第12章 证明（单元重点综合测试）【苏科】七年级数学下册

第12章证明（单元重点综合测试〉

班级姓名学号分数

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的）

1.下列语句中是命题的是（）

A.作1406的平分线ocB.美丽的大自然

C.同位角相等D.你吃饭了吗

2.如图，在小灰;中，。是2c延长线上一点，NA=40。，ZJCZ）=120°,则等于（）

3.下列命题中，逆命题是真命题的是（）

A.若“=〃，那么同=1目B.若0=6,那么/=/C.对顶角相等D.两直线

平行，内错角相等

4.如图，直角三角形力8c的直角顶点4在直线E/上，岩BCHEF,Z1=42°,则N2的度数是

（）

A.42°B.48。C.52°D.58°

5.用反证法证明命题”三角形中至少有一个内角小丁或等丁60。”时，首先应该假设这个三角

形中（）

A.每一个内角都大于60。B.每一个内角都小于60。

C.有一个内角大于60。D.有一个内角小于60。

6.下列命题中真命题的个数是（)

①内错角相等；②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③如果一个角

的两边分别平行另一个角的两边,那么这两个角相等；④在同一平面内，若。〃力，bPc,则

aPj⑤在同一平面内，若；d，blcf贝3_Lc；⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做

点到直线的距离.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7.把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：.

8.命题“同位角相等”的逆命题是；逆命题是命题（填“真”或“假”）.

在中，ZJ=2Z5=3ZC,这个三角形按角来分是三角形

10.如图，点。，B,C点在同一条直线上，/力=60。，ZC=50c>,ND=25。,则Nl=_______度

A

DBc

11.命题“若。＞0,贝是假命题，请写出一个满足条件的，7的值，a=_________________

a

12.如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则等于—•

、、、4於

13.如图，点。在的延长线上，DEJ.AB于点、E,交4c于点、F,若乙4=35。，ZD=15°,则

的度数为__.

A

/V,

BCD

14.如图是折叠式沙发椅的示意图若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时

NEFD=__________.

力£限B

15.当三角形中的一个内角。是另一个内角［的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其

中a称为“半角”，如果一个半角三角形的“半角”为18。，那么这个“半角三角形”的最大内角

是.

16.如图，<D〃BC，ND=NABC，点、E是边DC上一点、,连接力上交BC的延长线于点〃.点尸是

边居上一点.使得NFBE=NFEB,作NFE”的角平分线EG交8H于点G,若NDEH=NO。,则

NBEG的度数为.

三、解答题(本大题共11小题，17,18每小题7分,19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27

每小题9分，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假

⑴如果x是实数，则/+1>0;

(2)相等的两个角是对顶角；

⑶今天有雨吗？

18.命题：直角三角形的两锐角互余.

⑴将此命题写成“如果…，那么..」：；

⑵请判断此命题的真假.若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、

求证和证明过程.

19.已知命题“若〃是自然数，则代数式(3〃+1)(3〃+2)的值是3的倍数”.

⑴写出命题的条件和结论；

(2)判断这个命题是真命题还是假命题，并说明理由.

20.如图所示，在JAC中，己知力。是用平分线，NB=62。,ZC=58°.

⑴求/胡。的度数;

⑵若DEJ.AC点E,求乙1OE的度数.

21.如图，点力，瓦尸分别是三角形力5C的边力边上的点，有下列三个条件:

①DE〃BC；@DF//AC-@Z1=ZC.

⑴若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成

的命题；

(2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明.

22.已知：如图，4。为ABC的角平分线，过4。延长线上的任意一点〃作4。的垂线，分别

交AB.AD.AC于£;F、G三点.

(1)如果/4。8=70。，N/f8C=40。，则NH=

(2)求证：

23.已知/力蛇的两边与斯的两边分别垂直，BPABIDE,BC1.EF,垂足分别为点例和N,

试探究:

⑵如图2,写出与/E的关系，并说明理由;

⑶根据上述探究，请归纳概括出一个真命题.

24.已知，4C中，3“平分2/"C,点，在射线旌上.

