湖南省2025-2026学年高一年级下册期中考试数学试题（解析版）

雅礼中学2026年上学期期中考试试卷

高一数学

时间：120分钟分值：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合A={123,5,7,11},B={x\3<x<\5},则ACW中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】采用列举法列举出AcB中元素的即可.

【详解】由题意，AcB={5,7,ll},故中元素的个数为3.

故选：B

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解,是•道容易题.

2.已知z=上一，则z的虚部为()

i

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的四则运算求出复数z,再确定其虚部即可.

l+2ii(l+2i)

【详解】由z==2-i,可知z的虚部为一1.

i-2

故选：D.

点户满足而=,而，则点P的坐标是(

3.己知A(—2,1),3(4,—5),)

2

A.(—3,3)B.(-8,7)C.(1,-2)D.(10,-11)

【答案】C

【解析】

【分析】求出向量衣的坐标，进而求出点P的坐标.

【详解】点4一2,1),5(4,-5),则A®=(6,—6),于是而=g而=(3,-3),

所以点P的坐标为(1,一2).

故选:c

4.”幕函数/（月=（〃2-3〃+3）/-3”在（0,+8）上是减函数,,是“〃=2，，的一个（）

A.必要不充分条件B.充要条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据基函数的单调性求解〃=1或〃=2,再根据必要不充分条件的定义即可得解.

【详解】由幕函数的定义得〃2一3〃+3=1，解得〃=1或〃=2,此时〃2一3〃二一2，=—=g；

所以当事函数“力=（1-3〃+3）/-3〃在（o,y）上是减函数时，〃=1或〃=2,充分性不成立；

当〃=2时，〃力二r2=）在（0,+8）上是减函数，必要性成立；

X

所以幕函数〃x）=（k2—3〃+3）./f在（0,+8）上是减函数，，是“〃=2”的一个必要不充分条件.

故选:A

4

5.已知sin(a+/7)=],tan=3tanp,则sin(a-/?)=()

1212

A.B.一C.一D.

10553

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件可得出关于Sinacos尸、cosasin△的值，结合两角差的正弦公式可求出sin（a-/Q

的值.

sin(a+〃)=sinacos尸+cosasinft=—sinacos夕=—

5，解得J；

【详解】由题意可得《

sina_3sin0

cosasinZ7=—

cosacosP5

3i2

因此sin(a-^)=sinacos-cosasin0=----=—.

55

故选：B.

6.努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：1.01365=37.8,

0.99365=0.03.我们可以把（1+1%）对看作每天的进步率都是1%,而把（1-1%-65看作每天的落后率都

足1%,大约经过()天后进步的是落后的200倍Ig-1—*0.0087,lg2«0.301

A.264B.266C.268D.270

【答案】A

【解析】

I()ir

【分析】设X天后进步的是落后的200倍，则。_=2()(),利用指对数运算求解即可.

0.99'

【详解】设“天后进步的是落后的200倍，贝ijL丝=200,f—1=200,

0.99、(0.99J

(1f)iV1f)i

即怆(旃J=A-Ig—=lg2(X)=lg(2xl(X))=2+lg2,

2+lg22.301-

Y—_________、_______、264

所以有一]1.010.0087(天).

g().99

故选:A.

7.若平面。截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面。平行的棱有()

A.()条B.1条

C.2条D.1条或2条

【答案】C

【解^5]

【分析】根据题意，作平行四边形EFG”为三棱锥的截面，根据线面平行的判定定理，以及线面平行的

性质，即可得出结果.

【详解】如图所示，四边形瓦6月为平行四边形，则EF〃GH.

・・・£Fa平面BCO,G//i平面BCO,

:.EF〃平面BCD.

又・.・EFu平面ACO,平面3CDn平面AC。=8，♦・£内/口）・

乂EFu平面EFGH,CDt平面EFGH.

..CD〃平面EFGH,同理，AB〃平面EFGH,

所以与平面a(面EFGH)平行的棱有2条.

故选:C.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定，熟记线面平行的判定定理，以及线面平行的性质即可，属于常考

题型.

