直线与圆锥曲线的位置关系-2026年高考数学二轮复习

微专题34直线与圆锥曲线的位置关系

高考定位直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线

的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.

【真题体验】

1.（2021・新高考n卷）抛物线产=2川（户0）的焦点到直线y=x+l的距离为2,则p

=（）

A.1B.2

C.22D.4

答案B

解析抛物线的焦点坐标为已‘°）,其到直线工一＞+1=0的距离d=

k。+"_2

12+3（-1）2'

解得p=2（p=-6舍去）.

2.（2023♦新高考H卷）已知椭圆C：；+炉=1的左、右焦点分别为B，直线歹

=x+〃?与C交于力，8两点，若面积是△产乂8面积的2倍，则m=（）

22

AB.

33

22

C-D.-

33

答案C

解析由题意，R（—2,0）,Fi（2,0）,△R48面积是△户面积的2倍，

所以点Fi到直线AB的距离是点出到直线AB的距离的2倍，

即L2+制=2x12+叫

22

解得机=一；或加=-32（此时直线与椭圆。不相交，舍去），故选C.

3.（2023•全国乙卷）设48为双曲线N—[=1上两点，下列四个点中，可为线段

/出中点的是()

A.(l,1)B.(—1,2)

C.(l,3)D.(-l,-4)

答案D

解析法一设/(»,巾)，Bg闻，48的中点为M(xo,/),由点43在双曲

线上，

X?—^=1,

,送两式作差，得

得—=1,9

化简得(…)5+”)=9,

(X)—X2)(X[+、2)

歹1+>2

即….2="=9,

X]—X2X]+X2X。

2

因此自8=9-"°.

由双曲线方程可得渐近方程为歹=±3工，如图.

对于A,因为匕8=9X；=9>3,所以直线与双曲线无交点，不符合题意；

对于B,因为自8=9乂-1二一?V—3,所以直线力8与双曲线无交点，不符合题

22

对于C,口8=9X；=3,此时直线43与渐近线y=3x平行，与双曲线不可能有两

个交点，不符合题意；

对于D,因为好=9XT=?V3,所以直线48与双曲线有两个交点，满足题意.

法二选项中的点均位于双曲线两支之间，故4,8分别在双曲线的两支上且不

关于原点对称，设线段月台的中点坐标为(xo,泗)，

则依同=9巧V3,即网＞3陶,

次

结合选项可知选D.

4.(多选)(2024•新高考H卷)抛物线C：产=4工的准线为/,尸为C上动点.过产作

。49+&-4)2=1的一条切线，0为切点.过尸作/的垂线，垂足为比则()

A./与。/相切

B.当P4,8三点共线时,\PQ\=15

C.当|P5|=2时,PALAB

D.满足网|=|P8|的点尸有口仅有2个

答案ABD

解析对于A,易知/：了=-1,故/与。4相切，A正确；

对于B,4(0,4),。/的半径〃=1,

当P,A,B三点共线时，P(4,4),

所以必(|=4,\PQ\=|%|2—产=42T2=15,故B正确；

对于C,当|尸身=2时，P(l,2),5(-1,2),或P(l,-2),B(—1,一2),易知

均与48不垂直，故C错误；

对于D,记抛物线。的焦点为凡连接力尸，PF,易知产(1,0),

由抛物线定义可知|%=|尸8],

因为|月|=|尸8|,所以图|=|叩，

所以点尸在线段力产的中垂线上，线段力厂的中垂线方程为＞=＞+；,

即无=句一1；,

代入V=4x可得产一16y+30=0,

解得y=8士34,

易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.

5.(2024•北京卷)若直线》=%(》一3)与双曲线:一产=1只有一个公共点，则A的一

个取值为.

圣宙1］或一：答案不唯一］

告荣人2)

2

解析由题意，知该双曲线的渐近线方程为歹=土)，直线歹=〃(x—3)过定点(3,

0).

