抛体运动与圆周运动（3知识点+7题型+分层限时练）解析版-2025-2026学年高一物理下册期末复习（人教版必修第二册）

抛体运动与周运动

（3知识点+7题型十分层限时练）

目录

【考情透析】......................................................................2

【知识梳理】......................................................................2

知识点01曲线运动基础......................................................................2

知识点02抛体运动..........................................................................3

知识点03圆周运动..........................................................................4

【典例引领•即时检测】............................................................5

题型1小船渡河.............................................................................5

撅型2速度关联问题.........................................................................6

题型3斜面上的抛体运动....................................................................11

题型4水平面内的圆周运动..................................................................13

题型5竖直面内的圆周运动..................................................................17

题型6斜面内的圆周运动....................................................................20

题型7抛体运动与圆周运动的结合问题.......................................................23

【考场练兵•分层实战】..........................................................26

基础通关练（测试时间：10分钟）...........................................................26

重难突破练（测试时间：10分钟）...........................................................30

综合拓展练（测试时间：15分钟）...........................................................35

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・考情透视•目标导肮.

1.分值占比

本专题是高一物理曲线运动核心内容，期末考试总分占匕18-25分，考杳形式全覆盖：单选题、

多选题、填空题、实验题，压轴计算题均会出题，属于必拿分+拉分重点板块。

2.核心考查方向

（1）基础层：平抛运动分运动规律、位移速度计算、运动时间判断

（2）中层：圆周运动线速度、角速度、周期、向心加速度换算，向心力受力分析

（3）拔高层：水平面匀速圆周运动模型、竖直面圆周运动临界极值问题

（4）综合层：平抛运动与圆周运动结合综合大题

3.命题特点

紧贴课本基础公式，结合生活实景命题（投篮、飞车转弯、水流平抛、过山车等），重点考查运

动的合成与分解物理思想，题型灵活，公式变式多。

4.高频易错点

（1）混淆合运动、分运动独立性，错误认为水平运动影响竖直下落快慢

（2）记错平抛速度偏角与位移偏角倍数关系

（3）把向心力当成实际受到的独立力，受力分析多画向心力

（4）轻绳、轻杆竖直圆周最高点临界速度混淆混用

（5）同轴转动、皮带传动物理量相等关系记反

.知识梳理•方法技巧.

必备知识

慢知识点01曲线运动基础

1.曲线运动定义：物体运动轨迹为曲线的运动。

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2.速度方向：轨迹切线方向，时刻发生改变。

3.运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动。

4.曲线运动条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

5.运动合成与分解

（1）遵循平行四边形定则

（2）分运动具有独立性、等时性、等效性

（3）小船渡河、绳端速度分解为基础应用

技巧：合速度分解到沿绳（或杆）方向和沿垂直与绳（或杆）方向。

限知识点02抛体运动

1.平抛运动

（1）定义：只受重力，初速度沿水平方向的抛体运动

（2）运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒定方g,方向竖直向下

（3）运动分解（核心解题思想）

运动方向运动类型受力情况速度公式位移公式

水平方向匀速直线运动不受力，合力为0X=vt

vx=v0o

y=*2

竖直方向自由落体运动初速度为0，只受重力Vy=gt

（4）核心推导公式

①平抛总运动时间：片空，平抛运动时间只由下落高度决定，与水平初速度无关

②落地合速度大小：V=J诏+（g/）2

③速度偏角。（合速度与水平夹角）：tan哈^

④位移偏角。（合位移与水平夹角）：tan«=^£;