—2x—x?xW0

8.已知函数/(人)=:।，一,若a<b<c〈d,且./(")=/())=/«)=/(4)，则

1g不，X>U

a+/?+c+2d的取值范围是()

C.(20,+8)D.(2>/2-2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】作出/(力图象，由数形结合的方法可知一2vavT<〃<0<c<lvdvl(),由对称性知

。+〃=-2,cd=l,将所求式化为-2+'+2d,利用对号函数单调性可求得所求范围.

d

【详解】由/(x)解析式可得/(上)图象如下图所示：

设/•(a)=/®=/(c)=〃d)=/,由图象可知:()<k<2,

:.-2<a<—}<b<0<c<]<d<\0,

乂关于x=-1对称，/.a+/?=—2；

由|lgd=|lg4得：-lgc=lgd,即cd=l,:.a+b+c+2d=-2+—+2d,

•・•），=2x+：在（1,10）上单调递增，「♦2d+：u201

D，一

10

:.d+b+c+2e/e(l,—

I10

故选:B.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定

4,0,C,d所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，利用函数值域

的求解方法求得结果.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的有（）

A.z-z=\z|2=|z|2

B.若马2,则zf-z2>0

C.若mwR,则2=根+1+（〃22-2机一31不可能是纯虚数

D.若|z|Wl,则在复平面内对应的点Z的集合确定的图形面积为2兀

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,结合共轨复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于B,结合复数的概念求解即

可，对于C,结合纯虚数的定义，即可求解，对于D,结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】对于A,设z=a+历，（«,Z?GR）,则z=〃一bi，

z-z=（6/+/?i）（6z-Z?i）=«2+/?2,|z|2=|z|2=^2+/?2，故A正确；

对于B,由于虚数不能比大小，又可得4，z?都是实数，可得马-马>0,故B正确,

对于C,当z=〃?+l+（>-2〃?一3）为纯虚数时,

,m+1=（）

则，八c八，无解,

病一2M一3一0

故当〃zwR,则2=加+1+（加2-2加-3）i不可能是纯虚数，故C正确,

对于D,|z|<l,则z在复平面内对应的点Z的集合确定的图形为以（0，。）圆心，1为半径的阴,

以及圆的内部，其面积为兀二兀，故D错误.

故选：ABC.

10.记锐角VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos1B=2hcosAcosB+bsinAsinB则

（）.

/\

A.A=BB.8的取值范围为

164J

C.£的取值范围为（五,百）D.5的取值范围为（1,2）

【答案】BCD

【解析】

【分析】由条件利用正弦定理边亿角，可得sin（A-28）=0,判断A；由三角形为锐角三角形结合A的结

论，可求得8的范围，判断B；利用正弦定理表示f=2cos8,结合B的范围可判断C;利用正弦定理表示

b

-=4cos2B-\,结合A的范围可判断D：

b

【详解】由题意得sinAcos2B-2sinBcosAcossinAsin2B=0，

得sinA（cos?B-sin2B）-cosAsin2B=sin（A-2B）=0,

由于A,Bw（0,—），则A—28w（―九,一）,

22

则4=2〃，A错误.

0<A=2B<-

2

71

因为VA8C是锐角三角形，所以<0<B<-,

2

jr

0<。=兀一38<上

2

解得工<6〈工，B正确.

64

।「兀_兀asinAsm28_„//r/r\一十.

由于一<B<一,故—=-----=-------=2cosBGIv2,>/3I,C正确.

64bsinBsinB''

csinCsin(2B+B)2sinBcos2B+(2cos2B-l)sinB

-=------=----------------=------------------------------------------=4cos-B-1，

bsinBsinBsinB

故4cos2（1,2）,故D正确,

故选：BCD

11.在棱长为1的正方体ABC。—48c中，Q=/l/+〃码，/le[0,l],[0,1],下列结论正

确的是（）

A.若2丸=〃=1时，直线与直线CD的夹角余弦值为如

6

B.若义+〃=1时，△3丹）周长的最小值为2+四

C.若〃=1时，三棱锥C-PBD的体积为定值

D.当％=g时，有且仅有一个点人使得BFJ.CP

【答案】AC

【解析】

【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A,取特殊点判断B,由点到面的距离为定

值判断C,点尸位于Q或”时满足BtPlCP即可判断D.

一1______

【详解】对于A,当24=〃=1时，AP=-AC+AA,,如图，

所以点P为线段AG的中点，因为CD//AB,

所以直线BP与直线。。的夹角即为直线BP与直线AB的夹角4PBA,

BP=JBB/+8/2="2+停）2=苧’

值PB-+AB--AP2_1_V6

同理可得A尸二生，在等腰△243中c°s"-2PBAB一"而一7"，故A正确;

22xlx——

2

对于B,当2+4=1时，根据三点共线的充要条件可知，点。在线段A。上,

当点尸是线段AC的中点时.，可知△W7)周长为当+当+及＜2+夜，故B错误;

对干C,当〃=1时，点P在线段AG上，

因为AG//平面ABCD,所以点”到平面3CZ)的距离为定值.

VV

所以c-PHD=P-BCD=!-SWD-hf,_3CD为定值，故C正确；

对于D,因为4户=尢支取AC,AG中点分别为Q,H,

所以0点在线段Q”上运动，当点尸位于。或”时，BFA.CP,故D错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆锥的母线长为10cm,恻面积为5()兀cnf，则此圆锥的体积为cm3.

