机械设计基础（3D版）第7章 齿轮机构 参考答案

第7章齿轮机构

7-1一对正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，已知其齿数比

〃=2,模数帆=2.5mm,中心距〃=120mm,试分别求出两轮的齿数z、分度圆

直径"、齿顶圆直径4、基圆直径小、齿距P、齿顶高K、齿根高叫。

解：

已知：齿数比〃=2,模数"?=2.5mm,中心距4=120mm,正常齿制〃：=1,

c*=0.25,压力角a=20。

由中心距公式4=:(Z]+Z2)得：

2.5

120=—(z]+z2)=Z,-Z2=96

又〃=匕=2,解得Z]=32,Z=64

zi2O

(1)分度圆直径：

d\=mz]=2.5x32=80mm,〃2=2.5'64=160mm

(2)齿顶高ha=h*/w=2.5mm,

(2)齿顶圆直径：

4]=1[+2幻=80+5=85mm,42=〃2+2%=160+5=165mm

(4)基圆直径(cos20°=0.9397)：

dbi=d|Cosa=80x().9397=75.176mm,

42=160x0.9397=150.352mm

⑸齿距：

p=?r〃z=3.1416x2.5=7.854mm

(6)齿根高+c*刖=1.25x2.5=3.125mm。

7・2一对正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮，正确安装。已知中心距

〃=100mm,小齿轮1的顶圆直径"a】=88mm,齿数5=20,计算两轮的分度

圆、齿根圆、基圆直径。若实际啮合线段丽=16mm,判断该传动是否连

续？

解:

己知：中心距a=100mm,小齿轮41=88mm,Z]=20,正常齿制。

由%=〃3+26；)得：

88=〃7(20+2)=〃z=4mm

由中心距〃=g(z]+z2)得：

4

100=-(20+Z2)=Z2=30

(1)分度圆直径：

=fnz=x=

J]=/wz1=4x20=80mm,d22^^120mm

(2)齿根高〃产1.25x4=5mm,

⑶齿根圆直径：

=d]-2/?f=80-10=70mm,120-10=110mm

(4)基圆直径：

"bi=小xcosa=80x0.9397=75.176mm,

公2=心乂必以=120x0.9397=112.764mm

(5)实际啮合线段8182=16mm,基圆齿距为=兀777cosa=m<4x0.9397=11.808mm,

重合度：

B$216

£=----W.355>1

Pb11.808

故该传动连续。

7・3一对正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮机构，已知：模数

nt=4mm,压力角a=20。，主动轮齿数幻=17,从动轮齿数改=30。试：

(1)分别求出两轮的分度圆直径"、齿顶圆直径4、齿根圆直径幺、基圆直径

外、齿距P、传动比小、顶隙c。(注：cos20°=0.9397)

(2)求标准中心距小若两齿轮安装的实际中心距略大于标准中心距，分析两

齿轮分度圆直径、节圆直径、啮合角、传动比、顶隙是否会有变化？如何变

化？

(3)分析该齿轮传动能否保证连续传动？

解：

已知：m=4mm,a=20,zI=17,z2=30f正常齿制。

(1)分度圆直径：

1=4x17=68mm,12=〃7Z2=4x30=120mm

齿顶圆直径：

"ai=4+2儿=68+2x4=76mm,

@=12+2/%=120+8=128mm

齿根圆直径：

41=4]—2-f=68-2K5=58min,

df2=d2-2hf=120-10=110mm

基圆直径：

dg=dixco5a=68><0.9397=63.8996mm,

120x0.9397=1[2.764mm

齿距：

夕=7rx4=12.566mm

传动比：

z30

小=2*于1.7647

Z\1/

顶隙:

c=c*“1=0.25x4=1mm

(2)标准中心距:

m4

a=--(z\+22)=-x47=94mm

实际中心距略大于标准中心距时：

分度圆直径不变(齿轮固有尺寸)。

节圆直径增大」产念L念。

啮合角增大：cosa=cosa

a0

传动比不变(只与齿数有关)。

顶隙增大。

(3)计算重合度。齿顶圆压力角：

3bi\/63.8996\。

aa]-arccos(—J-arccos(———J七32.86,tana31-0.646

,112.764、。

=

aa2^ccos———J~28.24,/a77aa2~0.537

tan200=0.364

重合度:

Z\(tana\-tana)+z2(tcina^-tana)17x(0.646-0.364)+30x(0.537-0.364)4“94+5.19

----------z----------;-----------z---------=------------------------------------------------————=1.589>1

27r------------------------27r----------------------------6.283

故能保证连续传动。

7-4

图7・52题7・4图

如图7・52所示为万能铳床升降台进给系统中的渐开线齿轮传动，已知

NI=20,Z2=48,/〃i=/H2=2mm,q=18,〃=36,，〃3=〃i4=2.5mm,。=20°,6：=l,c*=0.25

o若两对齿轮均采用标准齿轮，当安装两对齿轮的轴间距离。'等于齿轮1、2

的标准中心距时，试求：

(1)求齿轮1、2的分度圆直径力、〃2、节圆直径"八d2\顶隙c、啮合

角炉、传动比小各为多少？是否为无侧隙啮合?

（2）齿轮3、4的分度圆直径小、&是否分别等于其节圆直径"3’、d4’?

顶隙。是否为标准顶隙？啮合角炉是否等于压力角。？传动比是否等于Z4/Z3?是

否为无侧隙啮合？

（3）分析该齿轮传动能否保证连续传动？

（4）分析两个齿轮的齿面接触应力、齿根弯曲应力是否分别相等？如不

相等，哪一个齿轮的应力大？

解：

（1）齿轮1、2的参数

齿轮1、2的标准中心距：

m2

a12=.QI+Z2）=爹-（20+48）=68mm

故实际中心距a=68mm,为标准安装。

分度圆直径：

4="2]=2x20=40mm,"2=〃?Z2=2x48=96mm

节圆直径（等于分度圆直径）：

ff

d、=d\=40mm,4=4=96mm

顶隙：

c=c*"2=0.25x2=0.5mm

啮合角：

a=a=20

传动比

由于是标准安装，为无侧隙啮合。

（2）齿轮3、4的参数

齿轮3、4的标准中心距：

m2.5

«34=y（z3+z4）=—x（8+36尸2.5x27=67.5mm

实际中心距〃'=68mm>a34,为非标准安装。

分度圆直径：

x

d3=〃zz3=2.5x18=45mm,dA=mz4=2.536=90mm

节圆直径：由a=r3+r4且r3/r4=z3/z4=1/2,得

•,z-i18•

r,=a---=68x—=22.667mm,4=45.333mm

3Z3+Z4543

，36，

/-4=68x—=45.333mm,t/4=90.667mm

故分度圆直径不等于节圆直径。

顶隙：计算实际顶隙

91c

Aa=Aa"尸2.5mm,叫+。*)w=3.125mm

色

T+//=d22.5+2.5=25mm",

//<=45-3.125=41.875mm

c'=〃'—(73+〃f4尸68—(25+41.875)=1.125mm

标准顶隙为c-c*^-0.25x2.5-0.625mm,故实际顶隙大于标准顶隙。

啮合角：由acosd=a^cosa得

cam=xQ.9397=0.9328=a=21.1*a

a68

传动比：

.Z436

传动比不变，仍等于齿数比。

由于是非标准安装，存在侧隙，故不是无侧隙啮合。

（3）连续传动判断

分别计算两对齿轮的重合度。

齿轮1-2（标准安装）：

齿顶圆直径：d.d\=d\+2/7a=40+4=44mm,Ja2=96+4=100mm

x

基圆直径：JbI=67]Cosa=400.9397=37.588mm,

"b2=96x0.9397=90.211mm

齿顶圆压力角：

/37.588\

aa\=arccos（———j=31.3,tanaa产0.608

/90.211X

aa2=arccos（⑼J~25.6,/a//aa2~0.479

tana=tan20=0.364

重合度:

2](/4〃&1-/4〃1)+22”。〃小2一口〃。)20x(0.608—0.364)+48x(0.479-0.364)