⑤秒杀结论：tan归2tana

⑥合位移大小：s=y/x2+y2

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（5）平抛两大推论

①平抛任意时刻，速度反向延长线必过水平位移中点

②同一高度平抛，初速度越大，水平射程越远

2.斜抛运动

（1）初速度斜向上/斜向下，只受重力，依旧为匀变速曲线运动

（2）分解：水平匀速直线运动，竖直上抛/竖直下抛运动

（3）最高点特点：竖直分速度为0,水平速度保持不变

（4）对称规律：上升过程与下落过程运动轨迹、时间、速度大小对称

回知识点03圆周运动

1.描述圆周运动五大基本物理量

物理量符号公式单位

Av2nr

线速度Vv=--=---m/s

AzT

MIn

角速度co(o=——=—rad/s

△lT

周期T转动一周所用时间s

频率f单位时间转动圈数，T=yHz

转速n单位时间转动圈数，n=fr/s

物理量核心关系

（1）线速度与角速度：

（2）同轴转动：角速度g相等，半径越大线速度越大

（3）皮带/齿轮传动：边缘线速度】相等，半径越大角速度越小

2.向心加速度

（1）作用：只改变线速度方向，不改变速度大小

（2）方向：始终指向圆心，时刻变化，属于变加速运动

（3）三大公式：4〃=十6?尸警

3.向心力

（1）本质：效果力，不是物体实际受到的力，由重力、弹力、摩擦力、拉力等合力/分力提供

（2）计算公式：尸产昌〃血2尸〃?蜉

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（3）方向：始终指向圆心，与瞬时速度垂直

（4）受力分析禁忌：画受力图绝对不能单独画出向心力

4.两大经典圆周运动模型

（1）水平面匀速圆周运动

常见模型：圆锥摆、火车转弯、转盘物体、漏斗模型

受力特点：重力与支持力/拉力的合力水平指向圆心，提供向心力

运动特点：高度不变、速度大小不变、匀速圆周运动

（2）竖直面内圆周运动（期末重中之重）

1.轻绳模型（无支撑，绳子拴小球）

①最高点受力：重力+绳子拉力共同提供向心力

②最高点临界最小速度：”临=屈，若速度小于1,临,则小球无法完成完整圆周运动，中途下落

③最低点：绳子拉力最大，合力向上提供向心力

④运动规律：全程只有重力做功，机械能守恒

II.轻杆模型（有支撑，硬杆固定小球）

①最高点可以提供拉力，也可以提供支持力

②最高点临界速度：0

③小球速度为0时，杆的支持力平衡重力，依旧可保持圆周运动

④易混区分：无支撑用绳公式，有支撑用杆公式

.典例引领•即时检测.

题型1小船渡河

卷值「施I屣

....示船覆河而频用;赢的女除运五瓦的茬韶永,而送访而未流送哥前答送哥:篇涎河的说而山垂置而庠

…5）37…

i方向的分运动决定，与水流速度无关，核心分为两类基础问法：

:1.最短时间渡河：不管船速与水速大小关系如何，当船头垂直河岸航行时，垂直河岸方向的分速度最大，

d

尸渡河时间最短，最短时间为、山=£，其中（d）为河宽，口船为船在静水中的速度。

:2.最短位移渡河：分为两种情况，当船速大于水速时，调整船头方向使合速度方向垂直河岸，最短位移等

:于河宽（d）,此时船头需向上游偏，满足cos。为船头与上游河岸的夹角）；当船速G于水速时，

J合速度无法垂直河岸，此时以U次末端为圆心、U册大小为半径画弧，当合速度方向与圆弧相切时，渡河

\位移最短，最短位移为Sm山=d-77,0

fft!

