尸•（—2〃/3〃4）-2

=（一3）-3〃/6〃6.（-2）-2?„6„-8.....................................①

=-316”6一（一;m6〃-8）............................................②

=短。...............................③

上述解题过程中，从第一步开始出错，正确的计算结果为

6计算：

(1)(犷3f2)7,弓/)-4,

⑵(-0、(勺®4

⑶(-!,(~a2b%?)

知识点2整数指数幕基本性质的逆用

7已知xF=2/=3,则7-2my”)y=_.

8下面是刘浩同学计算64，"+16"x4(m,n为整数)的过程：

64F6”4=(43尸+(42)、*4廿句><4=4^-2^，你认为他计算对吗?若不对,请写出正确的计算过程.

9已知10-2a=3,10%:，求106ft+2/1的值

重难专题1分式的化简求值

类型1化简后直接代入未知数的值求值

1若ab=l,〃尸±则〃产2i的值为

1+。I

A.2021B.OC.ID.2

2先化简，再求值：(1-.)+勺f其中片2T+(L2018)0.

3先化简，再求值：(1-审)+若彳，其中|a区4,且a为整数.

\a-2/十4

类型2整体代入求值

4已矢口x十y—5,xy—2,贝!J的值为()

9

A.2B，74C.3

5若尸卷，则学的值为()

A.jB.-lC.-1D.一三

6已知实数m,n满足渥+2〃L2=0,m-n=2厕代数式——

类型彳化简后利用限定条件求值

7已知(x-y)(2x-y)=O(xy#))厕廿阳值是)

A.2B「2；

C.-2或一2；D.2或2T

8先化简，再求值：（1-£）♦忌主，其中*3|+日）2=0.

9已知g~r=T,求的值.

.d-3x+lx--9U+l

2.5可化为一元一次方程的分式方程

课时1分式方程及其解法

刷基础

知识点I分式方程的概念

1有下列方程：①2r+?=10；②kL2;③7■4-3=0;④牛+==1.属于分式方程的有（）

A.①②B.②③C.③@D.②④

知识点2解分式方程

2解分式方程工-2=分时，去分母正确的是（）

A.x-2=x-1B.x-2(x-2)=x-l

C.x-2(x-2)=-x-lD.x-2(x-2)=-x+l

3对于非零实数m,n,规定〃片总+自若（3x+2）M=l,则x的值为

4解下列方程:

x-l3

"1Y2-

知识点3根据分式方程无解求字母白

5若关于x的方程詈=3无解，则m的值为

知识点4根据分式方程解的情况求字母的值

6已知关于x的分式方程卓=1的解是非负数，则m的取值范围是（）

A.m>3且mr6B.m<3

C.m>-3且n#3D.m<-3且m^-6

7若关于x的分式方程与十白=2的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为

X-II-X

刷易

易借点①去分母时，常数项漏乘最简公分母而出错；②解分式方程忘记检验

8小丽解分式方程1-品=争寸，出现了错误，她的解题过程如下:

解去分母得l-(x-3)=6x……第一步

解得A?…•…第二步

所以原分式方程的解是尸?…•…第三步

(1)小丽的解答过程从第一步开始出错，这一步应为,这一步的依据是.

(2)小丽解答过程缺少的步骤是—•

(3请写出正确的解题过程.

刷提升

1对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号min［a,b］表示a,b中较小的值如min［2,4］=2.按照这个规定，方程

min卜：］=/(x>0)的解为()

A.・l或2B.2C.-lD.无解

2若关于x的不等式组的解集为xvl,且关于y的分式方程詈T二三的解为正整数，则符合条件

的所有整数a的和为

3使分式方程最简公分母为0的未知数的值不是分式方程的解，我们称它是该分式方程的增根.已知关于x的

分式方程匕+不会=3

(1)若方程的增根为x=l,求m的值；

(2)若方程有增根，求m的值;

(3诺方程无解，求m的值.

