2026高考数学复习（湘教版）教材拓展6 平面向量与三角形“四心”

教材拓展6平面向量与三角形“四心”

在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整

合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的

既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养

了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.

题型一平面向量与三角形的重心

更⑪已知点O为AABC所在平面内一点，若动点P满足而=耐+从而+

前）（420）,则动点P的轨迹一定经过△43C的（）

A.外心B.内心

C.垂心D.重心

答案：D

解析：因为动点户满足加=耐+2（荏+冠）（220）,所以而=2（荏+前），取8C

中点。（图略），则而=2/方，则动点。的轨迹一定过△力8C的重心.故选D.

-规律方法・

设。是AABC的重心,P为平面内任意一点,则有以下结论:①耐+而+而=0；

②而却同+而十方）；③动点P满足而=4颂+AC）S&OP=OA+/.（AB+照），&[0,

+oo）,则动点P经过三角形的重心.

对点练1.（2025•陕西渭南期末）如图所示，△43C中G为重心,P。过G点,布=掰荏

，AQ=nAC,则壮________.

inn--------

答案：3

解析:设四”近见根据题意，而=1前=1@荏+g启）f邛；因为和=〃?被

AQ=nAC,P,G,。三点共线，则存在；，使得可=2万，即互■而成刀■明,

即nh-ma=X（^a4--ma）=Q-加卜*所以］43整理得

（『，

3mn=m+n,所以Li=3.

mn

题型二平面向量与三角形的垂心

典例❷已知。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个动点，点P

满足而=画+乂肃+肃），则动点P的轨迹一定通过△力的（）

A.重心B.外心

C.垂心D.内心

答案:C

解析：A-成吒器+孺—

4P=4£：S8।/s）

所以近万=2（匣丽+处市）

\\AB\cosB\AC\cosCj

（丽丽|cos（R-B）।回国cosQ

\\AB\cosB|JC|cosC/

=2（■国|+］丽尸0,所以阮，万，所以动点尸在BC的高线上，动点。的轨迹一

定通过A48C的垂心.故选C.

-规律方法・

设。是。的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：

①U7•而二布・沃=瓦・刀；®\OA\2+\^\2=\OB\2+\^\2=\OC\2+\AB\2；③动点。满

足通=4爵+熹）或诃=画+从肃+蒜），&R，则动点「经过三角

形的垂心.

对点练2.⑴。是△48C所在平面上一点,若瓦丽=丽・丽=正•丽,则P是A4BC

的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

(2)已知△/8C的垂心为点。面积为15,且418c=45。，则前尻=；若

贝！］网=.

答案：(1)D⑵305

解析：(1)由丽・丽=丽•无，得丽•丽-前同=0,即丽•(丽-丽)=0,即而a=0,

贝！1P3_LC4同理可证以18C,PCLAB,所以。为A/iBC的垂心'.故选D.

(2)如图，/“是aXBC的BC边上的高，贝!J而证=0；设而=7万7,因为乙48c=45。,

面积为15,所以三明国而45。=15,即

忸了||近|=30&；BDBC=(BA+AD\BC=(BA+AAH)BC=BABC=

|瓦矶府|cos45。=30.由第一空可知前阮=30,所以

前♦沃=6瓦？+［前)就三瓦?由£前2=30,所以前2=45,由|瓦研配|=30匹

可得忸H=2«U,即瓦*=40.因为前W瓦?《说，所以

BD2=^BA2-^BC2-^10+5+10=25,所以|而|=5.

1✓O

题型三平面向量与三角形的内心

典例❷在ZUBC中，I荏1=3,I而1=2,AD=iAB-^AC,则直线力。通过A43c

的)

A.重心B.外心

C.垂心D.内心

答案：D

解析：由题知，I|福W|河M.设荏WAB,而3AC.则|福=|丽.因为而W

AB-^AC=AE^AF,所以/。平分即/。平分4阳C,所以直线力。通过

△J8C的内心.故选D.