3【典例1】（22-23高一下•新疆阿克苏•阶段检测）如图所示，一探险者正从某瀑布上游划册渡河，已知

河流的宽度d=200m,此时探险者正处河流正中央力点处，该点与下游瀑布危险区的最短距离为100bm,

已知水流速度为%=4m/s（sin37°=0.6,cos37°=0.8）。从此时开始计时，

（1）若小船在静水中速度为艺=5m/s,则船到岸的最短时间是多少？所到目的地与河流正充•岸间的距离

是多少？

（2）若小船在静水中速度为〃2=5m/s,则小船以最短的距离到岸时所需时间是多少？此时船头方向与河

岸上游的夹角是多少？

（3）为了使小船能避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？

「100百m

A•

【答案】（1）20s,80m：(2)寸s,37°；(3)2m/s

【详解】（1）当船头方向垂直河岸时，则渡河时间最短，则最短时间为t=S=20s

所到目的地与河流正对岸间的距离％=vjt=80m

（2）设船头与河岸的夹角为氏如图

船的合速度u=J诏一屏=3m/s

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渡河时间以=5=1s

（3）小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为。，即有tana=3，则a=30。

100V3

小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小为

vmin=Iosina=2m/s

【即时检测1】（25-26高一上•山西晋城•期末）（多选）如图所示，在一条宽d=40m、水流速度为3m/s

的河流的岸边有甲、乙两条小船，两船的出发点相距L=20m,甲船在静水中的速度为4m/s,乙船在静水

中的速度为3&m/s,某时刻甲、乙两船同时出发，甲船沿时间最短的路径运动，乙船沿垂直河岸的路径运

动，两侧河岸平行，则下列说法正确的是（）

-----＞水流方向

d

WW________

甲乙

A.乙船过河所用时间更短

B.甲、乙两船过河经过的路程之比为5:4

C.甲、乙两船在运动过程中可能相撞

D.甲、乙两船在运动过程中会经过同一点但不会相撞

【答案】BD

【详解】A.甲船过河用时：年=号=徵=10$

乙船过河用时：£乙=5=高彳=争

故A错误；

B.甲船过河的路程为：$甲=I；甲合t甲=，32+42m/s・10s=50m

乙船过河的路程为：$乙=d=4。01

所以甲、乙两船的路程之比为5:4

故B正确：

CD.甲，乙在过河时都会经过乙的出发点正前方当m处，

甲到此处的时间为：八二;二受二条

。甲y4m/s3

乙到此处的时间为：以=:=也=M

“3m/s9

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则甲乙不会相撞

故C错误，D正确。

故本题选BDo

【即时检测2］（24-25高一下•江西宜春・期末）2025年5月29日，广安迎端午。划龙舟暨游泳比赛在广安

渠江游泳基地举行，众多游泳爱好者和市民以水上运动的方式喜迎端午节的到来。比赛前某运动员练习时

要匀速横渡一段宽d=210m的河，运动员在静水中的速度〃i=3m/s,水流速度w=4m/s,则（）

A.该运动员可能垂直河岸到达正对岸

B.该运动员渡河的时间可能小于70s

C.该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m

D.该运动员以最短位移渡河时，位移大小为280m

【答案】D

【详解】A.运动员在静水中的速度小干水流速度,无法抵消水流.影响，故无法垂百到达正对岸.故A错误：

B.最短渡河时间为tmin=去=竽s=70s

时间不可能小于70秒，故B错误；

C.以最短时间渡河时，水流方向位移为％="min=4x70m=280m,故C错误；

D.当游泳方向与合速度垂直时，位移最短，此时誓=£

最短位移为Xmin=管=4骗m=280m,故D正确。

故选D。

题型2速度关联问题

箱|询询区

.....当箍戢淋连接的而不物林通过彳而神兵的福7戢丽荏杆5后连运动布…两不折布落缅7成诉V芳向而

分速度大小一定相等，这就是速度关联问题的核心规律，解题时可按以下两步分析•：

i.明确两个物体的实际运动速度，也就是合速度，这是物体相对于地面的运动速度。

2.将两个物体的速度分别沿绳（或杆）方向和垂直绳（或杆）方向分解，根据沿绳方向分速度大小相

等列等式求解。

需要注意两类常见情景：一是一端物体沿固定方向运动（比如人在岸边拉船靠岸），人拉绳的速度就

是绳端沿绳方向的速度，船的实际速度沿水平方向，需要将船速分解为沿绳和垂直绳的分量，进而得到船

速与人拉绳速度的美系；二是杆两端连接物体分别沿不同固定方向运动，同样对两端物体速度沿杆和垂直

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杆分解，利用沿杆分速度相等推导两个物体的速度关系。

2【典例2】（24-25高一下•湖南永州•期末）（多选）如图所示，一轻绳的一端绕过无摩擦的两个轻质小

定滑轮。八Q与质量为，〃的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为〃?的小物块连接。已知直杆两

端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，直杆与水平面的夹角6=60。，直杆上C点与两定滑轮均在同一高

度,定滑轮0/到。点的距离为乙直杆上。点到。点的距离也为乙重力加速度为g,设直杆足够长，小

球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从。点由静止释放，下列说法正确的是（）

A.小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力大于〃?g

B.小物块运动到。点时,，小物块与小球的速度大小之比为2:1

C.小球下降的最大距离为（1-苧）乙

D.小物块运动到。点时，小物块的速度大小为u=再gL

【答案】BCD

【详解】A.小物块刚释放时，小物块随后沿杆向下做加速运动，由于开始滑轮01左侧绳长变短，则小球开

始向下做加速运动，可知，小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力小于用g，故A错误：

B.小物块运动到。点时，根据速度分解有叫5cos。=」球,解得〃物W球=2:1,故B正确;

