2025年九年级中考数学二轮复习：圆的切线的证明与锐角三角函数（综合训练）含答案

2025年九年级中考二轮专题训练圆的切线的证明与锐角三角函数综合训练

1.如图，48为。。的直径，点。是。。上一点，点。是。。外一点，NBCD=/BAC,

连接。。交8C于点£

(1)求证：CO是。。的切线.

(2)若CE=O4,sin/84c=1，求tanNCE。的值.

2.如图，。。是△48C的外接圆，48是直径，ODLOC,连接4D,ZADO=ZBOC,AC

与。。相交于点£.

(1)求证：力。是00的切线:

1Q

(2)若tan/CMC=*,AD=求。。的半径.

3.如图，44是CO的直径，C,。都是GO上的点，40平分NC44,过点。作4C的垂线

交dC的延长线于点E,交力8的延长线于点尸.

(1)求证：属'是。。的切线；

(2)若力8=10,JC=6,求tan/ZMB的值.

4.如图，彳8为。。的直径，。是。。上一点，过点C的直线交力8的延长线于点作

AD±MC,垂足为Q,已知/C平分NM4。.

(1)求证：A/C是。。的切线；

(2)若AB=BM=4,求tanNA//C的值.

5.如图，△48。内接于0O,4c是。。的直径，过0/(上的点P作PO_L/C,交C8的延

长线于点。，交48于点从点厂为。上的中点，连接8K

（1）求证：8尸与相切;

4

(2)若4P=OP,cosA=AP=4,求8斤的长.

6.如图，已知为0。的直径，点C为。。外一点，，4C=8C,连接OC,是力C的垂

直平分线，交OC于点凡垂足为点，连接力。、CD,且NOC4=NOC4

（1）求证：力。是。。的切线;

(2)若CD=6,0F=4,求cosND4c的值.

7.如图，。0是△力8C的外接圆，力。是。。的直径，F是力。延长线上一点，连接CQ,

CF,且N。。产=NC4Q.

（1）求证：。尸是。。的切线;

C

(2)若cos8=1,力。=2,求尸。的长.

8.如图，RtZ\/4C中，ZJ5C=90°,以点C为圆心，C8为半径作。。，。为。。上一点,

连接力。、CD,AB=AD,AC平分NB/D.

(1)求证：力。是OC的切线；

(2)延长力。、8c相交于点E,若S«DC=2SMBC,求tanN34c的值.

9.如图，在。。中，力8是直径，。。是弦，ABVCD,垂足为P,

过点。的。。的切线与力4延长线交于点连接C£.

(I)求证：CE为。。的切线;

(2)若OO半径为3,CE=4,求sinNOEC.

10.如图，在Rt△力8c中，Z/iCZ?=90°,力。是N8/IC的平分线，以力。为直径的。。交

力8功干点E,连接CE,过点力作。尸〃。巴交力8千点凡

(1)求证：。尸是。。的切线；

(2)若80=5,sinZ5=1,求线段。尸的长.-

11.如图，△力8c内接于OO,是。。的直径，E为AB上一点,BE=BC,延长CE交

AD于点D,AD=AC.

(1)求证：力。是O。的切线;

(2)若tanN4CE=C，OE=3,求8C的长.

EO

C

12.如图，在RtaZCO中，ZJCD=90a，点。在CO上，作。。使。。与4。相切于

点、B,。0与CQ交于点过点。作。尸〃4C,交.40的延长线于点凡且NO48=N

F.

(1)求讦：力。是0O的切线:

(2)若OC=3,DE=2,求tan/尸的值.

13.如图，已知点C是以力4为直径的半圆JL一点，。是/心延长线上一点，过点。作

的垂线交力。的延长线于点E,连结C。，且CD=ED.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若tan/OC£=2,BD=1,求00的半径.

DBO

14.如图，是。0的直径，点厂在OO上，斤的平分线4E■交。。于点E,过点£

作交力尸的延长线于点。，延长。E、48相交于点C.

(1)求证：CO是。0的切线；

1

(2)若OO的半径为5,tan/£>lQ=矛求8c的长.

15.如图，△力8。内接于。0,。是。。的直径48的延长线上一点，NDCB=NOAC.过

圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.

(I)求证：CO是。。的切线；

(2)若CO=4,CE=6,求。。的半径及tan/OCB的值.

BD

A

C

E

参考答案

1.【解答】（1）证明：连接0C,

•・•月6是直径，

；・N4c8=90°,

.•・N4+N4=90°,

•：OC=OB,

；.NOCB=NOBC,

"：/BCD=/BAC,

••・NOC8+NOCA=9（r,

・・・OC_LCO,

・・・OC为。。的半径,

・・・。。是。。的切线:

（2）解：过点。作0"_L8C于点

TsinN区4。一器4

耳'

,可以假设5C=4hAB=5k,则/O=OC=CE=2.54,

YOHLBC,OC=OB

:,CH=BH=2k,

222

*：OA=OB,AC=AB-BCf

：.OH=^AC=^k,

:,EH=CE-CH=25k-2k=65k,

OH部

JanNCEg而=两=3.

2.【解答】（1）证明：・・・OQJ_OC,

/.ZCOD=90°,

：.ZBOC+ZAOD=\SO0-90°=90°,

又•「ZADO=ZBOC,

AZADO+ZAOD=W,

.•・NOW=I80°-90°=90°,

即OALAD,

'：OA是半径，

・・・4）是。。的切线；

（2）解：'：OA=OC,

：,ZOAC=ZOCA,

1np

tanZOAC=工=tanZOCA=况r.

・・15是直径,

AZJC5=90°=NOAD,即N0C8+N0C/=90°=ZOAC+ZDAE,

；.NDAE=NOCB,

又；NADO=/BOC,

：・NDEA=/B,

•：OB=OC,

工NOBC=N()CB,

:・NDAE=NDEA,

3

1.AD=DE=当

设半径为7则。E=1r,OD=1r+1,

在中，由勾友定理得，

AD1+OA2=OD2,

即(|)2+/=(1,+|)2,

解得/=2或/=0(舍去)，

即半径为2.

3.【解答】(1)证明：如图1,连接O。,

•・ZO平分NC48,

；・/OAD=/EAD.

*：OD=OA,

：.ZODA=ZOAD.

：.ZODA=ZEAD.

：.OD//AE.

•；NODF=NAEF=900且。在。。上，

•••比是。。的切线；

(2)连接8C,交OD于H,

•・・月6是OO的直径，

AZACB=9()°,

VJ^=1(),4c=6,

:・BC=V/1F2-AC2=V102-62=8,

•・•/£=NNC8=90°,

:.BC"EF,

二.乙OHB=4(JD卜’=90’,图2

：.OD1BC,

1

工CH=/C=4,

•：CH=BH,OA=OB,

1

：・OH=BC=3,

：.DH=5-3=2,

•••NE=N〃CE=NEQH=90°,

・•・四边形ECHO是矩形，

.\ED=CH=4,CE=DH=2,

・•・/[£=6+2=8,

•:/DAB=NDAE,

nr41

tanZZ)/lZ?=tanZF=而=Q=2'

4.【解答】(1)证明：

/.ZZ)=90°,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

••FC平分NM4。，

：.NDAC=NO4C,

：.ZOCA=ZDAC,

：・OC〃DA,

；・ND=NOCM=90°,

•；oc是O。的半径，

是。。的切线；

(2)解：-：AB=4t

：・OC=OB=%B=2,

：・OM=OB+BM=6,

在RtZXOCM中，MC=VOM2-OC2=V62-22=4\/2,

VZM=NOCM=/£>=90°,

:・AMCOs4MDA,

0cMo

=-=

DT

76

2

==一

A8,

W

⑦8

16

=3一

-Vz)=父

:,CD=MD-MC=W近,

在RtA/lCZ)中，tanZZ)JC=给=琛=孝

3

AtanZMAC=tanZDAC=*，

tanZMA。的值为亨.

5.【解答】(1)证明：连接08,

•・"C是GO的直径，

AZABC=90Q,

.\ZJ5D=I8O0-Nd8c=90°,

:点尸为。石的中点，

1

：.BF=EF=^DEt

：・4FEB=/FBE,

•・•NAEP=/FEB,

:・/FBE=/AEP,

yPD±AC,

:.NEPA=9U°,

AZA+ZAEP=90°,

，：OA=OB,

・•・NA=NOBA,

••・NOBA+/FBE=90°,

：.ZOBF=90°,

是OO的半径，

・・・8”与。。相切；

(2)解：在RtZX/lE尸中，cosJ=1,AP=4,

AP4

*.AE=

cosA-1"

:.PE=>JAE2—AP2=\/52-42=3,

•;AP=OP=4,

：.OA=OC=2AP=S,

：.PC=OPWC=\2,

VZJ+Z/1EP=9O°,ZJ+ZC=90",

；・NAEP=NC,

•:/APE=NDPC=90°,

:.4APEs丛DPC,

.竺—竺

••-，

DPPC

._4____3_

••-9

DP12

：,DP=\6,

[DE=DP-PE=\6-3=\3,

:.BF=aDE=孚

13

:・BF的长为？.

6.【解答】(1)证明：・・・/C=8C,点。为力〃的中点,

：.CO1AB.

丁。尸是力。的垂直平分线,

:・DC=DA,

：.ZDCA=ZDAC.

,：ZDCA=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.DA//OC,

：.DA1OA.

,：OA是。。的半径，

・・・彳。是。。的切线；

(2)解：在和△。尸E中,

(Z.DCA=Z-OCA

\CE=CE，

("ED=Z,CEF=90°

:.△CDE94CFE(ASA),

：.CD=CF=6,

：.CO=CF+OF=\0.

•・•力/是4C的垂直平分线，

：.CE=AE=^AC,

•；NCEF=NCO4=90°,NECF=/OCA,

:.ACEFSACOA,

•££_££

，，'CF='AC，

,2^£_10

=AC'

AJC=2V30,

在Rt^/lOC中，

../oOC，须

•cosN004==6，

：.cosZDAC=cosZOCA=蛰.

o

7.【解答】解：(1)连接OC,

•・Z。是。。的直径，

/.^ACD=90°,

：.ZADC+ZCAD=W,

又.：OC=OD,

・•・ZADC=ZOCD,

又，：NDCF=NCAD.

：.ZDCF+ZOCD=W,

即OCLFC,

・・・/。是。。的切线；

3

(2)•:NB=NADC,cos5=

/.cosZADC=I，

在RtZS，C。中，

3CD

•••cos//OC=曰=器，AD=2,

：.CD=AD*cosZADC=2x|=|,

：.AC=>JAD2-CD2=^22-(1)2=|,

CD3

•••_-，

AC4

":NFCD=/FAC,NF=NF,

:ZCDsXFAC,

*CDFCFD3

••———1

ACFAFC4

设户£)=3x,则尺?=4<，AF=3x+2,

又•：FC?=FD・FA,

即(4.r)2=3X(3X+2),

解得x=3(取正值)，

：.FD=3x=

8.【解答】(1)证明：・・7C平分/艮40,

，ZBAC=/DAC.

又・：AB=AD,AC=AC,

:./XBAgADAC(SAS),

AZADC=ZABC=90a,

:・CD1AD,

即力。是oc的切线；

(2)解：由(1)可知，/EDC=NABC=90°,

又NE=NE,

:•△EDCS^EBA.

.：S4EDC=2S”BC，且△加。丝△NG

:.S*EDC：S^EBA=1：2,

：.DC：BA=\：V2.

,:DC=CB,

:,CB：BA=1：V2.

/.tanZ^/iC=需=芋.

9.【解答】证明：3)连接OC,OD,

f：OC=OD,AB1CD,

：./COE=/DOE,

在△COf和△OO£中，

(OC=OD

\^COE=乙DOE,

(0E=OE

:•△COEeRDOE(5/15),

：・4OCE=4ODE,

二'DE是OO的切线，

：.ZODE=90U,

：・/OCE=90°,

•；oc是O。的半径，

；・CE为OO的切线；

(2)解：过。作。儿LCE于"，

由(1)知，NOCE=90°,

在Rt^OCE中，・・・CE=4,OC=3,

：・OE=y/OC2+CE2=V32+42=5,

■:ABLCD,

:S=%)C・CE=抄・OE，

••・3X4=5CP,

12

*：OC=OD,AB工CD,

:.CP=DP,

24

:.CD=2CP=g

在RtZsbE中，PE=-ICE2-CP2=•—(妁2考

•；CE,QE是CO的切线，

：.DE=CE=4,

,:SKDE=*E・DF=#D・PE,

：・4DF=争x蛤

96

君

在R公DEF中，sinZD£C=黑=罕=会・

10.【解答】解：（1）证明：・・・/1。是NA4C的平分线,

:・NBAD=NC4D.

：.ED=DC.

：,OD1EC.

■:DF//CE,

・・・OD工DF.

，。少是。。的切线.

(2)连接。E,如图,

*：ED=DC,

：,ED=DC.

•・7Q是。。的直径，

：.DE±AE.

：./BED=90°.

3DF

VsinZ5=I，sin/8=饴，BD=5,

:.DE=3.

：.BE=y/BD2-DE2=4,DC=DE=3.

/.BC=BD+CD=5+3=8.

,:NB=NB,NBED=NBCA=90°,

:ZEDsABCA.

.BEBDDE

'''BC='BA=~AC'

:・RA=2BD=\0,AC=2DE=6.

：.AE=AB-BE=\0-4=6.

•.•/力。k=90°,DEIA^',

MDEFsAAED.

.DEAE

,•而=奇

.sDE2323

-EF=^E=-6=2'

：,FD=ylEF2+DE2=J（1）24-32=1A/5.

11.【解答】解：（1）:川？是。。的直径，

，/4C8=90°，

艮|JN』CE+N8CE=90°,

•：AD=AC,BE=BC,

AZACE=ZD,ZBCE=ZBEC,

又,：NBEC=NAED,

AZJED+ZD=90°,

••・N。力£=90°,

即ADLAE,

,：OA是半径，

・・・4。是。。的切线；

（2）由tanN/CE=《=tanN。可设力WJAD=3a=AC,

•・・OE=3,

.\OA=a+39Z8=2a+6,

/•8£=a+3+3=4+6=BC9

在Rt448C中，由勾股定理得，

AB2=BC2+AC2,

即（2。+6）2=（a+6）2+（3。）2,

解得。1=（）（舍去）,能=2,

8。=〃+6=8.

12.【解答】（1）证明：

：,ZF=ZOAC,

•：NOAB=NF,

；.NOAB=NOAC,

：-OA是NA4C的角平分线，

:。。与力。相切于点8,

是。。的半径，0B工AD,

VZ/iCD=90°,

：.OCA.AC,

：・OB=OC,

工点C在点O上,

VOC1AC,

，力。是。。的切线：

（2）解：由（1）知：OB=OC=3,OC是。0的半径,

・・・CE是。。的直径，

：.CE=2OC=6,

：.CD=CE+DE=6+2=8,OD=OE+DE=OC+DE=3+2=5,

在RtZXOBQ中，由勾股定理得：BD=y/OD2-OB2=V52-32=4,

VZO5D=ZJCZ)=90o,NODB=/ADC,

•••△。。8s△4)。,

OBBD

'AC='CD'

.“OBCD3x8人

-AC=-BD-=-=^

•・・/尸=/。力。,

OC_3_1

tanF=tanZOAC=AC=6=2'

13.【解答】解：（1）连接。C,如图:

°：CD=DE,OC=OA,

；・/"E=/E,ZOCA=ZOAC,

'：EDYAD,

AZJDE=90°,NO4C+NE=9()°,

：.ZOCA+ZDCE=W,

：,ZDCO=90°,

.,.OC1CD,

DB

••・C。是G）O的切线;

(2)连接8C,如图：

・：CD=DE、

r.ZDCE=ZE,E

VtanZDC£=2,

:.tan£=2,

EDLAD,

AD

RtAEDJ中，—=2,

ED

设OO的半径为X,则04=0〃=x,

■:BD=\,

：,AD=2x+\,

：.ED=x+^=CD,

•••CO是。。的切线，

:.CD^BDYD,

I.2

:.(x+亍)2=IX(2A+I),解得》=亍或工=!(舍去),

3

・・・OO的半径为不

14•【解答】(1)证明：连接OE,

'：OA=