125G

【答案】---------兀

【解析】

【分析】应用圆锥侧面积公式计算求出底面半径，再根据圆锥体积公式计算求解.

【详解】设圆锥底面半径为「圆隹的高为〃，圆锥的母线长为10cm,侧面积为5。血0?,

则冗〃=10兀〃=50兀，则〃=5,所以〃=J/?一产=5百,

则此圆锥的体积为』7tx25x56="叵花cm3.

33

故答案为：竺巨兀.

3

/九、

13.己知函数/W=3cos6yx+-(刃>0)在区间。兀］上恰有3个最小值点，则实数切的取值范围为

I4J

192、

【答案】

【解析】

【详解】XG10,^1,则0X+—W—,(071-V—

4[_44

因为/(x)在区间［0,兀］上恰有3个最小值点，

所以结合余弦函数的性质可得，571<^+-<771,得2工3<22,

444

「1927、

则实数切的取值范围为—.

|_44；

14.已知平面向量06,©，且同二L已知向量5与Z所成的角为60。，且忸一回之归一目对任意实数

/恒成立，则旧+2同+忖一5|的最小值为.

【答案】2石

【解析】

【分析】由忸一词之归一目，两边平方化简得|同=2,再用向量的三角不等式求B+2同+卜-司的最小值.

【详解】由同=1,向量/；与。所成的角为60。，可得小。二；w，

由B-佗>5-，，则行2—25。+产庐一必电+々2,

化简可得/-B/+5-120对任意实数，恒成立，

令/⑺=『_即+忸卜1,则/⑺NO恒成立，

由干函数图象抛物线开口向上，所以需要满足A=4|同+4<0,

即(忖一2『<(),所以同=2.

由阿量的三角不等式，有忸+2@+卜一42kd+29)一(万—5)|=|2'+@,

又悭+万卜“力+而归+户=x/4+4+4=26,

则区+2司+\a-b\的最小值为26.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数=f+2犹+3,XG［-4,6］.

(1)当。二一2时，求/(力的最值；

⑵若丁(“在区间［T,6］上是单调函数，求实数”的取值范围.

【答案】⑴小心=一1，小)皿、=35.

(2)(F-6］U［4,4<o)

【解析】

【分析】(1)利用二次函数的性质求/(«)的最值即可.

(2)由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求。的取值范围.

【小问1详解】

当〃=一2时，/(X)=X2-4X+3=(X-2)2-1,

・•・f⑴在［T2］上单凋递减，在［2,6］上单调递增，

•・•/(矶「/(2)二一1，/(^Lx=/(-4)=(-4/-4x(-4)+3=35.

【小问2详解】

/(.r)=x2+2at+3=(x+a『+3一/，

・•・要使/(/)在［-4,6］上为单调函数，只需—或—。26,解得。之4或c"-6.

・•・实数a的取值范围为(F,-6］U［4,48).

16.已知函数./■（X）=2sinAcosx+g-26sin?x.

（1）求/（x）在一名；上的值域；

_120

TT?

（2）将，（用的图象向右平移；个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的；倍（纵坐标不变

33

），得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间；

【答案】（1）/CV）G[1,2]

2kn5兀2kn1In

------1-----,-------1------kwZ

318318

【解析】

【分析】（1）先利用降察公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可;

（2）先根据平移变换和周期变换的原则求出g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求解即可.

【小问1详解】

f（x）=2sinxcosx+V3—2\/3sin2x=sin2x+V3cos2x=2sin（2x+：）,

,.r江乃]-c兀「兀2兀

因为工£-77，二'则2工+彳£—,

126」3[_o3

所以5访（2%+；）€L，1],故

【小问2详解】

将F。）的图象向右平移;个单位长度，

=2sinlx——，

I3j

再把y=2sin（2x—函数图象上所有点的横坐标变为原来的1倍,

得到函数g(x)=2sin(3x-：)的图象，

,兀兀3兀，-rr2An5冗“,2E1In，一

由24兀+—W3x---K2攵兀+—,keZ,可得----+—WxW—+—,ZeZ,

232318318

2k飞5兀2kit11jr

所以g(x)的单调递减区间为++—，keZ.

3Io51o

17.已知VA8C的周长为L,面积为S,内角A、B、C对边分别是小b、c,且

2ccosC=acos13+Z?cosA.

(1)求角C；

(2)若边长c=3,求人的最小值.

S

【答案】⑴C=m

3

⑵迪

3

【解析】

【分析】(1)正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解.

(2)由余弦定理可得(〃+〃--3〃〃=9,结合基本不等式求出。+〃<6,即可求解.