C.当滑轮Ol左侧绳与杆垂直时，小球下降到最低点，则有/l=L-Lsine=（l—亨）L故C正确；

D.小物块运动到。点时，对物块与小球构成的系统，根据机械能守怛定律有爪9/而8=》1呢+，2略5

结合上述有u物中球=2:1,解得"物=J华gL

即小物块运动到。点时，小物块的速度大小为廿=J警gL，故D正确。

故选BCDo

【即时检测1】（24-25高一下•江西萍乡•期末）（多选）一辆小车通过光滑轻质定滑轮提升一重物，已知重

物质量〃?，小车始终以速度匕匀速向左运动。如图所示，绳子与水平方向夹角为仇此时（）

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B.重物的速度为热

C.重物的加速度方向向上D.重物的加速度方向向下

【答案】AC

【详解】AB.将小车的速度沿着绳和垂直于绳正交分解。

重物的速度为UB=UACOS。，A正确，B错误；

CD,根据〃B=UACOS仇小车向左运动，。减小，cos。增大，%增大，重物向上做加速运动，重物的加速度

向上。

C止确，D错误。

故选ACo

【即时检测2】（24-25高一下•四川眉山•期末）如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴。转动，另一端

搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为a时，棒的角速度为（）

L,Asina,L'Lcosa

【答案】B

【详解】棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示

合速度廿案=a）L

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沿竖直向上方向上的速度分量等于y,BPv=o）Lsina

所以3=康

故选Bo

题型3斜面上的抛体运动

JS|^|«?|«

[…”…菊而王而施林运哥通帝指半诚扬标港到新而王丁戢戛双菊面工掘田后落至藤庙王蔚而画;廨施孩E息

:抓住斜面倾角与位移偏角或速度偏角的关系，结合平抛运动分运动公式推导求解，常见核心结论如下：

:I.若物体从斜面上水平抛出，最终落到斜面上，无论初速度大小如何，物体落到斜面上时位移偏角始

:终等于斜面倾角，因此满足tana=tan6=^=^~，可直接推导得到运动时间为斜面倾

i角）。

:2.若物体做平抛运动，最终垂直落到斜面上，说明速度方向与斜面垂直，此时速度方向与竖直方向的

;夹角等于斜面倾角，满足tanJ=詈=能推导可得运动时间”就工。

“yytylaiiu

■【典例3]（24-25高一下•河北保定•期末）（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面上，斜面光滑且

为矩形，倾角为仇斜面的左上方顶点P与右卜方顶点。之间固定一与斜面垂直的挡板，挡板与斜面底边

的夹角也为优一可视为质点的小物块由尸点以平行于斜面底边的初速度%水平射出，落在挡板上不再反

弹。已知重力加速度为g,小物块在运动过程中始终在斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为犯譬

B.小物块由/＞点抛出到落在挡板上所用时间为悬

C.若初速度变为2%,小物块由2点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍

D.若初速度变为2%,小物块由尸点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍

【答案】BD

【讲解】AB.小球的加速度方向平行斜面向下，大小为a=安吧=gsin。

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小球在斜面上做类平抛运动，从P点抛出到落在挡板上/tan。=^=让=翠”

XV0t2为

解得1=悬，故A错误，B正确；

CD・根据"悬

若初速度变为2%,则小物块由尸点抛出到落在挡板上的时间变为原来的2倍；根据%=%£

可知沿初速度方向的位移变为原来的4倍，根据£合=焉

可知物块由P点抛出到落在挡板二的位移大小变为原来的4倍，故C错误，D正确。

故选BD,

【即时检测1］（23-24高一上•湖北武汉•期末）如图所示的光滑固定斜面力BCO,其倾角可调节.当倾角为

出时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点4以初速度打水平射入，恰好沿底端。点离开斜面；改变

倾角为。2时，同样将该物块沿斜面左上方顶点力以初速度为水平射入，发现物块沿。。边中点离开斜面，

已知重力加速度为g,卜列说法止确的是（）

A.物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1

B.物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1

C.物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1

D.物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2

【答案】B

【详解】AB.物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动丫=京出

沿水平方向做匀速运动％=vOt

根据牛顿第二定律有mgsin。=ma

联立解得丫=4普

根据题意可知，鬻堂号

物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为?=然*=不投A错误，B正确;

几2y2s,nc^21

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C.物块前后两次运动的加速度的大小之比为荒二儒二；故C错误：

D.速度变化量的大小为Av=gsinO•t

物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化最的大小之比为著=翳=：故D错误。

AU?SintF2

故选Bo

【即时检测2】如图所示的光滑斜面长为心宽为s,倾角为夕=30。，一小球（可视为质点）沿斜面右上方

顶点4处水平射入，恰好从底端8点离开斜面，重力加速度为g.则下列说法正确的是（）

2

A.小球运动的加速度为gB.小球由4运动到8所用的时间为

C.小球由/点水平射入时初速度出的大小为s区D.小球离开B点时速度的大小为序3+40

AiAi

【答案】D

【详解】依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，旦合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，再根据牛