因为点(3,0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则

该直线与双曲线的渐近线平行，所以％=±1

【热点突破】

热点一中点弦问题

I核心归纳

已知4(X1,6)，3(X2,刃)为圆锥曲线E上两点，的中点c(xo,/),直线的

斜率为k.

22l/l

(1)若椭圆E的方程为1+匕=1@七>0),则仁一，叫

a~b-a-yo

(2)若双曲线E的方程为工一匕=1(〃>0,6>0),则左=弓，°；

出b-azyo

(3)若抛物线£的方程为炉=2〃xS>0),则%=0=2?.

yoy\+拄

例1(1)已知双曲线/一1=1,过点尸(1,1)的直线/与该双曲线相交于44两点,

若P是线段AB的中点，则直线/的方程为()

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0

C.2x—y+1=0D.该直线不存在

(2)(2024•邵阳二模)已知直线/：x—2y—2=0与椭圆C：5+［=1伍泌>0)相交于/,

a~6

8两点.若弦力8被直线加：x+2y=0平分，则椭圆。的离心率为()

C-23

答案(1)D(2)C

解析(1)设力(XI,“)，8(X2,yi)>且X1WX2,

6一/=1,

2

代入双曲线方程得，道

冠_；=1,

两式相减得3_3=^一^得3+x2)(XL、2)=3+­[5_户)

若尸是线段的中点，则占+也=2,y+/=2,所以川一户=2,即直线48的

X\~X2

斜率为2,

所以直线48方程为y—1=2(x—1),即2x—y—1=0；

联立得2/一4升3=。,

2x~y—1=0,

则4=16—4X2X3=-8<0,方程无解，所以直线/不存在.

(2)设4(xi,yi),8(x2,先)，因为弦被直线〃?：工+2y=0平分，设中点坐标(xo,

词，

所以Rr+2xM/安+2y°=。,①

刈=2巾+2,

因为点力，3在直线/：工一29一2=0上，代入可得

由=2"+2,

两式相减可得Xi—X2=2(yi—X2),②

又点N,4在椭圆上，代入可得

=1,

两式相减可得

岸b~

代入①②可得4；°+勺°=0,得〃2=4〃，

a-b-

又椭圆中。2=〃+2，

所以离心率6=。=故选C.

a4b22

规律方法1.处理中点弦问题的常用方法：（1）根与系数的关系；（2）点差法；（3）

常用结论.

2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.

训练1已知椭圆C：，+；：=1（心力＞0）的左焦点为R过点厂的直线”一歹+2=0

与椭圆。相交于不同的两点力，8.若P为线段48的中点，。为坐标原点，直线

的斜率为一;，则椭圆C的方程为（）

AX2+/=IBX2+^=I

3,42

c/+V=iDX2+^2=I

5363

答案B

解析因为过椭圆上两点43的直线x-y+2=0过点尸（-2,0）,

所以。=2且k,4B=l,

可得的=」了。=_护.J=1,

屋yoa"KOP

所以£=1,即/=262=岳十o2,

所以b=c=2,4=2,

所以椭圆。的方程为?+丫=1.故选B.

42

热点二弦长问题

I核心归纳

已知4（户,工）,5（X2,及），直线48的斜率为网上W0）,

则|*冏=（X1—X2）?+（yi—yi）2=1+妁占一刈

=l+R（X1H-X2）2—4X1X2

或|46|=1+5上|一户|=1+5（/+丁2）2—4yiy2.

k~k-

例2已知椭圆氏：+，=1（公功＞0）的左、右焦点分别为丹（一1,0）,F2（l,0）,

点P1b2）在椭圆石上.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线/：戈=〃少+1（/〃£R）与椭圆E相交于彳，8两点，与圆＜+产=02相交

于C,。两点，当|力卦。|2的值为82时，求直线/的方程.

解（1）因为点P[l'9）在椭圆上，根据椭圆定义可得|。外|+|尸22|=2〃,

又I吗=4+；1='19,IP尸2|=7

所以24=3/+：=22,

22

即。=2,因为C=l,所以〃=〃2—c,2=l,

故椭圆E的标准方程为《十/=1.