①②③

⑴如图①，若/"C=46。，CP〃AB,求/8PC的度数；

(2)如图②，若/A4C=110。，£PBC=NPCA,求N8PC的度数；

⑶如图③，若48C=46。，4c8=34。，直线CP与"8C的一条边垂直，则/8PC的度数.

25.已知N/8C的两边与NOEr的两边平行，即比i〃E。，BC//EF.

(1)如图①，若4=40。，则“=

⑵如图②，猜想N8与有怎样的关系？试说明理由;

⑶如图③，猜想与/上有怎样的关系？试说明理由;

(4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题.

26.如果三角形的两个内角。与夕满足2a+夕=90。，那么我们称这样的三角形为“准直角三角

形

图2

⑴关于“准直角三角形"，下列说法：

①在中，若4=90。，25=70%ZC=20°,则“/?是准直角三角形；

②若AAC是“准直角三角形'ZO90%4=60。，贝ljN6=15。；

③“准直角三角形”一定是针角三角形.

其中，正确的是.(填写所有正确结论的序号)

(2)如图①，在RtA48C中，乙4c8=90。，8。是“8C的角平分线.求证：是，准直角三

角形

(3)如图②，B、C为直线/上两点，点A在直线/外，且480=80。.若。是/上一点，且“5P是

“准直用三现形”，请直接写出—”5的度数.

27.在学习完七年级上册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣,

张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能.

⑴观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三

个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和等于180。.

问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确.

图1

聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程.

证明：如图1所示，/B4C,/B,是“8c的三个内角，过点力作力

VAD//BC(已知)

.-.Z1=ZC,Z2=（D（理由：②）

vZl+Z2+ZBJC=180°（平角定义），

.-.^BAC\ZZ?1ZC=180°G里由；@）

二•三角形内角和等于180。.

⑵拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就

是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角

的作用.

对于问题1,小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知/ABC,NA,/C是△/水?的三个内

角，延长力6到石，过点8作"〃月C.

请你按照小亮同学的解答思路证明4+NC+ZABC=180。.

⑶迁移应用:

图3图4

已知48〃CO,点。在点。的右侧，ZJDC=50°,BE平分/ABC,DE平分/jDC,BE,所

在的直线交于点E,点E在直线与。。之间.

①如图3,点8在点/的左侧，若乙1AC=36。，则4E£>=_.（填角的度数）

②如图4,点8在点力的右侧，且4B<CD,AD<BC,若/ABC=〃。,则/B£7）=_.（用含〃的

代数式表示）

第12章证明（单元重点综合测试）

班级姓名学号分数

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分,在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的）

1.下列语句中是命题的是（)

A.作的平分线OCB.美丽的大自然

C.同位角相等D.你吃饭了吗

【答案】C

【分析】

本题主要考查了命题的定义，命题就是判断一件事情的语句，据此逐一判断即可.

【详解】解：根据命题的定义可知，四个选项中只有C选项中的语句是命题,

故选：C.

2.如图，在中，。是"延长线上一点，=40°,ZJC£>=120°,则4等于（）

C.90°D.100°

【答案】B

【分析】

本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，进

行列式计算，即可作答.

【详解】解：V25=40°,ZJCD=120°,

:,ZA=4CD-NB=120°-40°=80°,

故选：B.

3.卜列命题中，逆命题是真命题的是（）

A.若a=b,那么同=可B.若〃=力，那么/=/c.对顶角相等D.两直线

平行，内错角相等

【答案】D

【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题

叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

【详解】解：A、若“=/，，那么|。|=|目的逆命题是若同=同，那么〃=人是假命题，不符合题

意；

B、若那么/=/的逆命题是若/=/,那么。=力，是假命题，不符合题意；

C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意：

D、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；

故选：D.

4.如图，直用三角形/8C的直角顶点4在直线E户上，岩BC〃EF,Z1=42°,则/2的度数是

()

A.42°B.48。C.52°D.58°

【答案】B

【分析】

此题考查平行线的性质及余角的意义：如果两个角的和为90。，则这两个角互余.先求得

/。=90。-/1=48。，再由平行线的性质求得答案即可.

【详解】根据题意,可知NC=90。-/1=48。.