顿第二定律得，物体的加速度为：a=mg-^n3=gsinO=,故A错误：根据L=gat?,有：£=J曰=

=居，选项B错误；在B点的平行斜面方向的分速度为：

vBy=at=^gx5=方工根据s=vO3有：v0=J=sR；故物块离开B点时速度的大小：v=J诏+屈

=但S+4L2）,故C错误；D正确；故选D.

题型4水平面内的圆周运动

卷T&i版1区

…一…未乖而丙的芍遁面商送罚核E息吾林方夫示示变「菇及酒永牛芳而落而而不搪侯而不苏苇瓦稹丽前

解题要点如下：

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1.圆锥摆模型：摆球受重力和摆线拉力，二者的合力水平指向圆心，设摆线与竖直方向夹角为0,摆

球做圆周运动的轨道半径为/•,由合力提供向心力可得/句=〃修］〃月加，”“小可推导线速度、角速度与摆

线长度、夹角的关系。

2.火车转弯模型：标准转弯设计中，火车重力与轨道支持力的合力恰好提供向心力，此时轮缘对轨道

无侧向压力，若实际行驶速度大于设计速度，外轨会对轮缘产生侧向弹力补充向心力；若速度小厂设计速

度，内轨会对轮缘产生侧向弹力抵消部分合力。

3.转盘静摩擦力模型：物体随水平转盘•起做匀速圆周运动时，静摩擦力沿水平方向指向圆心提供向

心力，当转速增大，需要的向心力增大，静摩擦力达到最大静摩擦力后物体开始滑动，可据此求解物体不

滑动的最大角速度或最大线速度。

解题时需先正确受力分析，找到水平方向指向圆心的合力，再结合向心力公式列式求解即可。

②【典例4】（25-26高一上•浙江杭州•期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地

上滑动。如图（〃）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心。点的竖直轴匀速转

动。圆盘边缘片处固定连接一轻绳，轻绳另一端8连接转椅（视为质点），转椅质量为50kg。转椅运动稳

定后，其角速度与圆盘角速度相等。在图"）中，若圆盘在水平雪地上以角速度3i=lrad/s匀速转动，转

椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为rz=4m的匀速圆周运动，转椅与雪地之间的动摩擦因数为〃

=0.3,重力加速度为g=10m/s2,sin37°=0.6,cos370=0.8,不计空气阻力。求:

水平圆盘/

图⑶圆盘在水平雪地图（b）圆盘在空中

⑴转椅所受的合力大小;

14/37

（2）/8与。8之间夹角a的值；

⑶将圆盘升高，如图（b）所示，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕Q点做半径为，＞=3m的

匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为0=37°,绳子在水平雪地上的投影小8与的夹角为夕=37°。

求此时圆盘的角速度32。（可保留根号）

【答案】⑴200N（2）37°⑶等rad/s

【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，合外力提供向心力F合=皿式厂1

所以“行200N

（2）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为兀受力分析可知

轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡则有"mg=Tsina

沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力Tcosa=m（j^rx

联立解得tana=悬=0.75

所以夹角a=37。

（3）设此时轻绳拉力为广，沿小8和垂直小8竖直向上的分力分别为『1=Tsin6,T2=VcosO

对转椅根据牛顿第二定律得7\cos3=mo）^r2

沿切线方向「isin/?=/="N

竖直方向尸N+T2=mg

联立解得呀反雷焉耆的

【即时检测1】（24-25高一下•江苏苏州•阶段检测）如图，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线

相连的质量相等的两个物体A和B,它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为以=r,RB=2r,与盘间的动

摩擦因数〃相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法

正确的是（）

A.此时绳子张力为h=2〃犷g

B.此时圆盘的角速度为3=呼

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C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心