松=------1---5T~~^=---------£---------

20x0.244+48x0.1154.88+5.5210.4

=-----------------=--------=-----~1.655>1

6.2836.2836.283

齿轮3-4(非标准安装,啮合角内21.1°,3后0.386)：

齿顶圆直径：43=45+5=50mm,6/a4=90+5=95mm

基圆直径：为345乂0.9397=42.287mm,44=90x0.9397=84.573mm

齿顶圆压力角：

/42.287\。

a^=arccos(———J=32.2,/rt/2aa3~O.63O

/84.573\

a^arccos(———J^7.1,tana^Q.512

重合度：

z3(tanaay-tana')+z4(tanaa4-tana)18x(0.630-0.386)+36x(0.512-0.386)

£34=2^=芨

18x0.244+36x0.1264.392+4.5368.928

=-----------------=-----------=-----~1.421>1

6.2836.2836.283

两对齿轮的重合度均大于1,故能保证连续传动。

(4)应力分析

齿面接触应力：对于每一对啮合的齿轮，在节点处齿面接触应力相等(由

赫兹公式，两齿轮材料相同，接触应力相同)，因此齿轮1与齿轮2的接触应

力相等，齿轮3与齿轮4的接触应力也相等。

齿根弯曲应力：弯曲应力与齿形系数有关，小齿轮齿数少，齿形系数大，

故弯曲应力大。因此：

对于齿轮1-2,齿轮1的齿根弯曲应力大于齿轮2。

对于齿轮3-4,齿轮3的齿根弯曲应力大于齿轮4。

7-5已知：外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮，？i=30,Z2=40,模数胆=20mm,

压力角a=20°,齿顶高系数优=1,顶隙系数c*=0.25。

试求：

(1)齿轮1的分度圆直径"、齿顶圆直径向、齿根圆直径小、基圆直径小、齿

距P、齿厚s、齿槽宽。；

(2)实际中心距〃'=702.5mm时，是否为无侧隙啮合？此时啮合角为多少、

两齿轮节圆直径d；、d；各为多少、顶隙c为多少、传动比i为多少？

解：

(1)齿轮1参数：

分度圆直径d\=niz)=20x30=600mm

齿顶高"?=20mm,齿顶圆直径</a।=J|+2/?a=600+40=640mm

齿根高/if-(/?a+c*)〃z=l.25x20=25mm,齿根圆直径41=4-2人尸600-50=550mm

0

基圆直径dhl=d}cosa=600xcos20-600x0.9396926=563.8156mm

齿品巨/；1=^7=^x20-62.8319mm

齿厚5|=p/2~31.4159mm,齿槽宽e1=s[=3L4159mm

x

(2)标准中心距a=^(Z]+z2)=Y70=700mm

实际中心距f/=702.5mm>6r,故为非标准安装。

啮合角。满足。cosa'=acosa，则

,a700

cosa=一cosa=——x0.9396926=0.99644x0.9396926^0.93626

a702.5

a=〃/rcos(0.93626户20.55

节圆直径：

，G702.5

dx=d\G=60()X,co=600x1.003571^602.1429mm

，a

t/2=^2-=800x1.003571-802.8571mm(^=20x40=800mm)

顶隙：齿顶圆半径,%1=41/2=32001111,齿根圆半径

/万=4/2—〃[=00-25=375mm,则

c=a-（，.ai+〃f2）=702.5-（320+375）=7.5mm

传动比，=Z2/Z]=40/30=4/3^1.3333,不变。

由于实际中心距大于标准中心距，齿轮存在侧隙，故不是无侧隙啮合。

7・6用齿条插刀展成加工标准渐开线圆柱齿轮，其基本参数为父=1,c*=0.25,

a=20°,w=4mm,刀具移动速度y刀=0.001〃

试求：（1）切制z=12的标准齿轮时，刀具分度线与轮坯中心的距离L应为多

少？被切齿轮转速〃应为多少？

（2）为避免发生根切，切制z=12的变位齿轮时，其最小变位系数应

为多少？此时的L应为多少？〃是否需要改变？

解：

（1）切制标准齿轮时，刀具分度线与轮坯中心的距离等于齿轮分度圆半

径，即

rnz4x12

L=—=---=24mm.