BC//EF,

：.Z2=ZC=48°,

故选B.

5.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60。”时，首先应该假设这个三角

形中()

A.每一个内角都大于60。B.每一个内角都小于60。

C.有一个内角大于60。D.有一个内角小于60。

【答案】A

【分析】

本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假

设出发.经过推理论讦,得出矛盾：③由矛盾判定假设不F确,从而肯定原命题的结论正确.

反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定.

【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60。”时,

首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60。.

故选：A.

6.下列命题中真命题的个数是（）

①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③如果一个角

的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④在同一平面内，若A尸C,则

aPc；⑤在同一平面内，若一［，，》1c,则力c；⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做

点到直线的距离.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质、垂线的性质、角的定义、点到直线

的距离定义、相交线、平行线的判定定理等的知识点.根据平行线的性质、垂线的性质、角

的定义、点到直线的距离定义、相交线、平行线的判定定理、逐项判断.

【详解】解：两条直线平行，内错角相等，故①错误，是假命题；

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，是真命题；

如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故③错误，是假命

题；

在同一平面内，若。〃力，bPc,贝iJaPc,故④正确，是真命题;

在同一平面内，若』［，，则。||。，故⑤错误，是假命题;

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故⑥错误，是假命题.

综上，真命题是②④，共2个.

故选：B.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7.把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：.

【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等：

【分析】本题考查命题的扩充改写，先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论

的描述语言进行适当扩充.

【详解】命题”等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个二角形有两个角相

等,那么它们所对的边也相等；

故答案为：如果•个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.

8.命题“同位角相等”的逆命.题是；逆命题是命题（填“真''或"假”）.

【答案】相等的角是同位角假

【分析】本题考查了逆命题，判断一个命题的逆命题的真假，根据互逆命题的定义先写出原

命题的逆命题，然后判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键.

【详解】解：“同位角相等'，的逆命题是“相等的角是同位角“，这是一个假命题，

故答案为：相等的角是同位角；假.

9.已知，在ABC中，Z.A=2Z5=3ZC,这个三角形按角来分是三角形.

【答案】钝角

【分析】

本题考查了三角形的分类，三角形的内角和定理，解一元一次方程，熟练掌握三角形的内角

和定理是解题的关键.设N4书，根据三儿形内用和定理列出方程并求解，得出-4为钝知，

即可得出结果.

【详解】设4个，

v/.A=2/8=3ZC,

Z.B=—x,ZC=—x,

23

•••Z/f+Z5+ZC=180°,

,v+—A+-x=180°,

23

解得x=（詈）°，

・•・乙4是钝角,

.•・“蛇是钝角三角形.

故答案为：钝角.

10.如图，点。，B,C点在同一条直线上，4=60。，ZC=50°,ND=25。,则N1=慝

【答案】45

【分析】

本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，根据三角形的外角的性质及三角形的内

角和定理可求得.

【详解】解：4是的夕卜角,

/ABD=ZJ+ZC=60°+50o=110°,

/.Zl=180o-ZJ^D-ZD=180o-110o-25o=45°.

故答案为：45.

II.命题“若。＞0,则"L，是假命题，请写出一个满足条件的。的值，。=.

a

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断

一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.令。=1即可.

【详解】解：当。=1时，满足。＞0,

但是'=1=4,不满足

aa

・••命题“若a＞0,则。＞L'是假命题，

a

故答案为：1

12.如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则Na等于.

【答案】75。/75度

【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算、三角形外角的性质.根据题意可得

4=90。-45。=45。，再由三角形外角的性质，即可求解，采用数形结合的思想是解此题的关键.

【详解】解：如图，

根据题意得：・・・/2=45。,/1+/2=90。,

21=90°-45°=45°,

Za=Zl+30°=45°+30°=75°.

故答案为；75。

13.如图，点。在3。的延长线上，DEJ.AB于点、E,交4c于点、F,若乙4=35。，ZD=15°,则

“4C5的度数为.

【答案】70。/70度

【分析】本题考查了三角形的内角和定理、垂直的定义，解题的关键是熟知三角形的内角和

定理.先由。E"/也得到"即=90。，再结合/。=15。求得4=75。，最后结合乙1=35。求得

“4C8的度数.