D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动

【答案】B

【详解】ABC.两物体刚好还未发生滑动时，B有沿半径向外运动的趋势，则B受静摩擦力指向圆心，A受

2

静摩擦力背离圆心，则对B,FT+fimg=ma)•2r

对A,产7—〃mg=mJr,解得尸r=3=选项AC错误，B正:确；

D.此时烧断绳子，则A所需向心力户A=rna)2r=

B所需向心力FB=•2r=4卬ng＞卬ng

则AB都将做离心运动，选项D错误。

故选Bo

【即时检测2】(24-25高一下・匹川泸州•期末)旋转秋千是各大游乐场常见的娱乐设施，深受人们的喜爱。

一旋转秋千“J简化为如图所小模型，上端是半径为，•的水平转台，在转台的边缘固定有一长为b5m的轻绳，

轻绳的底端悬挂有一座椅。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然后转台在电机带动

下绕竖直转轴。。'缓慢加速转动起来，当座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为。=53。时开始以角速度3匀速

转动。小朋友和座椅均可视为质点，其总质量为〃『45kg,重力加速度大小取g=10m/s2,sin53°=0.8,

cos53°=0.6求：

⑴旋转秋千匀速转动时轻绳的拉力大小；

(2)若旋转秋千由静止开始转动到角速度为3时轻绳对游客和座椅所做的功W=2700J,求匀速转动时角速度

口的值以及水平转台半径小

【答案】(l)750N(2)乎rad/s,2m

【详解】(1)对小朋友和座椅进行分析，根据平衡条件可得7cos6=mg

代入数据解得T=750N

(2)旋转秋千由静止开始转动到角速度为3时，根据动能定理可得W—/nga—kose)=；mi，2

合力提供向心力，由牛顿第二定律可得mgtanJ=嗒

XO/3/

根据角速度与线速度的关系及几何关系则有□=a）R,R=r+LsinO

联立解得3=竽rad/s,r=2m

题型5竖直面内的圆周运动

毒j应j施j展......................................................................|

....「直说丙前面商运的天荽为菱泡面商运豆厂至林另芳商示蓄商南芯「吾芥另落访殡芳面的芬另妆费残；

速度大小，沿半径方向的分力提供向心力，解题核心是结合受力分析，抓住最高点和最低点两个临界位置，1

结合向心力公式与机械能守恒定律求解，两类经典模型解题要点如下：:

1.轻绳模型（无支撑，绳子拴小球）

小球能完成完整圆周运动的临界条件是最高点绳子拉力恰好为0,此时只有重力提供向心力，对应临

界最小速度为（笫临=屈）；若小球在最高点的速度uN屈，小球可完成完整圆周运动，此时由重力和

绳子拉力共同提供向心力，满足mg+T=/nF最低点时绳子拉力向匕由拉力与重力的合力提供向心力,

满足T-=且全程只有重力做功，小球机械能守恒。

2.轻杆模型（有支撑，硬杆固定小球）

光滑管道

由于轻杆既可以提供拉力也可以提供支持力，因此小球能完成完整圆周运动的最高点临界速度为0；

当最高点速度0VNV标3时，轻杆对小球提供向上的支持力，满足mg-N=m?；当u=府时，支持力

（N=0）,只有重力提供向心力：当〃，技1时，轻杆对小球提供向下的拉力，满足mg+T=mf，最低点

的受力分析与轻绳模型一致，满足N—7ng=7ng,同样遵循机械能守恒。

1・・•・・■・・•・•・・・・・••・・・••・••・・•・•・・・・•・••・•・・・・・・・•・・・・・・・・•・・•・・•・・••・・・・・・・・・・・・•・・・・・•・・•・・・・•・••・•・•・・•・・・■・・・・・・・■・・・・・・・••・・・・•・・・••・•••・・・・・・・・・・・・・•・・・・・・・・•・・・・・••・・・

3【典例5】（25-26高一上•浙江杭州•期末）如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心

。点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小

设为丫，圆管与小球间弹力的大小设为F改变速度v得到广声图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2,

