人教版高中数学必修2考点训练：概率的基本性质（原卷版）

10.1.4概率的基本性质

【考点梳理】

>考点一：互斥事件的理解

>考点二：对立事件的理解

>考点三：互斥、对立事件区别

>考点四：互斥事件概率公式的应用

>考点五：对立事件概率公式的应用

>考点六：互斥事件概率公式求概率

>考点七：概率的基本性质综合问题

【知识梳理】

知识点01概率的基本性质

性质1对任意的事件力，都有夕（⑷三o.

性质2必然事件的概率为L不可能事件的概率为。，即2（0）=L2（0）=&

性质3如果事件/I与事件6互斥，那么产G4U#=P（冷十网⑸.

性质4如果事件力与事件《互为对立事件，那么P（而=1一个（力）,P（4）=1一尸（欧

性质5如果/仁夕，那么）冷WP（皮.

性质6设48是一个随机试验中的两个事件，我们有〃设U-=

知识点02：交事件与并事件

定义符号图示

一般地，事件A与事件夕至少有一个

并事件发生，这样的一个事件中的样本点或AUB

（或和事者在事件力中，或者在事件8中，我（或力+

n

件）们称这个事件为事件/与事件8的并出

事件（或和事件）

一般地，事件力与事件8同时发生，

交事件这样的一个事件中的样本点既在事

AQB

（或积事件力中，也在事件8中，我们称这样

（或明Q

件）的一个事件为事件力与事件6的交事

件（或积事件）

知识点03：互斥事件和对立事件

定义符号图示

一般地，如果事件A与事件4不能同

时发生，也就是说/in〃是一个不可

互斥事件[n〃=0©励

能事件，即/G4=。，则称事件/与Q

事件〃互斥（或互不相容）

一般地，如果事件A和事件4在任何

一次试验中有且仅有一个发生，即/

AUB=Q

对立事件UB=Q,且那么称事件"&)

与事件夕互为对立，事件A的对立事

件记为，

【题型归纳】

题型一：互斥事件的理解

I.（23-24高一下•山东济南.期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件

的是（）

A.“至少一个白球，，与“至少一个黄球，，B.“恰有一个白球”与“恰有两个白球”

C.“至多一个白球”与“至多一个黄球”D.“至少一个黄球”与“都是黄球”

2.（2223高一下•河南洛阳•阶段练习）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料.甲、乙两名同学都购

买了这种饮料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是（）

A.甲、乙恰有一人中奖B.甲、乙都没中奖

C.甲、乙至少有一人中奖D.甲、乙至多有一人中奖

3.（22-23高一上•山东潍坊・期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推

导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（）

A.至少有1名男生与全是男生；

B.至少有I名男生与全是女生；

C.恰有1名男生与恰有2名男生；

D.至少有1名男生与至少有1名女生.

