2025广东中考数学试题（解析版）

2025年广东省初中学业水平考试

数学

本试卷共7页，23小题，满分120分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号

填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位

号,将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.

不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±。.。2g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量U.U2g记作+0.02g，

那么低于标准质量0.02g记作（）

A.-0.02gB.+0.02gC.-0.04gD.+0.04g

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了正数和负数.根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答.

【详解】解：:一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，

，那么低于标准质量0.02g记作-0.02g.

故选：A.

2.依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模

将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为（）

A-3xi09B-3xlO10C.30x10,°D.3x10”

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为4X10”的形式，其中1<W<10，〃为整

数，正确确定〃以及〃的值是解题的关键.确定〃的值时，要看把原数变成Q时.，小数点移动了多少位,

〃的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解.

【详解】解：3000亿一3000x108-3x10”•

故选：D.

3•计算gxg的结果是（）

A.3B.6C.瓜O.276

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键.直接相乘得出答案.

【详解】阮X6=A=6・

故选：B.

4.如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.找到从左面看所得到的图形即

可.

【详解】解：从左面看得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形.

•••它的左视图是：

BL

故选:C.

5.如图，点E，尸分别是V43C各边上的中点，乙4=70。，则/石。/二（）

A20°B.40°C.70°D.110°

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到W是V/BC的中位

线，得到小〃工，o歹//44,然后根据平行线的性质求解即可.

【详解】,:点、D，E'尸分别是V/5c各边上的中点，

:。DE，Z）/7是VABC的中位线

〃攵，DF//AB

・•・/DEB=/4=70°

■:DFHAB

•••/EDF=NDEB=70。•

故选：C.

6.某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为

95,92,96,94,95,88,95.这组数据的中位数、众数分别是()

A.92,94B.95,95C.94,95D,95,96

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键.中位数是将数据从小到大排

列后位于中间位置的数：众数是出现次数最多的数，据此即可求解.

【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88,92,94,95,95,95,96,

中位数为第4个数，即95：

数据中出现次数最多的数是95(出现3次)，故众数为95；

.•.这组数据的中位数，众数分别是95,95.

故选：B.

7.广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月

产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为工，可列

出的方程为()

2

A.2500(1+x)=9100B,2500(1-=9100

2

C.2500(1-2x)2=9100D,2500(1+2x)=9100

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解

题的关键.设该公司6,7两个月生值的月均增长率为x，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可.

【详解】解：设该公司6,7两个月产值的月均增长率为「

根据题怠，得2500(1+xy=9100.

故选：A.

8.在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(w・h)与骑行里程

x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于l0°W-h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正

A.电池能量最多可充400W・h

B.摩托车每行驶1okm消耗能量300Wh

C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25km

D.摩托车充满电后，行驶18km将自动报警

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关犍是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断

即可.

【详解】由图象可得，当x=0km时，y=500W・h，

，电池能量最多可充500W・h，故A错误;

500-25=20（Wh）,20xl0=200（Wh）

，摩托车每行驶10km消耗能量200Wh，故B错误;

由图象可得，当x=25km时，y=0W-h,

二一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，故C正确；

（500-100）4-20=20（km）

・••摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故D错误；

故选：C.

9.如图，在直径8C为2啦的圆内有一个圆心角为90。的扇形,430.随机地往圆内投一粒米，该粒米落

在扇形内的概率为（）

1I11

A.-B.-C.-D.2

543

【答案】D

【解析】

【分析】如图所示，过点4作力。工于点。，证明出V48C是等腰直角三角形，求出

AD=BD=CD=—BC=41然后得到（8=J4D?+BD?=2,然后分别求出S痢形乂作和S圆，然后

2

根据概率公式求解即可.

【详解】如图所示，过点力作力于点。

A

•「BC是直径

,ABAC=90°

AB=AC

••・v力4c是等腰直角三角形

VAD1BC

:•AD=BD=CD=>BC=6,

2

•*,AB=\IAD2+BD2=2

.・・,90兀象2,§_

・•・该粒米落在扇形内的概率为H=_.

2兀2

故选:D.

【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直

角等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

10.如图，在矩形/NCZ）中，E•夕是8c边上的三等分点，连接。石，49相交于点G，连接CG.若

4B=8,8c=12,则tan/GC/的值是（）

AD

A.叵「Vx--3-7-1--0-D

10410-t

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的

关键.根据矩形的性质，证明得到丝」，然后过点G作得到

ED4

△GHEs^ocE，根据相似三角形对应边成比例分别求出HE,G”的长，进而求出C4的长，再利用正

切的定义求解即可.

的

【详解】解：、.矩形E，歹是8C边上三等分点，48=8,BC=12,

-AD=BC=\2^CD=BC=g，AD//BCBE=EF=FC=4,£C=g，

,,xAGDs^FGE，

•・E•G-_E_F_—_4_—_\f

DG~AD~12~3

.EG1

••=一,

ED4

过点G作G〃_L8C，则G//〃CO,

.1D

,,AGHES^DCE，

•EHGHEG1

^C~~CD~~DE~4f

EH=-EC=-xS=2^GH=-CD=-xS=2^

4444

:・CH=CE—EH=8—2=6,

故选:B.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11,因式分解：=-------

【答案】ab(a+b)

【解析】

【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案.

【详解】解：«2什加=痴(。+6).

为

故答案：ab(a+b).

【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公囚式是解题关键.

12.如图，把V408放大后得到△COQ，则V403与△COD的相似比是

【答案】1

3

【解析】

【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把V/0B放大后得到△COO,则V力04与

△C0D位似，从而得到V4°8与△C。。的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即丝=2=，，

OD63

从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键.

【详解】解：把V4O5放大后得到△CO。，则V/08与△COO位似，

,•74°牛与40°。的相似比为丝=2=1，

OD63

故答案为：！.

3

13.不解方程，判断一元二次方程2/+工_i=o的根的情况是.

【答案】有两个不相等的实数根

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用•元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的

关键.先计算一元二次方程的根的判别式△=/_4℃'得出白〉。，即可得到结论

【详解】解：•・•一元二次方程2/+工_1=0，

••。=2，6=1，c=-\

22

A=A-4^c=l-4x2x(-1)=9>0f

:.方程2/+x_1=0有两个不相等的实数根.

故答案为：有两个不相等的实数根.

14.计算2。_2sin30°的结果是-

【答案】o

【解析】

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数暴，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键.

分别计算零指数幕以及代入特殊角的三角函数值计算即可.

【详解】解：2°-2sin30°

=1-2x1

2

=1-1

二0，

故答案为：0.

15.已知二次函数V=--+1+c的图象经过点（c,0）,但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_

_.（写出一个即可）

【答案】片*+1+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数y=_x2+bx+c的图象经过点（60），

得到0=_,2+从+C，再由二次函数y=_f+bx+c的图象不经过原点，得到CW0,从而得确定

c-b=l'若取3=1'即可得到c=2,从而确定函数表达式.熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方

法是解决问题的关键.

【洋解】解：.一次困数）'=一/+'+。的图象经过点（＜?，0）,

/.0=-c2+hc+cr

二次函数y=_/+bx+0的图象不经过原点，

二.c工0，

则c-b=1»

:若上父6=1»则c=2，

」•该二次函数的表达式可以是y=_/+x+2,

故答案为：p__2IYI7（答案不唯一）.

y-Ar\A\

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。

16.在解分式方程匕=」一一2时，小李的解法如下：

x-22-x

第步：口*-2）=-口.（一）-2,

第二步：1—x=—1—2»

第三步：

第四步：x=4.

第五步：检验：当x=4时，X-20,

第六步：.•.原分式方程的解为x=4，

小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出

你的解答过程.

【答案】见解析

【解析】

【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验.

先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行枪验即可.

【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍

然戌立；

小李的解答过程不正确，正确解答如下：

-1---X--=----1------2c,

x—22-x

1-x=-1-2x+4

-x+2x=-1+4-1»

解得：x=2.

经检验，x=2是增根，

・••原方程无解.

17.如图，点。是斜边4c边上的一点，以。/为半径的OO与边8c相切于点求证：AD

平分

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知

识点并灵活运用是解题的关键.

连接OO,根据圆的切线的性质得到NOQC=N5=90。，则根据平行线的判定与性质得到NI=/3,再

由等边对等角得到N1_N2,即可等量代换求证•

【详解】证明：连接0Q,

,:0O与边BC相切于点D，

・•・OD1BC，即ZODC=90c，

•・・VN8C为直角三角形，

・•・/ODC=/B=90。，

・•・0D〃AB，

・•・/I=N3，

OD=OA

:，N1=N2'

・••Z3=Z2»

••・,4。平分/比40

18.如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km,主塔高0.27km,主缆可视为抛物线，主缆垂度

0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km•请在示意图中建立合适的

平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.

【答案】该抛物线的表达式为v=—x2+0.0015

85

【解析】

【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到

(0,0.0015)、4(0.85,0.18),设该抛物线的顶点式为N,将4(0.85,0.18)代入解方程即

可得到答案.根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键.

【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：

则抛物线顶点坐标为力(12,027_0.09)，即“(0・85,0.18),

设该抛物线的表达式为＞=奴2+oooi5'

将,4(0.85,0.18)代入y=ax2+0.0015^0.18=0.852a+0.0015,

解得a=21

85

''该抛物线的表达式为卜=21/+0oo15.

85

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.如图，O是Rt△48。斜边力后上的中线，过点A,。分别作CE//AB4E与CE

相交于点后.现有以下命题:

命题1:若连接交。于点/，则S△/=2SCEF

命题2：若连接EO，则EQ_L4c.

命题3：若连接£。，则ED二BC•

任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例.

【答案】命题1是真命题，证明见解析；命题2是真命题，证明见解析；命题3是真命题，证明见解析

【解析】

【分析】命题1：连接。石，交4c于0,如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到

CD=DA=DB、IAB，判定四边形Ar)CF是平行四边形，进而得到四边形ADCF是菱形，再由中位线

2

的判定与性质得到OQ，最后利用三角形面积公式求解即可得证;

2

命题2：连接。石，交/C于0,如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到

CD=DA=DB=LAB，判定四边形'OCE是平行四边形，进而得到四边形是菱形即可得证;

2

命题3：连接交4c于0,如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到

CQ=ru=O8=4/18，判定四边形是平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形

2

BCED是平行四边形即可得证.

【详解】解：命题1：若连接8E交。I于点F，则S“F8=2S

命题1是真命题，证明如下：

连接。E，交力。于0，如图所示：

C。是RtZk/AC斜边48上的中线，

,\CD=DA=DB=-AB^

2

vAE//DCCE〃AB，

••・四边形力QCE是平行四边形,

QDA=DC，

」•四边形力。CE是菱形，

:.AC工DE，且6U=0C，OE^OD,

•；D为AB的中点，

.•.0°是V"3c的中位线，则OD=J_8C，

2

・•,SCFR=，CFBC,SCFF=CFOE，则SZXCFS=2S.

6Cro27AVCF2、C£F

命题2：若连接E。，则EOl/C.

命题2是真命题，证明如下：

连接。E，交力。于0,如图所示：

C。是RtA^BC斜边上的中线，

：.CD=DA=DB=-AB>

2

AE〃DC，CE〃AB，

•••四边形/IZXE是平行四边形，

QDA=DC，

二•四边形/4QCE是菱形，

:,ACLDE；

命题3：若连接£。，则EQ=3C.

命题3是真命题，证明如下：

连接。石，交力。于0，如图所示:

EC

CO是Rt△48C斜边44上的中线，

：.CD=DA=DB=、AB，

2

vAE//DC>CE〃AB，

.二四边形力。（7£是平行四边形，

:.CE=AD，

CE=DB、

•JCE〃AB，

.二四边形BCED是平行四边形，

ED=BC-

【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行

四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟记平

行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.

20.2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.

某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得

数据进行处理.部分信息如下：

调查问卷监理与描述

1.你每天参加体育活每天参加体育活动（含体育课）的时间统计图

i・人数

动（合体育课）的时

8075

间（单位：小时）（701A

60

）（单选）50■4446

40-35

30

A*（）.5<x<lB.235%)

20

10

1<Y<15

JL4人i

OABCDiM

C-1.5<x<2

D-x>2

2.随着体育活动时间希望地设的活动项目统计表

的延长，学校拟增设活动项目球类田径类体操类水上类

体育活动项目，你希

百分比72%23%40%46%

望增设的活动项目有

（）（可）多选）

E.球类F.田径类

G.体操类H.水上

类

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求参与这次问卷调查的学生人数.

（2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数.

（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议.

【答案】（1）200人

（2）375人（3）见解析（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，统计表等知识点，正确理解

题意是解题的关键.

（1）根据条形统计图得到参加体育活动（合体育课）的时间人数，再相加即可：

（2）用1000人乘以每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数占比即可；

（3）答案不唯一，合理即可.

【小问1详解】

解：这次问卷调查的学生人数为：35+44+46+75=200（人），

答：参与这次问卷调查的学生人数有200人;

【小问2详解】

解：2000x37.5%=375（人）,

答：每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为375人;

【小问3详解】

解：从第二项活动可看出学生更加喜欢球类活动，建议：学校可以适当的增加有关球类活动的项目和设施.

（答案不唯一）

21.综合与实践

【阅读材料】

如图，在锐用V“8c中，NBNC的对边长分别为",人，。,则有，_这

sinJsin8sinC

是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.

A

【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部

平面示意图，现需要知道湖中人，〃两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小

r\D

组对这一问题进行了探究.

【方案设计】

工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）.

I*

wxZ

测角仪测距仪无人机

测最过程：

步骤1：如图，在空旷地找一点c；

步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得N/B43。，N3B51。；

步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得341m，388.5

【问题解决】

(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算人，8两岛间的距离.

(参考数据:sin43°«0.682»sin51°»0.777>sin86°«0.998)

【评价反思】

(2)设计其他方案计算A，〃两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用

的数学知识.

【答案】(1)499m；(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键.

(1)利用三角形内角和定理求出/0=180°-/力-N6=86。，根据题意可得匹=*,代入数据

sinJsinC

求出的长，即可解答：

(2)运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可.

【详解】解：(1)•••立/七43°，

•••ZC=1800-ZJ-ZB«1800-43°-51°=86°»

由题意得，空二，也，

sinJsinC

又•:8c*341m，

.BCsinC5Csin860341x0.9984M

••AB=--------=----------«----------=499m»

sin/sin4300.682

答：A,8两岛间的距离为499m.

(2)工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高发).

测量过程：

步骤1：如图，在空旷地找一点,，使得v/8c是锐角三角形；

步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得ZC的度数：

步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=Qm，AC=bm.

计算过程：

过点A作《。工3C，则N/JOC=/力。8=90。，

..才RtZ\/CZ?Hi._ADCD

•在中，sinC=——，cosC=——，

...,4Q=bsinC(m),CD=bcosC(m)f

...BD=BC-CD=(<»-Z>cosC)(m),

;在R34C。中，AD2+BD2=AB2»

・，・AB=^(Z)sinC)2+(6r-Z)cosC)2(m)•

答：,两岛间的距离为J(bsinC)2+(“-6coscjm.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.

22.《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角一:角形具有

重要意义.若直角三角形的三边长〃，犷c都是正整数，则〃，卜c为一组“勾股数”.下表中的每

一组数都是勾股数.

3,4,57,24,2511,60,615,112,1119,180,18

131

4,3,58,15,1712,35,316,63,6520,21,29

7

5,12,19,12,1513,84,817,144,1421,28,35

355

6,8,1010,—,214,48,518,80,8222,120,12

602

（1）请补全上表中的勾股数.

（2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示Q,6，c，使该组代数式能表示

上表中所有的勾股数，并证明.

（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.

种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m•

如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花?

【答案】(1)24

(2)2222f

a=k(m-nyb=2kmn^c=k(m+n)其中“、冽、〃都是正整数，冽>〃，证明见解析

(3)280

【解析】

【分析】(1)先由表中勾股数规律，令〃=10，°，C=26,由勾股数定义列方程求解即可得到答案；

(2)由表中数据，分别用代数式表示出〃，台，c，再由整式混合运算求证即可得证明；

(3)由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可,

根据题意可知，最短边为20,另一个直角边为21,然后根据勾股定理求得斜边，即可■得到答案.

【小问I详解】

解：由表中勾股数的规律可知，令Q=10，b，c=26，

则由勾股数定义可知a2+〃=c2，

即102+82=262，

=262-102=(26+10)(26-10)=36x16,

解得Z)=24或b=-24(舍去)；

故答案为:24.

【小问2详解】

22f

解：由题意，a=k(nr-nyb=2kmn^c=k(nr+n)其中左、机、〃都是正整数，加>〃，证明

过程如下：

va=k(m2-n2)*b=Ikmn»c=k(m2+n2)*

222

•••a=k(mf2)2=_2m2n2+〃4)=k2m4_2k2m2tt2+//,

b2=4k2m2n2，

c2=k2(m2+n2)2=k2(m4+2m2n2+«4)=k2m4+2k2m2n2+k2n4'

va24-Z>2=k2m4-2k2m2n2+k2n4+4k2m2n2=k2m4+2k2m2n2+k2n4'

a2+1)2=c2；

【小问3详解】

解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，

如图所示：

A

cB

设,4C〈8C，即直角三角形中最短边为/c，

•••仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m，三角形最短

边种21株花，

/.AC=20m，

由题意可知，8c最小为21m，

那么48=1力。2+4。2=72()2+212=29(m),

那么这块绿地最少需要种植(20+21+29)x4=280株花.

【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运

算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键.

23.定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外

比，这个点称为中外比点.

(1)如图,点〃是线段,历\/中外比点，MP>PN'MN=2'求PN的长，

MPA

(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点0把线段45分为中外比.(保留作图痕迹，不写作法)

AB

⑶如图，动点8在第一象限内，反比例函数》=幺(〃>0/>0)的图象分别与矩形。"8C的边"巴

X

8c相交于点。，E，与对角线03相交于点尸.当aODE是等腰直角三角形时，探究点。，E，F是

否分别为力B，BC，。8的中外比点，并证明.

【答案】(1)PN=3一出

(2)见解析(3)当.OOE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为BC’的中外比

点，证明过程见解析

【解析】

【分析】(1)、设PN=x,根据题意丝二丝，得二_=3z±，解分式方程，即可求解：

MPPN2-xx

(2)①作线段力8的垂直平分线。石，交力8于点O；②过点4作8尸,48,且BF=BD；③连接

AF；④以点尸为圆心，B尸为半径,画弧，交力F于点G；⑤以点A为圆心，4G为半径，画弧，交

4"于点。，点C即为线段片《的中外比点.

设8O=x,根据勾股定理求得力尸=4污，继而求得<G=/C=（、污_1卜，3。=（3_石卜，分别代

入丝、AC即可求证点C为线段48的中外比点；

ACBC

（3）当△。。£是等腰三角形时，点。、E、E分别为力8，BC，06的中外比点，分三种情况讨论：

①当△。七。二90。时，证得△Q2X'BED,设点E（〃?,〃），则+根据点。、E在

反比例函数y=&（A>0,x>0）的图象上，可构建方程〃之一〃〃一川二。，解得〃=1+石而，分别求得

x2

'芥、CE、BC5。、力。J8的值，即可求证.设直线08的函数解析式为7=皿"0）,利用

待定系数法求得直线的函数解析式为后一1联立方程组，求得点尸的坐标，即可求证；②当

y—人

2

Z0DE=90°»同理可证点。，E，产分别为48，RC，的中外比点；③当NEOO=90。，则点

E、。分别位于V轴、x轴上，与反比例函数不符.

【小问1详解】

解：过PN=x，则A/P=A/N-PN=2-x，

根据题意，得："丫=竺，即二_=2二，

MPPN2-xx

整理，得：--6X+4=0,解得：玉记33。，当记3向？，

V3+石＞2'

一看电困行舍去，

「•PN=3-45'

【小问2详解】

解：如图所示，点c为所求.

设M=x，

」.根据题意，得：AD=BD=BF=FG=x，4B=2x，

一4F=ylAB、BF2=J（2X）+X2=忑，

二NG=4C=x逐一x=（逐一l）x,^C=^5-T4C=2X-（＞/5-1）X=（3-V5）X,

•独=__=非+'AC（，5-l,V5+1

"（石沙2，正=即郎=『

二•他口"

——H——，

父BC

••.点。为线段力B的中外比点.

【小问3详解】

解：当△OQE是等腰三角形时，点。、E、9分别为43，BC，。8的中外比点，理由如下:

第一种情况：当△0£。=90。，则。E=£7），

’4OEC+/DEB=9。。，

•••四边形048。是矩形，

4OCE=NEBD=90。，

/。。£+/。£。=90。，

/COE=ZDEB，

..△COE1知BEO（AAS）,

设点£（‘〃，〃），

•-0C=EB=nCE=BD=加则+,

•点、D、七在反比例函数y=\A>o,x>o）的图象上，

X

"-=n®

得：Q〃？，

---=n-m@

由①得：k=mn,将其代入②，得：2_=〃_加，

m+n

2

整理，得：/7_mn_m-=o，

〃?士J（一〃7）’-4xlx（一疗）m±

解得:n=-------------------------------=-----------

22

\=柠3〃,〃弃詈〃？（舍去）,

RP1+V5,CE=m3+6,

BE=-------niBC=-------m

22

‘二〃'，jn亚-1，jo1+石，

AD=--------mAB=-------m

22

21+逐Y3+752BCCE-3+」

BE=-------m=--------m,nccr-

222

BD-=nr1+J5V5-1,

'AB•AD=-------n:--------m=nr'

22

.sc_BE,AB_BD

"~BE~~CE'茄一而‘

二点、E、D为BC、的中外比点.

Ek（1+万1

点在反比例函数N=*>°户>°）的图象上，E叽-------m

2

j〃=匕4

2

1+A/52

反比例函数为—w,

y=--------

X

设直线的函数解析式为〉二皿4W0),

…