则下列说法错误的是（）

17/37

A.小球的质量为4kg

B.固定圆管的半径为lm

C.小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N,方向向下

D.小球在最高点的速度为4门/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N,方向向下

【答案】C

【详解】AB.小球在圆管最高点时，受力分两种情况：当卢时，圆管内壁对小球有向上的弹力凡合

力提供向心力mg—F=得卜=mg—费廿

当时，员管外壁对小球有向下的弹力合力提供向心力：mg+F=

/>gRIIF,K

得F=色2_mg

从图乙可知当/=0时，F=40N,代入F=77ig,得?n=4kg

当F=0时，v2=10m2/s2,此时mg=呜约去m得R=~=1m,故AB正确；

22

C.当u=2m/s时，v<10（m/s'）,代入尸=mg—藁V?,得尸二24N

此时弹力方向向上（圆管内壁托住小球），故C错误；

D.当u=4m/s时，评>10®/$）?,代入尸=会2—巾。，得F=24N,此时弹力方向向下（圆管外壁压住

小球），D正确。

由于本题选择错误的，故选C。

【即时检测1】（24-25高一下•山东青岛•期末）（多选）图甲为一种小型打夯机，利用冲击和冲击振动作用

分层夯实回填土，图乙为这种打夯机的结构示意图。质量为，〃的摆锤通过轻杆与总质量为股的底座（含甩

动机）上的转轴相连，轻杆质量忽略不计。电动机带动摆锤绕转轴。在竖直面内以角速度3匀速转动，转

动半径为/，重力加速度为g。下列说法正确的是（）

18/37

A.摆锤转到最低点时，底座对地面的压力不可能为零

B.若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则角速度3=

C.若拱锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0,则角速度3=向

D.摆锤转到轻杆水平时•，轻杆对摆锤的作用力大小为

【答案】AB

【详解】A.摆锤转到最低点时，轻杆对摆锤有向上的拉力作用，根据向心力公式有产一加0=血口2/

此时轻料对底座有向卜的拉力作用，所以底座对地面的压力小川能为0，故A止确：

B.若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则轻杆对底座有向上的作用力，大小为班，所以

对摆锤分析，有mg+Mg=ma)2l

可解得3=但蕈，故B正确；

C.若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0,则对摆锤分析，有=

此时3=电,故C错误；

D.摆锤转到轻杆水平•时，轻杆对摆锤的作用力的水平分量提供向心力，大小为%二s321

所以轻杆对摆锤的作用力为，用+(mg)2,故D错误。

故选AB.