【详解】解：

:"BED=900,

ZD=15。,

:.ZB=1800-ZD-/.BED=180°-15°-90°=75°,

•••ZA=35°,

/.£ACB=180°-ZJ-Z£?=l800-35°-75°=70°,

故答案为：70°

14.如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时

【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，延长石厂交于点G,根据

三角形内角和定理求出“GC=75。,得出NFG0=105。，再由三角形外角性质可得

ZEFD=\25°.

【详解】解：延长*'交于点G,如图，

•；4E+NEGC+ZECG=ZCAB+/CBA+ZJC8T80;

/.NE+ZEGC=ZCAB+4CBA,

•/NE=30。,=45°,ZC5/1=60°,

ZEGC=NCAB+ZCBA-ZE=4^+6。-3。=7竽，

4FGD=180°-4FGC=180°-75°=105°,

/.NEFD=/FGD+ND=105°+2(F=1253,

故答案为：125。.

15.当三角形中的一个内角a是另一个内角〃的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其

中。称为“半角”，如果一个半角三角形的“半角”为18。，那么这个“半角三角形”的最大内角

是.

【答案】126。/126度

【分析】本题考查三角形的内角和定理.根据半角三角形的定义，求出另一个角的度数，再

根据内角和定理求出最大的角的度数即可.

【详解】解；由题意，得a=18。，

・"=2a=36。,

・••最大角的度数为：180。-18-36。=126。；

故答案为：126。.

16.如图，AD〃BC，ND=N4BC,点、E是边DC上一点、,连接力E交8C的延长线于点〃,点F是

边力B上一点.使得NFBE=NFEB,作/尸E”的角平分线EG交8”于点G,若NDEH=110。,则

【答案】35。/35度

【分析】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是掌握有.关定

理、定义，题目难度较大.2〃BC,/D=4BC,贝IJ，姐〃。。，贝I」

ZAEF=180°-Z.FEG-Z.GEH=180°-2ZGEH,在△力£77中，70°+l^FEB+180°-Z^GEH=180°,故

NGEH-/FEB=35°，即可等量代换求解.

【详解】解：Y/FBEM/FEB,4FE=NFBE+NFEB,

/AFE=2/FEB,

•.2年H的角平分线为EG,

/.乙GEH=zLFEG,

vAD||BC,

.•Z8C+NA4£>=180。,

而ZO=48C,

:"D+NBAD=180P,

:.AB//CDf

NDEH=110。,

Z.CEH=ZFAE=70°,

•/^AEF=180°-NFEG-ZGEH=180°-2NGEH,

70°+2Z.FEB+1800-2ZGEH=180c,

£GEH-ZFEB=35°,

4BEG=ZF£G-/FEB=NGEH-NFEB=35°.

故答案为：35。

三、解答题(本大题共11小题,17,18每小题7分,19,20,21,22,23,24,25每小题8分,26,27

每小题9分，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假

⑴如果x是实数，则犬+1>0；

⑵相等的两个角是对顶角；

⑶今天有雨吗？

【答案】(1)是命题，且是真命题

(2)是命题，是假命题

(3)不是命题

【分析】(1)根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之

为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

(2)根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题,

要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

（3）根据命题的定义即可判断是否为命题.

【详解】（1）解：是命题，且是真命题，理由如下:

.八是实数，

/.x2>0,

/.X24-1>0,

'''是命题，且是真命题.

（2）解：是命题，是假命题，理由如下，如图：

Zl=Z2.

N1和Z2不是对顶角,

・•・相等的两个角不一定是对顶角，

・二是命题，是假命题.

（3）解：是问题，不是命题，理由如下：

••・命题的要求是有条件和有结果，

一•是问题，不是命题.

【点睛】本题考查命题的定义，正确记忆命题的定义是解题关键.

18.命题：直角三角形的两锐角互余.

⑴将此命题写成“如果…，那么；

⑵请判断此命题的真假.若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、

求证和证明过程.

【答案】（1）如果一个二角形是直角二角形，那么它的两个锐角互余

⑵该命题是真命题，详见解析

【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：

（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；

（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明.

【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；

故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余

（2）解：该命题是真命题

已知：如图，在ABC中，DB=90°

求证：ZJ+ZC=90°

证明:v//++/C=180°

AZJ+ZC=180°-Z5

•.•/8=90。

/J4-ZC=180°-90O=90°.

19.已知命题“若〃是自然数，则代数式（3〃+1）（3〃+2）的值是3的倍数

⑴写出命题的条件和结论；

（2）判断这个命题是真命题还是假命题，并说明理由.

【答案】（1）命题的条件是〃是自然数，结论是代数式（3〃+1）（3〃+2）的值是3的倍数

⑵是假命题；理由见解析

【分析】（1）根据命题的组成可得结论；

（2）先计算整式的乘法运兑，再利用因式分解的含义把原式化为3（3〃2+3〃+1）-1,从而可判

断.

【详解】（1）解：命题的条件是〃是自然数，结论是代数式。〃+1）（3〃+2）的值是3的倍数；

（2）是假命题；

理由：・・・（3〃+1）（3〃+2）

=9〃'+6〃+3〃+2

=9"+9〃+3-1

=3（3H2+3W+1）-1,

又〃为自然数，

・・.3（3〃2+3〃+1）-1不为3的倍数.

所以是假命题.

【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，因式分解的应用，命题的概念，真假命题的判断,

理解命题的条件与结论的含义是解本题的关键.

20.如图所示，在小8。中，己知力。是角平分线，N8=62。，ZC=58°.

⑴求4/D的度数；

⑵若DE工AC点、E,求N/OE的度数.

【答案】⑴N版。=30。

(2)60°

【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和以及角

平分线的定义是解题的关键.

(1)根据三角形内角和定理得出/8月。=60。，再由角平分线求解即可；

(2)根据三角形外角的定义确定4OC=92。，再由直角三角形确定NEQC=90。-NC=32。,即

可求解.

【详解】(1)解；・・•在中，々=62。，ZC=58°,

AZ.BAC=180°--ZC=60°,

・..力。是的角平分线

(2)

•・•在△48。中，N8=62。，44)=30。

ZADC=N8+/BAD=92°

・••在RaOEC中，ZC=58°

ZE£>C=90o-ZC=32°

.・・ZADE=ZADC-4EDC=60°.

21.如图，点。，瓦厂分别是三角形48C的边相,XC,8C逅上的点，有下列三个条件:

A

①DE〃BC、@DF//AC-@Z1=ZC.

⑴若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成

的命题；

(2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明.

【答案】(1)①如果。尸〃AC,那么/1=NC；②如果。石〃8C,/1=NC,那么。尸〃AC；

③如果。尸〃4C,Z1=ZC,那么。石〃8c.

⑵三个命题都是真命题，证明见解析.

【分析】

本题考查了平行线的判定与性质，命题的定义，掌握相关知识是解题的关键.

(1)根据命题的定义：两条件一结论组成命题，可得答案；

(2)根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③.

【详解】(1)解：一共能组成三个命题：

①如果Z)E〃8C,DF//ACf那么N1=NC；

②如果OE〃8C,Z1=ZC,那么。尸〃力C；

③如果Z1=ZC,那么DE"BC.

(2)解：以上三个命题都是真命题，

如果。尸〃/C,Z1=ZC,那么。石〃4C,

证明：•：DF//ACt

/.ZDFC+ZC=180°,

*/Z1=ZC,

.,.ZDFC+Zl=180°,

：.DE//BC.

22.已知：如图，4。为△力4c的角平分线，过8C延长线上的任意一点〃作力。的垂线，分别

交AB、AD、AC于E、F、G三点.

A

(1)如果/4C8=70。，//〃C=40。，贝lJ/"=；

(2)求证：N〃=；(N4CR-g,

【答案】⑴15。；

(2)证明见详解；

【分析】

本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线、高线性质：

(1)根据408=70。，430=40。得至ljN比1。=180。一々-/力€8=70。，根据角平分线得到

ZDJC=1Z^C=35%根据内角和求出/力QC,结合内外角关系即可得到答案；

(2)根据三角形内角和用得至IJN历1C=18()。一NB—N/C3,根据角平分线得至IJND4C=；/84C,

根据内角和求出/力。。，结合内外角关系即可得到答案；

【详解】(1)

解：NACB=70°,NABC=40°,

NBAC=180。-N4-NACB=70°,

・・・X。为AJBC的角平分线，

NDAC=、NBAC=35°,

2

：.ZADC=\80°-ADAC-NACB=750,

*：ADLEH,

：.ZADC+NH=ZAFH=90°,

N"=ZAFH-ZADC=90°-75°=15°,

故答案为：15。；

(2)证明：VZBAC+AB+ZACB=\^t

：.ZBAC=180°-Z5-NACB,

4)为“8C的角平分线，

ADAC=-ZBAC=90°--ZB--ZACB,

222

•.*ZADCINDAC-IZ.ACB=\80°,

ZADC=\80°-(90°-1zi?-1zjCB)-ZACB=90°+ZACB,

/ADC+NH=Z.AFH=90°,

NH=AAFH-/ADC=90°-(90°+g—；NXC8)=g/力C8—；N8,

23.己知N'/SC的两边与N。瓦•的两边分别垂直，即月台,力七，BC工EF,垂足分别为点河和N,

试探究：

⑵如图2,写出N4与NE的关系，并说明理由；

⑶根据上述探究，请归纳概括出一个真命题.

【答案】（1）/8+"=180。

⑵NB=NE

⑶如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.

【分析】

（1）根据垂直的定义，四边形内角和等于360。求解即可；

（2）根据垂直的定义，以及三角形内角和等于180。，求解即可；

（3）综合（1）（2）的结论，写出真命题.

【详解】（1）解：VABIDE,BC工EF,

：.NBME=BNE=90。

；・NB+NE=360°-90°-90°=l80°

故答案为：〃+4=180。

（2）解：,:ABIDE,BCLEF,

：./BME=BNE=90。

又丁4EGM=/BGN

/B=180°-90°-4BGN=1800-90。-/ECM=ZE

故答案为：/B=NE

(3)解：真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.

【点睛】本题考查了真假命题，垂直的高一，对顶角相等，四边形内角和的性质，熟练掌握

相关性质是解题的关键.

24.已知中，8E平分点P在射线8E上.

①②③

(1)如图①，若44c=46。，CP//ABf求/4PC的度数；

(2)如图②，若力。=110。，/PBC=NPCA,求/8PC的度数：

⑶如图③，若4BC=46。，4cB=34。，直线CP与ABC的一条边垂直，则N8PC的度数.

【答案】(1)23。

(211100

(3)113。，33°,67°

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌

握三题形内角和等于180。，是解题的关键.

(1)根据角平分线的定义与平行线的性质，即可求解；

(2)根据三角形内角和定理，可得4=N8PC,进而即可求解；

(3)分3种情况：①当C尸18C时，②当CPJ.4C时，③当CP_L48时，分别画出图形，即可

求解.

【详解】(1)解:'/BE平分/ABC,ZABC=46。,

ZABP=-/-ABC=1x46。=23°,

22

•:CP"AB、

NBPC=/ABP=230；

(2)解：•.•"£平分/48。，NPBC=NPCA,

：./ABP=/PBC=/PCA

中，ZA+ZABP+ZAOB=180°,

△PCO中，NBPC+NPCA+ZPOC=180°,

♦ABP=NPCA,ZAOB=ZPOC,

JZA=ZBPC=1\O°

gpz5PC=llO0；

(3)

当CPJLAB,Zi5PC=90o+23o=113o

故答案为：113。，33。，67°.

25.已知N/8。的两边与/。配的两边平行，即8月〃EO,BC//EF.

(1)如图①，若N8=40。，贝°；

(2)如图②，猜想与NE有怎样的关系？试说明理由;

(3)如图③，猜想,〃与/£有怎样的关系？试说明理由;

（4）根据以上情况，请归纳概括山一个真命题.