题型二：对立事件的理解

4.（22-23高一下•云南昭通•期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立

事件是（）

A.至少有2个红球B.至少有2个黄球

C.都是黄球D.至多2个红球

5.（21-22高一下•河南省直辖县级单位•期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一

次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为蓝球”为对立的事件有（）

A.2个小球不全为蓝球B.2个小球恰有1个蓝球

C.2个小球至少有1个蓝球D.2个小球都为绿球

6.（21-22高一下.广东广州•期末）某人在射击比赛中连续射击2次，事件“2次都不命中”的对立事件是（）

A.至多有1次命中B.2次都命中C.只有1次命中D.至少有1次命中

题型三：互斥、对立事件区别

7.（22-23高一下•天津南开•期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件4与

事件B互斥却不互为对立（）

A.事件4：3个球中至少有I个红球；事件B：3个球中至少有1个白球

B.事件4：3个球中恰有1个红球；事件8：3个球中恰有1个白球

C.事件A：3个球中至多有2个红球：事件8：3个球中至少有2个白球

D.事件A：3个球中至多有1个红球；事件93个球中至多有1个白球

8.（24-25高三上.江苏常州•阶段练习）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事

件：①两球都不是白球：②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为向球”互斥而非对立

的事件是（）

A.③B.①③C.②@D.①②

9.（23-24高一下•陕西西安•期末）有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、

北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（）

A.互斥但非对立事件B.对立事件

C.非互斥事件D.以上都不对

题型四：互斥事件概率公式的应用

10.（23-24高一下•江西景德镇•期中）某商店的•位售货员，发现顾客购买商品后有4种支付方式：现金支付，微

信支付，支付宝支付，银联支付，其中用现金支付的概率是0.3,支付宝支付的概率是0.2,银联支付的概率是0.1,

则选择用微信支付的概率为（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

11.（23-24高二下・浙江舟山・期末）设48是一个随机试验中的两个事件,且。（4）=；,啊=卷》（初+砌=（,

则尸（A+5）=（）

A.2B.2C.HD.3

123124

12.（2024高一下.全国.专题练习）口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红

球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,那么摸出的球是黄球或白球的概率为（）

A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6

题型五：对立事件概率公式的应用

13.（23・24高一下•宁夏固原.期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，，乙获胜的概率是:，则甲获胜的

概率是（）

A.-B.：C.-D.—

6236

14.（23-24高一上・江西吉安•期末）已知事件A,8是互斥事件，P（A）=1,P（可=］，则尸（4U8）=（）

6'73

A.—B.-C.yD.-

18923

15.（2023・全国•模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两

次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率2为“两个球都是白球''的概率为1:，则“两个球颜色不同”

的概率为（）

A.±B.2C.AD.以

15151515

题型六：互斥事件概率公式求概率

16.（24-25高二上•湖北十堰）已知随机事件A和8互斥,且尸（A（JB）=0.5,尸（8）=0.3.则?（可=（）

A.0.5B.0.6C.0.7D,0.8

17.（23-24高一下•山西大同.期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸

出的球是红球或白球的概率为0.56,摸出的球是红球或黑球的概率为0.68,则摸出的球是白球或黑球的概率为（）

A.0.64B.0.72C.0.76D.0.82

18.（23-24高一下•全国•阶段练习）已知事件A、5、C两两互斥，若P（A）=：,P（C=；，尸（AD8）=,，则P（BuC）二

（）

题型七：概率的基本性质综合问题

19.（22-23高一上•江西吉安期末）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大

小完全相同且编号分别为1，2,3,4,5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为“，放回后乙再随

机摸出一个球，也记下编号，设编号为儿记录摸球结果（。，b）,如果。+〃>5,算甲赢，否则算乙赢.

⑴求。+。=5的概率；

⑵这种游戏规则公平吗？请说明理由.

20.（2。20高一•全国・专题练习）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，

判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.

①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；

②“至少有1件次品”和“全是次品”；

③“至少有1件正品”和“至少有I件次品

21.（24-25高一上•安徽蚌埠•期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1,2的

两个红球和标号为3,4,5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽

取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：

规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个自球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为

奇数获三等奖，其余不获奖；

规则二：若抽到两个红球目标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和

为偶数获三等奖，其余不获奖.

⑴请以标号（工,），）写出两次抽取小球的所有结果（其中x,1y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；

（2）求两种规则下获得二等奖的概率；

（3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由.

【双基达标】

一、单选题

1.（2024高一下•全国・专题练习）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，此家庭是随机选择

的，则下列说法正确的是（）

A.事件“该家庭3个小孩中至少有I个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件

B.事件“该家庭3个孩了•都是男孩”和事件“该家庭3个孩了•都是女孩”是对立事件

C.该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为:

O

D.该家庭3个小孩中至少有2个男孩的概率为g

2.（22-23高一下•广东阳江•期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立

的两个事件的是（）

A.“至少有I件正品”与“都是次品”B.“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”

C.“至少有1件次品”与“至少有1件正品”D.“都是正品”与“都是次品”

3.（23・24高二上.广东佛山•阶段练习）已知随机事件A和8互斥，A和C对立,且P（Au3）=05P（B）=0.2,则

P（C）=（）

A.0.8B.0.7C.0.6D.0.5

4.（22-23高一下•山西朔州•期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件

而不是对立事件的两个事件是（）

A.恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球

B.至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球

C.至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球

D.恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球

5.（2023高一•全国•专题练习）通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51,生女孩的概率约是0.49.一个

妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（）

A.0.49B.0.50C.0.51D.不能确定

6.（22-23高一下•福建原门•期末）某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任

选一名同学了解其艺术特长.设事件,4=”选中的同学精通乐器”，8=“选中的同学擅长舞蹈“，若P（Au8）=；,则

P（A8）=（）

7.（22-23高一下•全国•课后作业）下列说法正确的是（）

A.当48不互斥时,可由公式P（AU8）=P（A）+P（8）-0（48）计算AIJ8的概率

B.4,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小

C.若P（A）+P（8）=1,则事件4与3是对立事件

D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,8中恰有一个发生的概率大

8.（22-23高二卜•・辽宁・期中）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理''的原则，参加保险人员

可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙两名参加保险人员所在的地

区附近有A，B,。三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的，则甲、乙两人不选择同一家社区医院

的概率为（）

A.1B.»C,1D.2

9933

9.（2023・上海长宁.一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件4为：至少一个点数是奇数；事件3为：点数之

和是偶数：事件A的概率为P（A）,事件8的概率为。（4）；则l-P（AcB）是下列哪个事件的概率（）

A.两个点数都是偶数B.至多有一个点数是偶数

C.两个点数都是奇数D.至多有一个点数是奇数

10.（21-22高一下•福建福州•期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A="取

出的两球同色“，事件8="取出的2球中至少有一个黄球“，事件C=”取出的2球至少有一个白球“，事件。="取出

的2球不同色"，£="取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（）

A.P（A+B）=P（A）+P（B）B.P（C）+P（D）=\

C.P（CIJ£）=1D.P（8）=P（C）

二、多选题

II.（24-25百二上•重庆铜梁•阶段练习）若随机事件A,B互斥,A,8发生的概率均不等于0,且

P（A）=2-a,P（B）=4a-5,则实数。的值可以是（）

A13n5「4n31

A.—B.—C.-D.—

124324

12.（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事

件4="两次取到的球颜色相同“；事件8="第二次取到红球”；事件C=”第一次取到红球”.下列说法正确的是（）

A.A=8B.事件B与事件。是互斥事件

22

C.外48)=百D.P（B+C）=-

13（2324高一下.江苏苏州.期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=”出现点数为奇数”，事件8=”出现点数

为3"，事件C=”出现点数为3的倍数”，事件。=”出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（）

A.6与。互斥

B.A与。互为灼立事件

c.P（0=g

D.P（AC）=P（B）

14.（22-23高一下•甘肃•期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A="甲击中靶“，事件8="乙击中靶”，

事件E="靶未被击中”，事件厂="靶被击中”，事件G="恰一人击中靶“，对下列关系式（彳表示A的对■立事件，B

表示5的对立事件）：®E=AB^®F=AB,③尸=A+3,@G=A+B,®G=AB+AB,@P（F）=1-P（E）,

⑦户俨）=P（A）+P（3）.其中正确的关系式的是（）

A.①③⑤B.®®®C.①⑤@D.③④⑦

15.（23-24高二上.湖北.阶段练习）设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中

任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件A=”从甲袋中任取1球是红球”，记事件B="从乙袋中任取1球

是白球”，则（）

27

A.P（A）=-B.P（B）=—

312

1-1

C.P（AB）=—D.P（AB）=-

124

三、填空题

16.（24-25高二上•湖南长沙•阶段练习）已知随机事件A8满足P（A）=：,P（0=；,P（A+8）=J,则

P（AB）=.

17.（21-22高一下•陕西咸阳•阶段练习）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.30,0.40,0.15,

则该射手在一次射击中，射击成绩不到8环的概率为.

18.（23-24高一下•广东潮州•期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与〃是互斥事件，8与C互为对立事件，

夕（人）=:，P（C）=i,则P（AU8）=.

19.（22-23高一卜•河南商丘•阶段练习）根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8,数学成绩及格的

概率为0.9,语文和数学同时及格的概率为0.75,则至少有一科及格的概率为.

20.（23-24高一下•江苏常州•期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白

球、1个红球.先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个

小球颜色相同“力口1分，“2个小球颜色一黄一白”得。分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为。分”的概

率为.

四、解答题

21.(24-25高一下•全国)抛掷一枚质地均匀的骰子，A=｛向上的点数是1｝,8=｛向上的点数是2),C=｛向上的

点数是1或2｝.

⑴事件A与事件8什么关系？

⑵P(4),P(B),P(C)三者之间存在怎样的关系？

(3)若。=｛向上的点数不小于2｝,则事件A与事件。什么关系，P(A)与P(。)存在怎样的关系？

22.(2:22高一•全国)某品牌计算机售后保修期为I年，根据大量的维修记录资料，这