2026高考数学复习：解三角形的实际应用（附答案）

解三角形的实际应用

（分值:63分）

（单选题每小题5分,填空题每小题5分）

基础巩固练

1.（2026•北京顺义期末）•艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行5（）nmile后到达海岛6,然

后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从4

出发到达C,那么这艘海轮需要航行的距离大约是（）（参考数据M丽=10.44）

A.62.4nmileB.85.0nmileC.104.4nmileD.116.（）nmile

2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察

站南偏东60°,则灯塔人在灯塔区的（）

A.北偏东10°B.北偏西1（）°

C南偏东10°D.南偏西10°

3.（2025•广东东莞期末）如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个观

测点。与。，在CQ两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30°,45°,并测得N

BOC=120°,CQ=30m,则塔高48为（）

D

（第3题图）

A.15V3mB.15mC.30V2mD.30m

4.（2026・湖北武汉期末）如图,甲船在4处,乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处,乙船以

每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西

60°方向行驶,当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（）

A

c

D

I

（第4题图）

A.2小时B.2小时C1小时D.：小时

616063

5.（2025•江苏镇江期中）如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为

15°,山脚。处的俯角为45',己知/MCN=60°,则山的高度知/7为（）

A.100V2mB.15（）mC.15（）V2mD.150V3m

6.（2026•河北十六校联考）某勘测队在野外作业时，需要测量A,8两地（视作质点）之间的距离,

勘测人员选定。地（视作质点），测得A,C两地之间的距离是2千米，同时测得NBAC=45°,/

ACB=60°,则两地之间的距离是千米.

7.（2026•河南南阳期中）如图所示,8,为山的两侧处于同一水平线上的三点,在山顶A处测

得点8£尸的俯角分别为60°,75°,45°,计划沿直线所开通引水隧洞，现已测得承上7,则

隧洞BE的长度为.（参考数据:cos750=早）

BE

综合提升练

8.（2026•江西萍乡期末）如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站P,。,在某时刻P站观

测到水位异常，将信号同时发给河流北面的A市与B市.已知A市收到信号的时间是B市的

5倍工8二30或皿1,8S/82。=，:。5/>4尸。=<,则观测站P至ljB市的距离为（）

A.5kmB.lOkmC.15kmD.25km

9.（2025•江苏南通模拟）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国的一部测量学著作.现根据刘

徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切

点），地面_L6c两点与点A在同一条直线.L,且在点A的同侧.若在6c处分别测得球体建筑

物的最大仰角为60°和2（）°,且8010（）m,则该球体建筑物的高度约为（）（cos

10°-0.985)

A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m

10.（2025•山东济南期中）如图是复建的某楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面。点看

楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进80米到达E点，此时看点。的仰角为45°,若BC=3AC,

则楼高AB约为米（通引.732,结果保留两位小数）

11.（13分）（2025•安徽合肥模拟）如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶，在4处测

得山顶P处的仰角NPAO=30°,该车以45km/h的速度匀速行驶4分钟后，到达8处，此时测

得仰角NPBO=45°,且cos/AO8=4.

⑴求此山的高OP;

（2）求该车从A到B行驶过程中观测点P的仰角正切值的最大值.

参考答案

解三角形的实际应用

1.C解析因为/48。=90。+30。=120。,且A8=50nmile,5C=70nmile.在△ABC中，由余弦定

理得AC2=AB2+BC2-2XABXBCXCOS120°=2500+4900+3500=1090(),即/^C=1()7109nmile,

所以4U104.4nmile.故选C.

/

2.B解析灯塔的相对位置如图所示，A

：4QT\

由已知得NACB=80o,NCAB=NCBA=50。,则仪=60。-50。二10。,即灯塔A在灯塔B的北偏西

10。.故选B.

3.D解析设由/4。8=30。,/4。8=45。,得BC=、"h,BD=h.又/BDC=120。,CD=30,由

余弦定理，得BC?二ZX'。序・2OBOBCOS/BOC揶3/ZJ900+〃2・2X30/?COS120。,解得仁30(负

值舍去).故选D.

4.A解析设行驶时间为，小时，甲、乙两船相距最近,设甲、乙两船距离为《其中20X0=2,

显然/£[0,2],则J2=(20-10r)2+(8r)2-2(20-10r)-8rcos60。=244涔560任400.令)，=244人560什400,

则该函数图象开口向上,对称轴为直线t-第=券，故当/二2小时时，解取得最小值，即d取

2X2446161

得最小值.故选A.

5.B解析根据题意,/”4。=15。,/。4。=45。,在RtAACE中,NC4E=45。4E=l00,则

AC=100&.又NCAM=/。。+/"4。=45。+15。=6()。,/用。％=60。,所以/川01=75。,/

CMA=45。.在△ACM中.=JM即变底=0-，解得CM=100V3.在RtAM/VC

sinz.CMAsmzC/lMsin45°sin600

中,MN=CMsinNMCN=l()O百xm二15().故选B.

6.3V2-V6解析因为/%。=45。,乙4。8=60。,所以4BC=75。.在△ABC中,由正弦定理可

得48AC，则AB=ACsinz.ACB=秘黑=（3&—遍）千米.

sin乙4cBsin£ABCsin^ABC

7.产解析在△AEF中，由题图可知/E4/=75。-45。=30。,//=45。.

由正弦定理可得凝=焉，解得心血E&.

在△A8£中，由题图知,NBAE=180°-60°-75°=45°,ZABE=60°,则由正弦定理可得=

sin45>

解得BE=^--AE=^1V2=—.

sin60csin60°W3

8.B解析因为cos/BPQ二沁sNAPQ喷则/APRNBPQ均为锐角，

所以sinZBPQ=y/1-cos2Z-BPQ=Jl-(^)2=|,sinZAPQ=y/1-cos2Z-APQ=2=

所以cosZa4PB=cos(ZAPQ-ZBPQ)=cosZAPQcosZBPQ+s\nZAPQsinZBPQ=—x-+

255

-x-=士由题意可知P4=5PB,由余弦定理可得AB2=PA2+PB2-2PAPBCOSZAPB^26PB2-

2555

\OPB2X-=\SPB2=1800,解得PB=10km.故选B.

s

9.B解析如图,设球的半径为RAB=-^—=y/3R,AC=-^~.

tan30°tanio°

一£

乐高一加二⑼，

100_100sinl0°_100sinl00_50sinl0。_50sinl00_25

tanio0'^coslO°-x/3sinlC02sin(30°-10°)sin2002sinlO°coslO°coslOQ,

2g彘”50.76,即该球体建筑物的高度约为50.76m.故选B.

10.81.46解析设AC=x,则8c=3,v,A8=4*在△A8Q中,由正弦定理得，一^=—^―,

s\nz.ADBsinz.B/lD

即BD=^^AB=4yf3x.

sin300

在△CBE中，由正弦定理得,一名=Tr，

sin乙BECsinzFCE

即8E=1^1-8C=3x,则。七二8。-3石=4通%-3工=(4遥-3)1=80,贝ij4工二4x^k81.46.

11.解⑴设OP=xkm,在△PAO中,

因为tan/PAO=],所以4。二1吃7=遍匕

AOtan300

同理，在△P8。中,80二」-