4［较难］观察下列方程以及解的特征：

®x+:=2+；的解为x}=2火=J;

②x+：=3+!的解为勺=3彳2=；；

③^+1=4+：的解为勺=4/2=：;

X44

⑴猜想关于X的方程"：=〃什5的解，并利用“方程解的概念”进行验证；

(2利用(1)的结论解分式方程：①户4岑;②

\ooLQ

刷素养

5新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程“+1=》的解是.I—；成立，那么我们就把实数a,b组成

xa^b

的数对［a,b］称为关于x的分式方程71=6的一个“关联数对”.例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方程：+1=-5的

解是尸仁=-城立，所以数对[2,-5]是关于x的分式方程,1=人的一个“关联数对二

/十(njjx

⑴判断下列数对是否为关于X的分式方程的“关联数对、'?若是，请在括号内画若不是.画“X”.

①[/"]().②[3,4]().

③).

⑵若数对[〃2_3，一国是关于X的分式方程,l=b的“关联数对”，求n的值

(3)若数对[m-k,k](n4.l且n#O,krl)是关于x的分式方程-+l=b的“关联数对”，且关于x的方程kx-m+\='-^x

X/w+1

有整数解，求整数m的值.

课时2分式方程与实际问题

刷基础

知识点I路程问题

1某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往，某老师因有事情，

推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的L2倍前往，结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米，时，则可

列方程为

2如图，快递员甲和乙同时从配送点A和D出发，分别沿不同路线前往仓库C.甲从A经过中转站B再到C,

乙从D直接前往C,且乙的速度与甲从B到C的速度相同.两人在各路段均保持匀速行驶，各点间距如图所示.若

甲从A到B的速度比从B到C的速度慢10m/min,且从A到B的时间为从B到C时间的一半，则____(填呷”或

“乙”洗到达仓库C.

AB&

知识点2工程问题知识点3销售问题(

3DeepSeek公司使用通用模型V3新素材与推理模型R1协作完成一项数据分析任务，V3单独完成需要的时间

比R1多2小时，若两模型协作，共需要6小时.设R1单独处理数据需要x小时，则正确反映协作效率的方程是

()

B.x+(x+2)=6

4为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一段长3600米的街道地

下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%,按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务.求实际施工时,

每天改造管网的长度.

知识点3销售问题

52024年II月中华人民共和国首届青少年三大球运动会在长沙举行.某校为响应国家政策，在课后延时服务中

开设了多个社团，其中排球社团需要添置一些排球，第一次购买排球花费了3000元，因报名学生较多排球不够，

第二次又花费了3000元购买排球，但单价比上次上涨了25%,结果第二次购买的排球比第一次少15个.

(1)求两次购买的排球单价分别是多少；

(2)求该社团前后两次一共购买的排球数量.

刷提升

1一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是II页水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8k

m/h,平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1,某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了

9h.则甲、乙两港之间的距离为()

A毕机B.15kmC.>D.20km

2甲、乙、丙三名工人共同承担生产一批零件的任务.已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下：

甲说：我的工作效率比乙的工作效率少2

乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等；

丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的;

丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率.我知道工程问题中三者关系是工作效率x工作时间=

工作总量.

如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流二作至完成所有任务，共需一小时.

3=面是小亮学习了“分式方程的应用”后所写的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务.

某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价

题目多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙

两种商品每件的进价各是多少元

解题过程分析问题列出方程

设……

解法一2000_1200

xx-20

等量关系：购进甲种商品数量-购进乙种商品

数量

设……

20001200c八

解法二------------=20

XX

等量关系：甲种商品进价-乙种商品进价=20

任务：

(1根据题中解法可求出甲种商品的进价为一元彳牛，乙种商品的进价为一元/件.

(2)商店计划用不超过1440亓的资金购讲甲、乙两种商品共40件，至多购讲甲种商品多少件”

刷素养

4某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，匀速向上运行.甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且

甲每分钟走的台阶数是乙的2倍.已知甲走了24级台阶到扶梯顶部，乙走了16级台阶到扶梯顶部(甲、乙两同学每

次只跨I级台阶).

(1法梯露在外面的部分有多少级台阶？

(2)如果与扶梯并排有一楼梯，台阶数与扶梯露在外面的级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯

到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第I次与乙相遇时是在扶梯上还是在楼梯上?他已

经走动的台阶级数是多少级？

重难专题2分式方程的含参问题

类型1分式方程有增根

1若方程十不一4=1有增根，则它的增根是()

A.OB.-1

C.lD.-1或1

2若关于x的分式方程白=*有增根x=2则k的值为_____

X-2AT-4

类型2分式方程有解或无解

3若关于x的方程上=匕有解，则a的值不能为()

x-a2x-1

A3B.2

C-D-

。352

4若关于x的分式方程/+MW无解，则m的值为一•

类型3分式方程有(非)正数解(

5关于x的分式方程台―4=#解为非正数，则k的取值范围是()

A.k<-12B.k>-12

C.k>12D.k<-12

6已知关于x的方程凸-的解是正数，求m的取值范围.