2

⑵设4（xi,yi）,8（x2,及）,

x=my+1,

联立消去x,

22

!x+2y=2,

整理得(〃?2+2)y2+2〃9-1=0,

2m

所以/=8〃户+8>0,yi+二=一

〃户+2’

则|力用=1+1（川+歹2）2—4月次=1+"，4m2+4

K-(〃?2+2)2加+2

22(加+|)

加+2

设圆N+f=2的圆心。到直线/的距离为",

则d=1-11

(一〃7)2+1

2/+1

所以|CD|=22一屋=2

加2+1

22(加+1)2(2m2+1)

则明,|田2==82,

加2+2X4X；W"P+2

解得加=±1,经验证加=±1符合题意.

故所求直线的方程为

x—y—1=0或x+y—1=0.

易错提醒1.设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0

等.

2.涉及直线与圆锦曲线相交时，/>0易漏掉.

3M8|=xi+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.

训练2在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线。经过点

(1，2).

(1)求抛物线C的方程：

(2)己知抛物线C关于x轴对称，过焦点厂的直线交。于4B两点,线段的

垂直平分线交直线43于点P,交。的准线于点0.若|/8|=|P0|,求直线的方

程.

解(1)当焦点在x轴时，设抛物线C：

y2=2px(p>0).

将点(1,2)代入得〃=2,

此时抛物线的方程为炉=4工

当焦点在y轴时，设抛物线C：/=20。>0),

将点(1,2)代入得〃=；,

此时抛物线的方程为/=3.

综一卜，抛物线。的方巷为产=4丫或.，=}.

(2)当抛物线。的焦点在x轴时，其方程为产=4乂

焦点坐标为(1,0),准坡方程为x=-L

•・,当直线1B的斜率不存在时，

|第=4,|尸。|=2,不符合题意,

・・・直线48的斜率存在，设直线48的方程为y=A(x—1)(〃=0),

与抛物线的交点为力(xi,yi),8(x2,yi).

"二Z左(X-1)

由消去y得Irx2—(2k2+4)x+Zr=0.

y2=4x,

2〃44

・・・/=163+16>0,XI+X=；,

2k2

4

\AB\=x\+.¥2+2=44-,

kz

4

,・？1+>2=〃(为+12)—2上=,

k

22

・•・线段48的中点。为[1l+庐1kJ,

・•・直线尸Q的方程为歹一?=一1'—1―A2).

kk

令_得y-j+东

kk。

・•.』f

.•・闿尸"Al+b：寸=2"』1+;,

由I尸01=3引得，2(1+产)1+[=4+：,

K~k~

解得左=±3?,

3

・・・直线48的方程为>=3

t3.3

或产一x+.

,33

热点三面积问题

例3(2024-泰安模拟)已知圆/+/一¥—25；+〃2=0与工轴交于点尸(1,0),且经过

椭圆G：[+，=1(心力>0)的上顶点，椭圆G的离心率为；.

(1)求椭圆G的方程；

(2)若点A为椭圆G上一点，且在x轴上方，B为A关于原点。的对称点，点M

为椭圆G的右顶点，直线处与交于点N,的面积为；，求直线为

的斜率.

解（1）:圆/十y2一工—27+〃?=0过（1,0）,A/w=0,

又•・,圆炉+/-x—2y=0过（0,b）,:.b=2.

c5

又：。3.・.〃2=9,

/—M=4,

・,・椭圆G的方程为:十：=1.

⑵设力(xo,次)则例一xo,一次)，

由题知xoWl且xoW—3,

则为：y=泗(x-1),MB：y=丹(》一3),

解得

（X—3）,

xo+3

力,

又S4PBN=S&PBM—SgMM=2X\PM\X,，（）=厘0=4，

=1,•・xo=±2,

••・直线必的斜率自产/=-2，或25.

xo—193

规律方法圆锥曲线中求解三角形面积的方法

(1)常规面积公式：s=：x底X高.

(2)正弦面积公式：S=^abs\nC.

2

(3)铅锤水平面面积公式；

①过x轴上的定点：5=；如一网(。为x轴上定长);

②过y轴上的定点：5=%付一切伍为歹轴上定长).

训练3已知双曲线C£一5=1(心0,4>0)的实轴长为2,左、右两顶点分别为

小，Ai,。上的一点尸(刈,次)SoWO)分别与小，42连线的斜率之积为3.

(1)求C的方程；

(2)经过点(0,1)的直线/分别与C的左、右支交于M,N两点，。为坐标原点，

△OMN的面积为6,求/的方程.

解(1)由题意知。=1,

则4(一1,0),4(1,0),。的方程为工2—^=1.

b~

因为P(xo,次)在C上，则高一1，

即W=6VI)，

则P(xo,/)分别与小，42连线的斜率之积为

2

次.次=京=b(xi-1)=吩=3,

xo+1xo~1xi~1xj—1

所以。的方程为N—1=1.

(2)由题意知，直线/的斜率存在，设为上

则/的方程为^=京+1,

y=kx-\~\,

联立避_产=1消去)，得

r3，

(3一d.2_2米一4=0,

令M(»,y\),Ng,yi),

因为直线/分别交C的左、右支于M,N两点，

则4=43+16(3—*)>0,x\xi=4<0,

3—k2

则一3<k<3,x\-\~X2=,,

3T2

由于直线/经过点(0,1),

则△OA/N的面积S=；忻一刈|=6,

则小—X2|2=(X1+X2)2—4X|X2

216

=(3-J+=24.

3T2

解得公=2或;(舍去)，则k=±2,

所以/的方程为y=±2x+1.

【精准强化练】

一、单选题

1.若直线y=x-1与椭圆/+3产=。有且只有一个公共点，那么。的值为（）

A.1B2

23

3

C.D.1

4

答案C

解析因为方程/+3/=。表示的曲线为椭圆，则A0,

将直线y=x—l的方程与椭圆的方程联立，得二’।'

依+3y=〃，

可得4x2—6x+3—a=0,

则/=36—4X4X（3—q）=16q-12=0,

解得V

4

2.（2024•遵义模拟）已知椭圆C：:+；=1'过点尸2）的直线与椭圆C交于力,

B两点且AB的中点为P,则坐标原点。到直线AB的距离为（）

A.lB.2

C.2D.22

答案B

解析设4(xi,y\),8(x2,㈤,则

=1,

两式相减得+5*…)=。，

由条件可知，羽+%2=1,y\+y2=3,

即川一刃+加-也=o,

22

并且由对称性可知，X1WX2,所以""=一1,

X\~X2

所以直线48的斜率为-1,

所以直线48的方程为，一；=—["2],

即工+»—2=0,

所以原点O到直线力8的距离a—'-2.

2

3.(2024・泸州三模)已知点M(4，4)在抛物线C：/=2p^>0)±,尸为C的焦点,

直线与C的准线相交于点N,则|的7|=()

A25B20

33

CL"D25

24

答案A

解析将点例(4,4)代入抛物线方程炉=2内，可骞16=2〃义4,解得〃=2,

所以抛物线。的方程为V=4x,

所以尸(1,0),准线方程为工=-1,

4—04

所以直线的斜率％==,

4-13

所以直线A/N的方程为y=；(x-l),

令x=-l,得〉=一；，所以」1'3),

(4+8]225

所以|M7V|=(4+1)2+13J=；.

4.已知a为椭圆的左焦点，过E作倾斜角为:的直线与椭圆交于4B

963

两点，O为坐标原点，则△月08的面积为()

A36B23

113

43

CD.3

3

答案A

解析如图，因为直线44的倾斜角为60。，

所以斜率为3,

又直线过点£(—3,0),

所以直线力5:y=3。+3),

y=3(x+3),

联立

消去x并整理得11/一12〉—36=0,

J=144+4XHX36>0,

设力(xi,y\),6(x2,yi)^

m“36

则a+/=]]，以及=一[]，

斜/xo._144,4X36—243

所以b1一)引=(/+।a)-4)，必=⑵+]]=U，

所以品/o8=joa|BL/|=；X3x2：」=；：

5.已知抛物线C：y2=4x,圆/：(x—1)2+俨=1,直线/：y=%(x—1)/WO)自上而

下顺次与上述两曲线交于"l，m，A/3,河4四点,，则下列各式结果为定值的是

（）

A.|跖嵌卜|必B.|m|-|FM4|

答案A

解析如图，分别设时I,必2,M3,四点的横坐标为XI,X2,X3,X4,

由V=4x得焦点A(1,0),准线/o：x=-1,

由定义得，|M0=.叫+1,

又|MQ=|MiM|+l,

所以四跖|=»,

同理“”|=X4,

y=k（x—1）,

由t‘消去y整理得炉/一（2公+4）x+/=o（攵wo）,

r=4x,

则X\X4=1,即|必死卜|/»3M4尸1.

6.已知过双曲线C^一^=1的左焦点9的直线/与双曲线左支交于点4B,过

84

原点与弦AB中点、D的直线交直线x=—4s'于点E,若AAEF为等腰直角三角形,

则直线/的方程可以为（）

A.x+（3—22»+23=0B.x—（3+22»+23=0

C.x+（3—22）y-23=0D.x+（3+22»+23=0

答案A

解析F（~23,0）,则由题意可设/：尸町一23（mW土2）,

因为若△力七尸为等腰直角三角形，且N4E厂为直角，

所以直线E下的方程为y=—〃z(x+23),

人43省23

令x=_3，何、=-3'明

f4323]

即▲3，3m[

设力3,8),有|防=必用可得,

即3户+：=(xi+23)?+j*=(m~+1))彳，

解得y尸土238.

又N=l，所以为一“J,

843

所以加=±(3—22),

从而直线/的方程为1+(3—22)y+23=0或工一(3—22»+23=0.

7.(2024•浙江名校协作体联考)抛物线产=4x的焦点为R过点M(6,0)的直线与

抛物线相交于48两点，与抛物线的准线相交于点C若/用=3,则[*=()

A.3B4

45

C5D6

67

答案A

解析由抛物线f=4x得抛物线的焦点为21,0),准线方程为工=-1,设,4但，

y\)>3(x2,、2),

过43分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为小N,则|3斤|=|52=&+1=3,

所以X2=2,把X2=2代入产=4X,可得玖二=±22,即点3(2,-22)或例2,22).

C\/

N-*

___'\M一

图1图2

当点8(2,—22)时，点力在x轴上方，即">0,如图1,由M=4xi,可得yi=

2xi,

即4(xi,2xi),

22

因为M(6,0)且k/M=kMB,即1=所以》=3,

x\—66-2

所以|4日=3+1=4,所以\BC\=\BN\=3

\AC\\AE\4

当点8（2,22）时，点4在x轴下方,即巾<0,

如图2,由允=4xi,可得川=一2xi,

即4（xi,—2幻），

因为历（6,0）且匕

即:解得xi=3,

所以阈=3+1=4,所以

\AC\\AE\4

综上，可得??=?.故选A.

MC|4

二、多选题

8.已知椭圆氏工十£一1的右焦点为正2，直线x—y十3—0与椭圆交于力，B两

点，则（）

A.ZX44后的周长为20

B.ZV/8B的面积为9622

41

C.线段/出中点的横坐标为一?

41

D.线段48的长度为3^

答案ACD

解析依题意，直线X—>+3=0过椭圆氏的左焦点a（—3,0）,椭

圆长轴长2a=10,

所以的周长|力刊+|48|+|8尸2|=|4B|+|4K|+|8B|+|4B|=4a=20,A正

确：

x-y+3=0,

由f+y一［

岛+16-晨

消去y得419+150%-175=0,

设/(»,yi),Bg,R),

则XI+x=_吸,XiX2=—75,

24141

因此线段力B中点的横坐标为

"i+x2=_150x1=_万c正确；

241241

线段力4的长度为1+1，(X1+X2)2—4X1X2

f—"OR

=2-I41J+4X17/5'="32U0,口正确：

4141

点B(3,0)到直线x—y+3=0的距离d=-6=32,

所以△川刃?2的面积S=；M4|-d

=1X320X32=4802,B错误.

24141

9.(2024・邯邨二模)设抛物线K：工2=20。＞0)的焦点为凡过点尸(0,3)的直线与抛

物线E相交于点4,B,与x轴相交于点C,|力用=2,|8Q=10,则()

A.E的准线方程为》=一2

B夕的值为2

C.|N3|=42

DABFC的面积与△力/C的面积之比为9

答案BD

解析设直线48的方程为y=Ax+3,4(xi,yi),Bg,闻，

,y=h+3,

联立二可得去一6夕=0,

个=2打，

所以Xl+X2=2/M,xiX2=—6p,

r2

因为好=2外，所以,

2P

故小=窦=苧?=9,

4p-4P2

因为M月=2,|BF|=10,

由抛物线定义可得巾=2—g,玖=io-g,

则R―T［。—§)=9,解得p=2或p=22,

因为川=2—^>0,所以0=2,则E的准线方程为y=-l,故B正确，A错误:

又E的方程为N=4y,川=2—；=1,p2=10—g=9,

把yi=l代入r=4歹可得x+=4yi=4,舄=4户=36,

不妨设力(-2,1),8(6,9),则|4?|=82,故C错误；

设歹到直线AB的距离为d,ABFC的面积5八"。=

LAFC的面积5二代=1。必

乙

则△6R?的面积与△加P的面积之比品"。一180—72—9,故口正确.

SMFC14clyi

三、填空题

10.设斜率为2的直线/过抛物线产=以(心0)的焦点R且和〉轴交于点4若

△04尸(O为坐标原点)的面积为4,则a的值为.

答案8

解析抛物线产=0¥的焦点坐标tr°),i°用=j

直线/的点斜式方程为y=2卜-2,在y轴的截距是一；.

・・・品〃尸!X：X：=4,即。2=64,

242

又/0,・,・。=8.故答案为8.

11.(2024•娄底模拟)已知椭圆C：的右焦点为巴下顶点为4过

4,尸的直线/与椭圆。交于另一点4,若直线/的斜率为1,且[48|=。则椭圆

C的标准方程为.

答案；+[=1

解析设Rc,0),

由题意知，b=c,a=2c,直线/的方程为》=不一°,

与椭圆C的方程联立化简得3x2-4cx=0,

所以山=0,X8=：C,

故|48|=2-|x5—Xj|=4^2c=^,

解得c=2,

22

所以方=2,。=2,椭圆C的方程为：v+2v=l.

42

12.(2024•合肥调研)已知椭圆C：:;+；；=1(蜃力>0)的一个焦点的坐标为(1,0),一

条切线的方程为x+y=7,则C的离心率。=.

答案J

3=1,

解析联立直线与椭圆方程序心

x+y=7,

可得(*+h2)x2—14a2x+49a2-a2b2=0,

则有1=196/-4(*+b2)(49a2-a2b2)=0,

化简得t/4/?2+a2bA=49a2b2,

又a>b>0,故标+文=49,

又椭圆的一个焦点的坐标为(1,0),

故有a2~b2=1,

则标=25,故4=5,则e=l

5

四、解答题

13.(2024・新高考I卷)已知4(0,3)和2)为椭圆C：：；+：；=1(。＞力＞0)上两点.

(1)求。的离心率；

⑵若过产的直线/交C于另一点3,且△力台尸的面积为9,求/的方程.

a=23,

解⑴由题知‘99解得

a2~^~4b2b=3,

；・c=a2—b2=3,

・・・C的离心率e=°=L

a2

(2)|以尸

设点8到直线以的距离为队

则△4BP的面积为5=1|/M|/?=9,