【小问1详解】

2ccosC-(acosB+Z?cosA)=0,

由正弦定理得2sinCeosC-(sinAcosB+cosAsinB)=0

/.2sinCcosC—sinC=0.

在VABC中，CE(0,7T)「.sinCwO,cosC=—

2

IT

,/CG(0,7t),:.C=—

3

【小问2详解】

由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=(«+Z?)2-2^(1+cosC)=9,

即(a+b)2-3ab=9,

二向=g[(“+b)2-9]《誓»

/.(tz+/?)2<36,

:.a+b<6,当且仅当々=人=3时取等号

又〃+Z?>c=3:.3<a+h<6

La+b+c4(a+Z?+c)46(a+b+3)4G、4石

•_—_________—___________-______________—________>____

Slysine岛〃(a+b)2-9a+b-3~3

2

・•・当。=〃=3时，自取到最小值为拽

S3

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A3c。为梯形，其中AO〃/3C,且A£>=23C,点E为棱

。。的中点.

(1)求证：CE//平面PAB:

(2)若“为CE■上的动点，则线段4。上是否存在点N,使得MN//平面DW?若存在，请确定点N

的位置，若不存在，请说明理由；

(3)若P4=PB=PC=AO=10,CO=12,请在图中作出四棱锥。一A3CD过点及棱AD中点的

截面，并求出截面周长.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在N为线段AO中点，证明见解析

⑶23+—

2

【解析】

【分析】(1)取线段Q4的中点广，连接瓦;8/，通过证明瓦"/EB可得结论；

(2)当N为线段4。中点时，“N||平面叩，通过证明面ENCV/面RW可得结论；

(3)取线段PC的中点”，连接EH,HB,通过证明七H//NB,得到四边形E77&V为截直，然后分别

求出各边的长即可.

【小问1详解】

取线段%的中点尸，连接所,用"

因为£F分别为线段PD,PA的中点,

所以Ef7/A。，且石尸

2

又AD//8C,且川。=2/C,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四边形3CEF为平行四边形.

所以EC//F3,又ECz平面P43,bBu平面A4B，

所以CE//平面以B；

【小问2详解】

当N为线段入。中点时，MV//平面26,

证明：取线段4。中点N,连接EN,CN

因为分别为线段尸DAO的中点,

所以EN//PA,又ENU平面PAB，QAu平面PAB，

所以EN//平面八44；

因为A/V=AC,RAN//BC,

所以四边形86八为平行四边形,

所以NC//AB,又NCz平面“钻，A8u平面Q4B，

所以NC//平面Q4B；

又ENp\NC=N,EN,NCu面ENC,

则面E7VC//面又MNu面ENC，

所以MN//面必从

所以当N为线段AO中点时，MN//平面PAB；

【小问3详解】

取线段尸。的中点，，连接EH,HB,

因为DN=BC,且DN//BC,

所以四边形NQC3为平行四边形,

所以DC//NB,又分别为线段PRPC,

所以EH//DC,

所以EH//NB，则四边形EHBN为四棱锥。一A3CD过点aE及棱AO中点的截面,

则BN=C£>=12,EN=-PA=5,HE=-CD=6,

22

5

在△尸8C中，BC=HC=5,"D21，

cosZ.PCB=—=—

iO4

i75

所以BH?=BC?+HC2—2BCHCcosNHCB=25+25—2x5x5x—=—,

42

则B”管

所以截面周长为BN+EN+〃E+〃3=12+5+6+%^=23+%色.

22

19.对于定义在D上的函数/(幻，若存在实数加，使得/(x+皿)-/(，〃)为奇函数，则称函数/(此为“位

差奇函数

(1)判断了。)=2%+3和g(x)=d是否是“位差奇函数”,并说明理由.

⑵若/(x)=e'+eT,h(x)=f(x)-tcx,且人")为“位差奇函数”.

①证明：r>1：

②若，=2,对于VXER,«/(2x)4-77(2x)4-26/+6<0,求。的取值范围.

【答案】(1)/(x)=2x+3为“位差奇函数”，g(x)=r不是“位差奇函数，，，理由见解析；

(5-

(2)①证明见解析；②F,一；

【解析】

【分析】(1)根据“位差奇函数”的定义分别判断即可；

(2)①根据题意可得b(x)=/?(/+〃?)一6(〃?)为奇函数，则/。)+/(一工)，化简整理求出，的表达式，再

结合指数函数的性质即可得出结论;

-2.V_2x_z-2.v_2X_6

②分离参数可得aW二~~二一化简分离常数求出的最小值即可.

2x2x,2八x©2x二

c+e~+2e+e-+2