学生用书■第165页

・规律方法・

设。是△48C的内心，尸为平面内任意一点，则有以下结论：

®\AB\dC+\BC\OA+\CA\OB=0（^aOA^bOB^cOC=^,其中%b,c分另!J是△18。

的三边8GAC.48的长）；②动点。满足丽今（篙喘）或而=瓦稔•《爵+1），

加[0,+8）,则动点尸经过三角形的内心.

对点练3.⑴若及其内一点。满足关系式:SBORCOA+S^OAC0B+S^OAB,0C=0,

即为经典的“奔驰定理”若ZU8C的三边为明b,c,有a而+c•玩=0,

则。为）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

（2）在△48C中，AB=5,AC=6,cosA=^,。是A48C的内心，若OP=xOB+yOC,

其中X,ye[0z1],则动点尸的轨迹所覆盖图形的面积为（）

A10V6c14n

A.——B.--

33

C.4>/3D.6V2

答案:（1）B（2）B

解析：（1）因为丽=耐+而，OC=dA+AC,a^+hOB+c:OC=aOA+h（pA+

福）+c（65+福=（a+b+c）•函+〃•荏+c充=0,所以加^^工（年+牛），因为弓

,牛分别是万，前方向上的单位向量，所以向量曾平分4B力C即力。平分

bC0

乙BAC,同理40平分ZJ8C,所以。为△48。的内心故选B.

（2）根据向量加法的平行四边形法则可知，动点尸的轨迹是以08,。。为邻边的

平行四边形及其内部，其面积为△4OC面积的2倍在&44。中，设内角4B,

。所对的边分别为明b,c,由余弦定理*="+/_2〃ccos/,得〃=7.设△/BC

的内切圆的半径为乙则/csin/JS+b+c）,,解得尸孚，所以

5.W>"广^7乂孚=陪故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2s△心手.故

选B.

题型四平面向量与三角形的外心

典例E］设P是44BC所在平面内一点，若丽•（而+85）=2丽而且丽2=前2_

WCAP,则点尸是△为8。的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

答案:A

解析:由方•（而+CA）=2ABCP^^AB^（CB+CA-2而）=0,即四［（而-CP）-（CA

-丽）］=0,所以而•（而+刀）=0,（丽-西•（而+丽=0,\PB\=\PA\.^AB2=AC2

・2瓦•而，得（而+乃•（前・尼）=-2瓦•丽，即丽•（荏+元）=2而•而，同理

可得，两|=|府.所以|西=|而|=|耳，所以点。是△48。的外心.故选A.

・规律方法・

设。是△/灰:的外心，则有以下结论：①|而|=|而H沆1=0不与石2=灰2；

②画+函•而=（而+OCyBC=（OA+~OC）♦格0；③若

（OA+OB）AB=（OB+OC）BC=（OC+^4）C4=0,则O是△NBC的外心.

对点练4.（1）已知点G是A4BC内任意一点，若点D是想BC的底边BC的中点,

^^GDGB=GDGC,则点G可能通过△"（?的（填：重心、内心、垂心

或外心）.

（2）在中，AC=2>/7,。是△"C的外心，M为5c的中点，ABAO^,N

是直线OM上异于M、O的任意一点，则而尻=（）

A.3B.6

C.7D.9

答案：⑴外心（2）B

解析：（1）由而•旗=而觉=而赤-GDGC=O^GD（GB-元）=0=而标=0,所

以点G可能通过的外心.

（2）因为。是△ABC的外心，”为BC的中点，设力。的中点为。连接OD,所

LUOMA.BC,ODLAC,设而=/1丽，则丽阮=（彩+丽）前=同阮

+/.而阮=万阮=布•（雨+而）=而•或+而•冠=-AOAB-VAOAC,又。是

△H3C的外心，所以而就=|彩||旅|COSNCZO=（|Z研coszC4O）|公卜

||^C|2=ix（2V7）2=14,所以丽阮=-AdAB+AdAC=-8+14=6.故选B.

对点练5.（多选）（