【即时检测2】(24-25高一下•安徽宣城•期末)如图，竖直面内固定的BCDE轨道由光滑圆弧轨道BCD和水

平粗糙轨道。七组成，圆弧轨道BCD的圆心为O,圆弧轨道最高点B与圆心O的连线与水平方向的夹角为

仇C点为轨道上与圆心等高点，D点为圆弧轨道的最低点。现有质量m=1kg的小球从空中的4点以初速

度比向左水平抛出，恰好从8点沿轨道切线方向进入轨道。已知圆弧轨道半径为R=Im,A、。两点的高

度差力=1.4m,sin。=0.6,重力加速度g取lOm/s2。求：

19/37

⑵小球运动到。点时对圆弧轨道的压力大小。

【答案】⑴0.4m（2）67N

【详解】（1）小球平抛运动过程，竖直方向上有九一Rsin8=3t2

水平方向上有=VOt

小球恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，则有磊=gt

力、O两点的水平距离孙°=xAB-RcosO

解得R）=3m/s,xA0=0.4m

（2）小球从A运动到D过程，根据动能定理有mg（R+九）=诏

在D点，根据牛顿第二定律有Ni—mg=

根据牛顿第三定律有N2=Ni

解得N2=67N

题型6斜面内的圆周运动

…”…蔡庙同而面面送薪二脑的谏酒硕蔡成亶的无海面藐道运通.箴戛祓痈径荏续制武工而南港双橄面商

运动，核心临界条件与竖直面内圆周运动类似，只是重力沿圆周切线方向和径向产生分力作用，需要将重

力沿圆周轨道的径向和切向分解，由径向的合力提供向心力。

对于无支撑的斜面内圆周运动（比如沿倾斜圆轨道内侧运动，或是绳拴小球在斜面上做圆周运动），

小球能完成完整圆周运动的临界位置在圆周的最高点，此处重力沿径向指向圆心的分力为mgs比e（6为斜

面倾角），当绳子拉力或轨道支持力恰好为。时，对应临界最小速度满足mgs出e=m券，可得〃嬲=

y/grsinO,若最高点速度u工u嫡，小球就能完成完整圆周运动。

这类问题中，轨道通常是光滑的，全程只有重力做功，因此机械能守恒，解题时先对最高点临界状态

20/37

;分析得到临界速度，再结合机械能守恒求解最低点或其他位置的速度、弹力大小即可。

3【典例6】如图所示，倾角为60。的光滑斜面上固定着半径R=2百m的光滑三分之二圆弧形轨道48C,

以圆心。为原点、沿斜面向下为正方向建立坐标轴Qx,04、OC与x轴间的夹角均为60。。一质量〃?=0.1kg

的小球（可看成质点）从x轴上的"点沿垂直x轴方向以速度叱抛出，小球恰好从力点沿切线方向进入圆

弧轨道，重力加速度g=10m/s2,下列说法正确的是（）

A.小球的初速度1%的大小为5V^m/s

B.M点的坐标为一

C.小球对轨道的最大压力为苧GN

D.小球在圆弧中间某点脱离轨道

【答案】B

【详解】A.小球先做类平抛运动，有Rsin60。=%£,vx=gs\i}60°-t,tan60°=

解得bo=V15m/s

故A错误；

c2

B.M点的坐标=-Qtgsin60-t4-/?cos600）=-173m

故B正确；

C.小球到达8点时速度最大，对轨道的压力最大，根据动能定理有mgsin60o（|xM|+R）=3ni;2-9n^

根据牛顿第二定律有FN—mgsin60。=嬉

解得FN=3V3N

根据牛顿第三定律得，小球对轨道的最大压力为3百N,故C错误；

D.根据对称性可知，小球不可能在圆弧〃。中间某点脱离轨道，故D错误。

故选Bo

【即时检测1】（25-26高一上•重庆沙坪坝•期末）如图所示，在倾角为。的足够大的固定斜面上，一长度为

心的彩绳一端可绕斜面_1_的。点自由转动，另一端连着一质量为〃？的小球（视为质点）。现使小球从最低

21/37

点月以速率u开始在斜面上做圆周运动，通过最高点8。重力加速度大小为g,轻绳与斜面平行，不计一切

摩擦，下列说法正确的是()

A.小球通过力点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大

B.小球通过B点时的最小速度为JgLsinO

C.小球通过力点时所受轻绳的作用力大小为

D.若小球以2环H市的速率通过B点时绳突然断裂，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为

3L

【答案】B

【详解】A.斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量且大小为mgcos仇与小球的速度

无关，故A错误；

B.小球通过8点速度最小时绳子拉力为0,此时有7ngsinJ=m苧

解得=JgLsinO,故B正确；

C.小球通过A点时有尸一mgsine=my-

解得绳子拉力尸=mgs\n0+m节，故C错误；

D.绳断裂后，小球从8点运动到与力点等高的过程中，水平方向有％=2而南历xt

沿斜面方向有2L=ggsin。xt2

联立解得％=4L,故D错误。

故选B。

【即时检测2】很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具一一弹珠枪。如图，力BCD是一个正方形光滑斜台,

边长为Z,与水平面的倾角为仇弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着力8边经过斜台拐角边半径为R的四分之一的圆

弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为g。若弹珠经过Q点后恰好经过。点，求：

(1)弹珠经过Q点时的速率？

(2)弹珠经过Q点时对圆弧轨道的压力大小？

22/37

【详解】（1）因为弹珠经过Q点后恰好经过D点，从A8CD这个平面看，相当于类平•抛，设弹珠经过Q点时

的速率为明因此可得

I—R=vt

I—3gsinJt2

，

联立解得U=gsin6(-R)2

21

（2）弹珠经过Q点时，弹珠在A8CD这个平面受力为重力沿斜面向下的分力和轨道的支持力，因此根据合力

提供向心力可得，mgsinO+F=嗒

N1\

mgsin6(12-4，R+R2)

解得N

F=21R

根据牛顿第三定律可知，轨道对弹珠的支持力和弹珠对圆弧轨道的压力相等。

题型7抛体运动与圆周运动的结合问题

禧恒「施I展

i…”…冠奚而巅通帝芬丽不过通芬桥「扬袜免治虎面周运荔…乏后或囱商送薪的窠二叔亶施正祝碗林荡荡…

;或是物体做抛体运动后落入圆周轨道，开始圆周运动，解题核心是两个运动过程通过抛出点/落地点的速度

1衔接，全程通常只有重力做功，可结合机械能守恒定律联立求解。

|解题一般按三步分析：

:1,先分析圆周运动过程,通常会结合临界条件得到圆周运动末端抛出点的速度,再利用机械能守恒得

;到抛出时的速度大小和方向。

:2.再将抛出后的运动按抛体运动的分运动规律分解，结合水平、竖直方向的运动公式求解位移、时间

i等待求量。

:3.若抛体在前圆周在后，则反过来先由抛体运动规律得到物体到达圆周位置时的速度，再结合圆周运

（动的向心力公式求解轨道弹力等物理量即可。

3【典例7】（25-26高一上・江苏常州•期末）如图所示，为竖直光滑圆弧轨道的