类型4分式方程有整数解

7若关于x的分式方程V二：有正整数解，则整数m的值为()

A.-3B.OC.-iD.-1或()

8若关于x的分式方程­=淖整数解，求整数m的值.

第2章分式综合与实践空瓶换汽水

刷实践

【题目背景】

炎热的暑假来临，几个小朋友决定用他们的零花钱一起购买汽水.他们凑了10元，买了10瓶汽水.喝完后，他

们发现卖汽水的店主有一个有趣的规定：每3个空汽水瓶可以兑换1瓶新的汽水，不足3瓶时可以向店主借1个空

瓶，但兑换喝完后需要归还.小朋友们很好奇，他们最多可以喝到多少瓶汽水呢？让我们一起来探索这个问题吧！

【问题回顾】

问题：小朋友们最初购买了10瓶汽水，喝完后得到10个空瓶每3个空瓶可以兑换1瓶新的汽水，在借I个

空瓶就还I个空瓶的前提下，问他们最多可以喝到多少瓶汽水？

解：第一次兑换：10瓶汽水喝完有10个空瓶，每3个空瓶兑换1瓶，可以兑换3瓶；第二次兑换：第一次兑

换喝完后还剩4个空瓶，可以再兑换1瓶；第三次兑换：第二次兑换喝完后还剩2个空瓶，然后向店主借1个空

瓶，就可以再兑换1瓶，喝完再把最后的空瓶还给店主.经过三次兑换，总共兑换了5瓶，所以小朋友们最后共喝

到了15瓶汽水.

【探索规律】

⑴如果初始购买15瓶汽水，兑换规则不变，最多可以喝到多少瓶汽水？

(2)如果兑换规则改为每4个空瓶兑换1瓶汽水，初始购买15瓶，最多可以喝到多少瓶汽水？

(3)设初始购买的汽水瓶数为m,每n个空瓶兑换1瓶汽水，最多可以喝到的汽水瓶数为T,请用m,n表示出

T.

【拓展应用】

（4）某品牌饮料开展”12个空瓶兑换I瓶饮料”的大型促销活动，小张和他的朋友们在活动期间共喝了245瓶饮

料，那么他们至少需要买多少瓶饮料？

（5）某环保组织为了鼓励大家保护环境、节约资源，准备设计一个回收废旧电池的活动，如果你是这次活动的

策划人员，请策划一个合理的回收活动方案并举例进行计算.

第2章分式全章考点训练

考点1分式有意义的条件

1要使分式合有意义，则x需满足的条件是—.

考点2分式的计算及化简求值

2计算三-白的结果等于（）

A3B.xC'.--D.；［

3已知A为整式，若计算/一）结果为4厕A=（）

xy^yr产七少xy

A.xB.yC.x+yD.x-y

4已知a-b-l=0,求代数式当编的值

考点3科学记数法

5人体内一种细胞的直径约为1.55微米,相当于0.00000156米数字0,00000156用科学记数法表示为（）

41.56x10-58.0.156x10-5

C.1.56X10-6D.I5.6XKF7

考点4零指数幕、负整数指数幕的计算

6计算:（广3）。+（歹=

7计算：2°x|-1|+V4-3-1.

考点5解分式方程

8分式方程二7=1-斗勺解为正数，则m的取值范围（）

LI-V-1

A.m>-3B.m>-3且mW-2

C.m<3D.m<3且m^-2

9已知关于x的分式方程9-2=二无解，则k的值为（）

x-33-x

A.k=2或k=-lB.k=-2

C.k=2或或1D.k=-1

10解方程:-rr+--T=l.

x'Tx-1

考点6分式方程的实际应用

11杲旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比

乘坐D型车少用2小时，C型车的平沟速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度.

第2章分式章节测试

一、选择题（本大题共32分，每小题4分）

1下列各式：x%2x，F，江!*中，是分式的共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2在2025年蛇年春晚上，一群会时湃、能抛手绢的宇树人形机器人惊艳亮相，机器人的研发成为当今时代科

研的重点.国内研