高考数学-解析几何 抛物线 （学生版）

抛物线

激活思维

1.（教材经典题改编）抛物线V=4x的焦点坐标是（）

A.（0,2）B.（0,1）

C.（2,0）D.（1,0）

2.（教材经典题改编）已知抛物线>=32上一点力的纵坐标为%则点力到

抛物线焦点的距离为（）

171

A.—B.—

1616

C.6D.5

3.（教材经典题改编）已知直线/过抛物线N=20Q>O）的焦点，且与抛物线

交于4B两点、,若线段43的长是12,4B的中点到x轴的距离是4,则此抛物

线的方程是（）

A.x2=\2yB.x2=8v

C.x2=6yD.x2=4y

4.（教材经典题改编）已知抛物线N=ay与直线y=2x—2交于N两点,

若MN中点的横坐标为3,则此抛物线的方程为.

5.（教材经典题改编）已知抛物线■3>0）上一点M（3,。与焦点户的距

离|/S=p,则点M到坐标原点。的距离为.

聚焦知识

1.抛物线的概念

平面内与一个定点厂和一条定直线/（/不经过点/）的距离的点的轨迹

叫做抛物线，点尸叫做抛物线的，直线/叫做抛物线的

龙考檄号

2.抛物线的标准方程与几何性质

y2=-2px(px2=-2py(p

y2=2px[p>Q)x2=2py(p>0)

标准方程>0)>0)

〃的几何意义：焦点/到准线/的距离

/V

图形o1大

对称轴X轴舶

年,0)尸仔,0)F[0'

焦点坐标5,f)4)

-_pP

准线方程xY——x=-y=

22~2'2

范围x20,y^RxWO,y£Ry20,x£R✓v^O,x£R

开口方向向右向左向上向下

题型突破思维拓展

目版11抛物线的定义及应用

例1(1)已知抛物线Cy2=2x的焦点为R准线为/,点尸在。上，过点

。作准线/的垂线，垂足为儿若/FPA」,则『用=()

3

A.1B.

C.D.2

(2)已知抛物线尸=8x的焦点为尸，P(x,川为抛物线上一动点，点4(6,3),

则力/周长的最小值为()

A.13B.14

C.15D.16

♦总结凝炼A

(1)“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线“，许多抛物线问题均可根据定

龙考檄号

义获得简捷、直观的求解.

（2）与抛物线有关的最值问题：将抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点

的距离互化，根据“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边“，使问

题得以解决.

变式1（1）（2025・吕梁三模）已知抛物线丁=匕2上的点。到其焦点的距离

4

为4,则点尸的坐标为.

（2）已知抛物线产=4工的焦点为尸，点M在抛物线上.若点。在圆（x—3＞+

"=1上，则也+的最小值为（）

A.5B.4

C.3D.2

目顿间抛物线的几何性质

视角1焦半径

例2—1（2025•新高考II卷）设抛物线Cf=2〃的＞0）的焦点为凡点n在

。上，过4作。的准线的垂线，垂足为&若直线8/的方程为y=—2x+2,则

|叫=（）

A.3B.4

C.5D.6

＜总结提炼＞

抛物线f=2*9＞0）上一点尸（项），泗）到焦点0）的距离|尸日=沏+$

也称为抛物线的焦半径.

变式2—1已知抛物线C：7=4人的焦点为凡准线为/,P是/上•点,

常考撤号

。是直线。尸与。的交点，若港=4而，则|尸。|=（）

32

A.-B.-

23

34

C.一D.-

43

视角2焦点弦

例2-2己知抛物线产=2pMp是正常数）上有两点力⑺，%），Bgg），

焦点、为F.给出下列条件：①X1X2=5；②yi、2=—p2；③。4・。8=—；//；④总

以上是“直线45经过焦点0'的充要条件的个数为（）

尸阂P

A.0B.1

C.2D.3

<总结提燎a

设力8是过抛物线产=2川。>0）的焦点尸的弦，力Qi,为），8a2,"），则：

（1）弦长|48|=占+.丫2+〃=’-（口为弦力8的倾斜角）.（2）以弦48为直径的圆与

sin2a

准线相切.（3）过焦点且垂直于对称轴的弦（通径）的长为2p,通径是过焦点最短

的弦.

变式2—2（2025•武汉2月调研）已知。为坐标原点，过抛物线产=2*仍

>0）焦点的直线与该抛物线交于力，6两点，若|<6|—12,且△046的面积为

4\/6,则p=（）

A.4B.3

C.27%D.3V2

微探究阿基米德三角形

龙考檄号

抛物线x2=2py在点M（x\,歹|）处的切线方程为xix=p（”+yi）;

抛物线f=2川在点M3，刃）处的切线方程为yu=p（x+xi）.

例3（2025•湛江一模）已知抛物线C：V=2〃Mp>0）的焦点为F,A,B为

C上的点（点力在点。上方）.过点儿片分别作C的切线小，2交于点R。为

坐标原点，当△048为正三角形时，其面积为48、万.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线NB经过点儿求动点尸的轨迹以及点。到直线4B的距离的最

小值.

，总结提炼A

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形,

如图.

性质1:阿基米德三角形的底边上的中线M0平行于抛物线的对称轴.

性质2:若阿基米德三角形的底边月3过抛物线内的定点C,则另一顶点。

的轨迹为一条直线，该直线与以点。为中点的弦平行.

性质3:若直线/与抛物线没有公共点，则以/上的点为顶点的阿基米德三

角形的底边”过定点

（若直线/的方程为〃x+by+c=0,则定点的坐标为。卜—

性质4:底边AB的长为a的阿基米德三角形的面积最大值为一.

常考核号

性质5:若阿基米德三角形的底边48过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且

阿基米德三角形的面积最小值为少.

变式3（2025•德州模拟）已知抛物线氏），2=2x的焦点为凡且力，8,C

为E上不重合的三点.

（1）若己+花+丘=0,求同|+|前十|由的值；

（2）过儿8两点分别作E的切线小，2，且人与，2相交于点。，若0阴=4,

求△/出。的面积的最大值.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2026•福州期初）已知抛物线C：产=2〃心＞0）的焦点为凡准线为/,

直线歹=3与/交于点若|MF|=5,则p=（）

A.1B.2

C.4D.8

2.已知M为抛物线y=4x上的动点，尸为抛物线的焦点,点尸（1,1）,则|〃尸|

+|人用的最小值为（）

A.2B.4

C.8D.16

3.（2025-萍乡二模）已知点。（-4,0）及抛物线C：y2=4x上一点0,若线段

尸。的垂直平分线经过。的焦点，则。的横坐标为（)

A.3B.4

龙考檄号

C.5D.6

4.（2025•济宁一模）设尸为抛物线C：产=6工的焦点，过少的直线交。于

A,B两点,若|"]=3|8用,则阳=（）

A.2B.4

C.6D.8

二、多项选择题

5.（2026-丽水、湖州、衢州11月质检）设抛物线C：V=2/»（p>0）的焦点

为F,准线为/,过点厂的直线交。于4,B两点,以尸为圆心，尸川为半径的

圆交/于N两点.若/MJJ,|E4|=6,则（）

A.p=2

B.直线力尸的斜率是上

C.|/B|=8

D.△4WN的面积是184

6.（2025•新高考I卷）设抛物线C：V=6x的焦点为凡过b的直线交C

于4,B两点,过力作/：工=一^的垂线，垂足为。，过产且垂直于48的直线

2

交/于点E,则（）

A.\AD\=\AF\B.\AE\=\AB\

C.|/8|26D.

三、填空题

7.（2025•南通一调）己知抛物线C：产=4x的焦点为R直线/的倾斜角为

45°,且/过点凡若/与C相交于N,8两点，则以为直径的圆被y轴截得

的弦长为.

8.（2025•苏锡常镇一模）已知抛物线G：f=4y,C2：小二一^的焦点分

龙考檄号

别为a，r2,一条平行于y轴的直线分别与c，G交于4B两点.若MQ|=

|8BI，则四边形的周长为.

9.(2026•惠州一调)若动点M到定点F(2027,0)的距离与它到直线工+29一

2027=0的距离相等，则动点M的轨迹是什么？某学生认为：“平面内到一个

定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点”