【答案】（1）40

（2iZi?=ZE,理由见解析

⑶N8+NE=180。，理由见解析

（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补

【分析】（1）根据平行线的性质得出N8=NOGC,4DGC=4E,即可得出答案；

（2）根据平行线的性质得出/6=/KGC,zlEGC=NE，即可得出答案；

（3）根据平行线的性质得出N5=NOGC,4GE+NE=180。，即可得出答案;

（4）根据结果得出即可.

【详解】（1）解：*：BA〃ED,BC〃EF,NB=40。，

:・NB=NDGC,NDGC=NE,

：.NE=N8=40。，

故答案为：40；

（2）N8=N£,

理由：,:BA〃ED,BC//EF,

:./B=/EGC,4EGC=/E,

：.NB=NE；

（3）N8+NE=180。，

理由：BA//ED,BC//EF,

：./B=ZDGC,NBGE+N£=180°,

NDGC=ABGE,

ZB+ZE=180°；

（4）解：通过上面（1）、（2）、（3）,可得到的真命题是：如果一个角的两边分别平行于另一

个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补.

【点睛】本题考查命题与定理，掌握平行线的性质是解题的关键.

26.如果三角形的两个内角。与夕满足2。+/=90。，那么我们称这样的三角形为“准直角三角

形

图1图2

(1)关于“准直角三角形"，下列说法；

①在力8c中，若4=90。，AB=70°,ZC=20°,则』8c是准直角三角形；

②若是“准直角三角形”，2090°,4=60。，则N8=15。；

③“准直角三角形”一定是针角三角形.

其中，正确的是.(填写所有正确结论的序号)

(2)如图①，在RtZX/BC中，=90°,8。是/AC的允平分线.求证：△川?。是“准直角三

角形

(3)如图②，B、。为直线/上两点，点A在直线/外，且/"C=80。.若P是/上一点，且18P是

“准直角三角形”，请直接写出//P8的度数.

【答案】(1)②③

⑵见解析

(3)70。或10。或95。或5。

【分析】

本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角的和差计算：

(1)根据“准直角三角形''的定义即可判断；

(2)证明2480+4=90°即可;

(3)根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题.

【详解】(1)

解：①•.•24+/8=110。，

48c不是“准直角三角形”,

二•①不正确；

②:ZC>90°,

+2/8=90。

.••②正确；

③三角形为“准直角三角形”，则它的两个内角。与〃满足2。+£=90。，

.•.a+£=90。-%设它的第三个内角为人

7=180。-(a+1)=180。-(90。-a)=90。+a,

“一定是针角，

「准直角三角形”一定是针角三角形，

③正确.

故答案为；②®.

(2)

证明：如图1,vZJC5=90°,

.•Z8C+4=90。，

■.•80是小8c的角平分线，

:"ABC=2NABD,

...2/n8£>+//=90°,

.”8。是“准直角三角形”.

(3)

解:如图,若点如在点8右侧,△4如是“准直角三角形”，且2/3明+的6=90。,

♦;4BAP,+ZAP1B=Z.ABC=80°,

:"BAP1+80°=94,

/.^BAP}=10°,

/.乙ARB=乙ABC-4BAR=70°；

若点2在点4右侧，△力他是“准直角三角形“，且2/伤8+/助打=90。,

•/乙AP避+/BAP?=NABC=80°,

.•.乙4鸟8+80。=90°,

:"AP,B=10°；

若点A在点8右侧，和是，准直角三角形“，且24"+4以=90。，

•••/ABP3=ZABC=8。,

.•.2/8/14+8()。=90。，

/BAPy=5°,

o

:"AP、B=180°-ZABPy-/历1A=18(r-80°-5°=95；

若点鸟在点8右侧，△力明是,'准直角三角形”，且2乙代8+乙4m=90。,

•/乙ABP&=NABC=80°,

.•.2428+8。=90。,

;"ARB=5°,

综上所述，/加N的度数为70。或10。或95。或5。.

27.在学习完七年级上册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣,

张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能.

⑴观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三

个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和等于180。.

问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确.

聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程.

证明：如图1所示，/B4C,NB,/C是的三个内角，过