22

被切齿轮的转速由展成运动条件y刀=5确定，其中r=0.024m,y刀=0.001m/s,

则角速度

y刀o.ooi1

W=T=（H）24=24.必,

转速

605

??=——=—M«z/z-0.398r/min.

48兀4兀

（2）为避免根切，最小变位系数为

z

X加〃=1-

17，

其中子12,代入得

12

^/>»=1-^=1-0.70588=0.29411.

此时刀具分度线与轮坯中心的距离为

乙=亏+x而〃〃?=24+0.29411x4=25.19248mm~25.176mm.

由于分度圆半径未变，且加工时仍保持分度圆线速度等于刀具速度，因此被切

齿轮的转速〃不变。

7・7已知：一对标准直齿圆柱齿轮，模数帆=5,齿数Z[=25,Z2=60,查得大、小

齿轮的复合齿形系数KFS2=3.94,KFS1=4.17,而大、小齿轮的许用弯曲应力分

别为许用弯曲应力|a]F2=300MPa,|cr）F1=320MPa,且大齿轮弯曲应力

bF2=280MPa。求：

（1）哪一个齿轮弯曲应力大？

（2）两个齿轮的弯曲疲劳强度是否足够？

解：

（1）对于一对齿轮，弯曲应力之比等于齿形系数之比（模数、齿宽、转矩

相同）：

rFS14.17

<TF1=aF2-1=280x77r7k280x1.0584=296.35MPa

YFS23.94

小齿轮弯曲应力296.35MPa大于大齿轮的280MPa,故小齿轮弯曲应力大。

（2）强度比较：

小齿轮：”1=296.35〈0FI=320,安全;

大齿轮：+2=280<。卜2=300，安全。

因此两个齿轮的弯曲疲劳强度均足够。

7・8设计一单级闭式直齿圆柱齿轮传动已知：P[=7.5kW,〃]=1450r/min,

〃2=700r/min,两班制工作8年，齿轮相对轴承不对称布置，要求传动平稳、

结构紧凑，精度7级。

解：

1.选择材料及确定许用应力

采用软齿面齿轮传动，以便于加工且满足平稳性要求。小齿轮选用45钢，

调质处理，硬度取240HBW；大齿轮选用45钢，正火处理，硬度取200HBW。

由教材表7-9查得疲劳极限应力公式：

小齿轮(调质)：%imi=348.3+HBWi=348.3+240=588.3MPa

由imi=140+0.16HBW]=140+38.4=178.4MPa

大齿轮(正火)：^Hiim2=203.2+0.985HBW2=203.2+197=400.2MPa

*2=60+0.5HBW2=60+100=160MPa

取接触疲劳安全系数弯曲疲劳安全系数SF=1.25,得许用应力:

[frH1]=588.3MPa,[r7H2]=400.2MPa取闻]=400.2MPa

178.4160

M]=T5^=142.72MPa,[*2]=丁同=128MPa

2.选择齿数

传动比六4二詈戏.0714。为满足平稳性，取小齿轮齿数为=24,则大齿轮

〃2700

齿数z2nz产49.71,圆整取Z2=50。实际传动比：=*2.0833,误差在允许范围

内。

3.选择齿宽系数

齿轮相对于轴承不对称布置，且为软齿面，由表7・8取为=0.8。

4.计算小齿轮转矩

$(7.54

4=9.55x106_L=9.55xl()6x_^=49396.6N・mm^4.94xlO4Nmm

R|1450

5.确定载荷系数

由表7-7,载荷平稳，取K=l.l。

6.按齿面接触疲劳强度设计小齿轮分度圆直经

齿数比〃=卫=兰=2.0833。由式(7-19)：

J.坐2.也”2

代入：

/670\20

(砺)"74)2=2.803

K，(〃+l)=l.1x4.94x1()4x(2.0833+1)=54340x3.0833=167545

^du=0.8x2.0833=1.6666

M2.803x1675453469500

=V281700-65.6mm

1.66661.6666

7.确定模数

d\65.6

m=——=——=2.733mm

Z]24

按表7-2取第一系列标准模数加=3mm。则实际d1=wz1=3x24=72mm,大于所

需值，接触强度足够。

8.校核齿根弯曲疲劳强度

由表7-10查得复合齿形系数：Z|=24时rFS|=4.19；Z2=50时rFS2=3.940

按式（7-22）计算小齿轮弯曲应力：

2KT}rFS|2x1.1x4.94x1()4x4.19

昨

1530.8X242X33

455369

^1=1244L6=36-61

大齿轮弯曲应力:

rFS23.94

(7F2=CTFI=36.6lx——=34.42MPa

KFSI4.19

二者均小于许用应力[/J=142.72MPa,防；2]=128MPa,弯曲强度足够。

9.主要几何尺寸计算

分度圆直径：4=72mm,12="立2=3'50=150mm

齿宽：/?=y/d^=0.8x72=57.6mm,取大齿轮齿宽多=58mm,小齿轮齿宽

仇=3+5=63mm

齿顶高："a=〃；〃尸"3=3mm

齿根高：九=(〃；+c*>?=(1+0.25)x3=3.75mm

齿顶圆直径："ai=4+2〃a=72+6=78mm,6/a2=l50+6=156mm

齿根圆直径：6/门=为-2%产72-7.5=64.5mm,电=150-7.5=142.5mm

基圆直径：db\=d\cos20=72x0.9397=67.66mm,

Jb2=l50x0.9397=140.96mm

HnJUFJ72+150«««

中小可巨：a=—^=­；—=111mm

齿距：p=TT〃7=9.425mm

齿厚：s=?=4.712mm

10.圆周力与径向力

2x4.94x104

=1372.2N

72

Fr=Fttan20=1372.2x0.364=499.5N

11.精度等级及结陶设计

精度等级选7级（GB/T10095.1-2008）。齿轮结构设计根据具体尺寸按教

材第7.13节推荐形式（实心式或腹板式）进行。

7・9已知：由电动机驱动的一级斜齿轮减速器，已知两齿轮中心距a=230mm,

法面模数〃、=3mm,螺旋角0=13：Zi=25,益=125,小齿轮40Cr调质

260HBW,大齿轮45钢正火210HBW,小齿轮转速叫=975r/min,大齿轮转速

〃2=195r/min,三班制，载荷平稳，单向运转，工作10年。求试求该减速机的

最大功率。

解：

1.确定许用应力

根据教材表7-9,计算疲劳极限应力：

小齿轮（40Cr调质，260HBW）：

o-H|im|=366.7+1.33x260=712.5MPa

^FiimI=140+0.41X260=246.6MPa

大齿轮（45钢正火，210HBW）：

叫iiim2=203.2+0.985乂210=410.05MPa

=

<7Fiim260+0.5><210=165MPa

工作寿命：三班制，工作10年，每年按300天计，每天24小时，总工作

时间Z=10x300x24=72000hc应力循环次数：

M=60〃]片60x975x72000=4.212x109>5x107

M=60〃2-60x195x72000=8.424x108>5x107

均超过循环基数，取寿命系数为1。

取安全系数：接触疲劳加=1,弯曲疲劳SF=1.25。则许用应力：

[<TH]=min（<7IIIiml,aHliin2）=410.05MPa

246.6165

[分】]=T5T=197・28MPa,k]=—=132MPa

1•4JE12•4J

2.几何参数计算

己知〃7n=3mm,p=\3,cos13=0.974370

端面模数：

=3.079mm

cosp0.97437

分度圆直径:

=3.079x25=76.975mm,d2=〃itZ2=3.079x125=384.875mm

齿数比:

z2125

=-=—=5

3.齿宽及载荷系数

齿轮相对轴承布置未说明，按一般减速器对称布置考虑。软齿面斜齿轮,

由表7-8取齿宽系数的=1.0,则齿宽：

6=外4=76.975mm,取b=71mm

载荷平稳，由表7-7取载荷系数K=L1。

4.按齿面接触疲劳强度求最大功率

斜齿轮接触疲劳强度校核公式（7-33）：

〃+1)

0H=590

可得允许的转矩:

^(i/+l)\59O7

代入数据:

瑞=76.9753=456088mm3,=1x456088><5=2.28044x106

峪+1尸1.”6=6.6,联)[(翳卜4830

2.28044x106

Ti<———------x0.4830=345521x0.4830=166910N-mm

6.6

对应的功率:

八小166910x975

P1=9---.--5--5--x---1--0--67----9--.--5---5--x--1--0--67—

5.按齿根弯曲疲劳强度求最大功率

斜齿轮弯曲强度按当量齿数查复合齿形系数，并采用教材实例中的公式

（考虑螺旋角影响）：

\.6KT\YCOS2/3

VS士

收〃帽F]

其中当量齿数:

25z2

Zv「cos3夕—0974373=27.01,“京=135.04

由表7・10查得复合齿形系数（线性插值）：KFSI=4.215,YFS2=3.923

计算比值簿

ri4.215y3.923

FS=0.02137,FS2==0.02972

[aF1]197.28砧132

大齿轮比值较大,故按大齿轮计算允许转矩:

%，〃苗"F2〕

2

'-\.6KYFS2cosfi

代入数据:

ca/6=0.974372=0.9494

2.2275x1()6

=339800Nmm

-6.555-

对应功率:

339800x975

P\=9.55x106=34.69kW

6.确定最大功率

比较接触强度和弯曲强度所得功率，取较小值:

Pmax=17.04kW

7-10一对标准斜齿圆柱齿轮传动，已知传动比i=4.3,中心距a=170mm,小齿

轮齿数.=21,试确定法向模数神八螺旋角小小齿轮分度圆直径4和大齿轮

分度圆直径"2。

解：

1.根据传动比公式：片之

zi

变形得：Z2=i・Z]

代入数据：72=4.3x21=90.3

由于齿数必须为整数，取Z2=90（实际传动比，=日%.2857,与要求值4.3

误差极小，工程上可接受）。

2.推导中心距公式并初选标准法向模数

标准斜齿圆柱齿轮中心距公式：。=吟言

2co邓

变形得：勺=今

cospZ]+Z2

代入已知数据：^=^=777^3.0631

co邓21+90111

根据常用标准模数系列（2、2.5、3、4„.），试选g=3mm,则:

cosB==-^―七0.9794

产3.06313.0631

对应的螺旋角力加805（0.979499.6°,符合工程上螺旋角8°~20。的合

理范围，故确定〃?n=3mmo

3.精确计算螺旋角0

将/〃n=3mm代入中心距公式变形式：cosp=

代入数据：cos代号叽急也9794

因此：内wccus（0.9794户11.6

（或表示为1136）

4.计算分度圆直径力和办

斜齿圆柱齿轮分度圆直径公式：4=气

cosp

小齿轮分度圆直径由：d1=g=^a64.32mm

cosfi0.9794

大齿轮分度圆直径"2：^=;§=^^75.68mm

7-11如图7-53所示的两级标准斜齿圆柱齿轮减速器，已知：齿轮2的模数

/wn=3mm,齿数级=51,螺旋角6=15°,左旋；齿轮3的模数/nn=5mm,

Z3=17,试问：

（1）欲使中间轴H上两齿轮的轴向力方向相反，斜齿轮3的旋向如何？

（2）若I轴转向如图7・54所示，试标出齿轮2和齿轮3圆周力居、径向

力工■和轴向力入的方向。

（3）斜齿轮3的螺旋角。应取多大值才能使II轴的轴向力相互抵消？

解:

(1)斜齿轮3的旋向判断

要使中间轴n上两齿轮的轴向力方向相反，齿轮3的旋向应与齿轮2相同，即

左旋

(2)齿轮2和齿轮3各力的方向见图题7-11-1。

3

X

币

图题7-11・1齿轮各分力受力图

(3)螺旋角色的计算

要使II轴的轴向力相互抵消，需满足Fa2=Fa5o

斜齿轮轴向力公式: