辽宁省辽阳市2025-2026学年高二年级上册1月期末质量检测数学（解析版）

高二数学质量检溃试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一、二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,

1.帼物线4的焦点到准线的距离是（）

11

A.—B.-C.1D.2

168

【答案】D

【解析】

（分析】根据抛物线的焦点到准线的距离为P即可得解•.

【详解】将），=一厂化为r=4），，

4

对比抛物线的标准方程/=2〃），，可得2〃:4,解得〃=2,

所以焦点到准线的距离是2.

故选：D

2.从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到内地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同

的路线有（）

A.7条B.12条C.64条D.81条

【答案】B

【解析】

【分析】由分步乘法计数原理计算即可求解.

【详解】由题意可知所求不同的路线有4x3=12条.

故选：B

3.设随机变量X~N(1Q2),P(|X—1区1)=0.6,则P(XV0)=()

A.0.5B.0.3C.0.2D.0.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性及概率加法公式计算可得.

【详解】因为随机变量X~N（l,b2）,所以P（XNl）=0.5.

因为=所以P（04X<2）=0.6,所以P（04X<1）=0.3.

所以夕（X20）=P（0<X<l）+P（X21）=0.8.

所以尸（X<0）=1-P（X20）=0.2.

故选:C.

4.已知变量x,y的数据如下：

X3467

y2.53m5.9

若工与1y的回归直线方程为），=0.78犬一0.05，则"?二（）

A.3.5B.4C.4.2D.5

【答案】B

【解析】

（分析】求出17*与y的回归直线方程为y=0.78%-0.05过点（元»），将（X,y）代入y=0.78x-0.05

计算得到〃?的值.

—3+4+6+7—2.5+3+/〃+5.911.4+m

【详解】由题意可得x=------——=5,），=

14+tn

则———=0.78x5-0.05,解得机=4.

4

故选:B.

5.某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化

与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向.学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个

研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活

动，则不同的分配方法种数为（）

A.2400B.1800C.1500D.2100

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解.

【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有I名教师负责,

故不同的分配方法种数为C；A；=1800.

故选:B

6.已知直线/：（m+2）x+（3一m）），一3，〃+4=0与圆C：（x-2）2+（y+1）2=4,则直线/与圆C的位置

关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定的

【答案】C

【解析】

【分析】由直线方程确定所过的定点坐标，再判断该点与圆的位置关系，即可得.

［详解】因为直线/为（〃?+2）工+（3-〃?）丁一3m+4=0,即（x-y—3»〃+2戈+3y+4=0,

由f丁x-y3-y3+=4（）=。'叱（x=71'则直线,过定点A/2、）-

因为（l—2『+（-2+iy=2<4,所以点4在圆。的内部，则直线/与圆C相交.

故选：C

7.从不大于3U的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为3U的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】首先列举出不大于30的1（）个索数，再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况，以及这些情

况中两个素数之和为30的情况，再根据古典概型的概率公式计算即可得解.

【详解】不大于30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个.

从中随机选取两个素数有C：。=45种情况，

其中被选取的两个素数之和为30的有（7,23）,（11J9）,（13,17）共3种情况,

31

故所求概率为———.

4515

故选:A

8.在正三棱柱ABC—A用C中，AB=2AA1=2,P是线段AB】上的一动点，则点尸到直线BG的距离的

最小值是（）

A也Rir2754

A.D.-C.--------U.一

2255

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量法求出B4，AB1，BC；，设4尸="q=（2&,0«）（O<Z:<1）,求出

7V

BP=BA+AP，利用点到直线的距离公式求出点尸到直线8G的距离d=BP2-华华.

【详解】以A为原点，AB,所在直线分别为％轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

因为A8=2AA=2,所以A（0,0,0）,B（2,0,0）,g（2,0,1）,C,（1,73,1）,

所以明=（一2,0,0）,4片=（2,0,1）,8G

设==（2太0,%）（0<^<1）,则8P=BA+AP=（2〃—2,0M）,

故点尸到直线8G的距离"=BP2-零华」5犬_8t+4-12+.

\\BC]V5

3十1>6

4J22

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知—3］展开式中各项的二项式系数之和为64,则（）

A.〃=6B.fx2--1展开式中所有项的系数之和为64

IX）

C.卜一展开式中的常数项是一1215D.展开式中含/的项是_540炉

【答案】ABD

【解析】

【分析】由2”=64,求得〃，再由二项式定理通项公式，和赋值法逐项判断即可.

【详解】由题意可得2"=64,解得〃=6,A正确.

令x=l,得（1-3）6=64,B正确.

卜_1）展开式的通项3G（Y）'C（_3）"c产

令12—3r=0,得r=4,则（一3）4C：=81X15=1215,C错误.

令12—3r=3,得〃=3,则7；=（—3）3（4?=_540.尸，D正确.

故选：ABD

10.甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从

盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件

4表示从甲盒中取出的小球是红球，事件A2表示从甲盒中取出的小球是白球，事件片表示从乙盒中取出2

个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（）

23

A.P（即B.P（A^2）=-

C.尸网4）二2D.P⑻4

AJ/

【答案】ACD

【解析】

【分析】由条件概率公式和组合数可得A；由独立事件的乘法公式结合组合数可得B错误：利用条件概率

公式和组合数可得C：由全概率公式结合组合数可得D

4f.；

【详解】由题意可得P(A)=，0(4)=5,则一W，A正确.

7

/、4C'C112

p(AB2)=p(A)P(B2)=-x-^A=-,B错误.

P(B人)8

尸(约|4)=C正确.

p(4)315

4f

尸⑸=P(4)P(层⑷+P(4)P网4)=*J：+沁=：口正确.

7

故选：ACD.

22

11.已知双曲线。：5-£=1(〃>0)的左、右焦点分别为6，0,点P(4,、回)在双曲线c上，PQ是

鸟的平分线，且EQJ■尸Q,。为坐标原点，M是双曲线。上的一点，则()

A.双曲线C的渐近线方程为2x±)，=0

B.双曲线C的离心率是更

2

C.依。=2

4

D.点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积是不

【答案】BCD

【解析】

【分析】由题意可得〃=1,根据双曲线的性质可得渐近线方程和离心率，判断AB：延长片。，「人交于点

N,由题意可得户外=|取|,结合双曲线性质可判断C；利用点到直线距离公式计算可判断D.

【详解】因为点乃卜,百)在双曲线。上，

代人可得4?(、6)解得〃=1(〃=一1舍去)，

4h2

所以双曲线C:王一/一］,则a=2,c=〃7寿=J5

4

对于A,双曲线C焦点在x轴上，渐近线方程为y=±lx,即x±2），=0,故A错误;

2

对于B,双曲线C离心率为e=£=且，故B正确;

a2

对于C,分别延长EQ，PF）,交于点N.

因为PQ是的平分线，且PQ_LEQ,

则/耳。匕PQN,所以|P周二|?N|,。是线段N”的中点，

因为。是线段耳心的中点，所以|02|二g|N5|,

由双曲线的定义可得归用一归国=|取|一归用=|”|=勿=4,

则|OQ|二g|N鸟|=2,故C正确

对于D,设则a―片二1,即'=1,

1+2y||%-2引苧T故D正确.

故点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积是+啖'二

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若直线/1：依+2），+〃+1=0与直线/2：2%+（。+3）y+4=0平行，则〃=.

【答案】-4

【解析】

【分析】由直线平行的判定列方程求参数值.

a(a+3)-4=0+3。-4=0

【详解】由题意〈

(〃+1)(〃+3)-8工0+4々-5工0

(«+4)(67-1)=0

所以解得4=7

(4+5)3—l)wO

故答案为：-4

22

13.某航天测控中心监测到一颗人造卫星的运行轨迹近似为椭圆，其方程为三十汇=1.该人造卫星（视作

168

质点）在椭圆轨道上的4,3两点进行变轨操作,若线段A3的中点为P（2,l）,则直线相的斜率为

【答案】①.-1②.生叵

3

【解析】

【分析】根据点差法，结合斜率公式即可求解空1,联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据弦长公式即可求

解空2.

【详解】设4(5,yj,B(X2，y2)f则玉+超=4,yt+y2=2.

,9

旦+%=1,,,,

168组工；_n>；一)彳

由＜、，得」----+——2=()n

8

则直线AB的斜率心力=-卷需

故直线AB的方程为y-l=-（x-2）,即），=一1+3.

ty=-x+3

由<x2y2得3工2-12戈+2=0，

——+—=1

'168

方程3/—|2x+2=0的判别式A=144—4x3x2=120>0,

rll42

则占+%=4,xyx2=—,

所以四一々卜小|+々)2_以也=冬普，

故|/W|=V^2+l|x,一々|=J(T『+1义"^="^~.

JJ

故答案为：一1,二"

3

14.在正方体ABC。—中，AB=4,P是棱AA的中点，E,尸是矩形8。。片内的任意两点

（包括边界），则尸的最小值是.

【答案】-4

【解析】

【分析】设正方体ABC。—A4GR的中心为。，连接。户,。瓦。/，设AGC4A=O1，连接

0。1，由己知线面关系可证得OP_L平面8。"修，从而可得OPJLOE,OPA.OF,根据空间向量的数

量积计算夕后.尸尸，从而可得其最小值.

【详解】设正方体43CO-A8cA的中心为。，连接。ROE,。/，设AGc4R=O1,连接

因为正方体ABCO-AQGQ中，所以A.G，片。片，平面A片G。1,

因为AGU平面ABGK，AG-LBB、,

又BBiRBiD=Bi，BBi，BiDiu平面30。蜴，所以AG_1平面3。。4，

因为P是棱AA的中点，正方体ABCD-AB£A的中心为0,

所以。。1//4尸,。3=4尸，则四边形OQA尸为平行四边形，则4。//。尸，

故。P_L平面8。/）向，由于OEO/U平面8。/）内，

则。P_LQE,OP1OF,

所以PE•尸尸二(P0+0E)(P0+0E)=P02+P00E+P00E+0E0b,

因为QP_LQE,OP工OF,所以POOb=。0。£=0,

因为AN=4,所以|„二2夜，所以尸=8+O£O/，

因为E,少是矩形3。。由内的任意两点，所以O£.O厂》一12,当且仅当匕尸为或与£＞的两端点

时，等号成立，

则PEPF=8+OEOF》-4,即P/7的最小值是-4.

故答案为：-4.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某马拉松赛事组委会为研究选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤的关联性，随机抽取了200

名参赛选手的相关数据，整理得到如下2x2列联表.

单位：人

比赛中受比赛中未受合

伤伤计

赛前进行热身训练1090100

赛前未进行热身训

3070100

练

合计40160200

(1)从这200名参赛选手中随机抽取1人，已知此人赛前进行了热身训练，求此人在比赛中受伤的概率;

(2)能否有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关？

参考公式：X2=3------1一八，其中〃=〃+°+c+d・

(a+b)(c+d)(〃+c)(/?+d)

参考数据:

a=P(z2>^)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)—

1()

(2)有99.9%的把握

【解析】

【分析】（1）记事件A表示此人赛前进行了热身训练，事件4表示此人在比赛中受伤，由

产（z则.\=P而（AB]即可求解;

（2）求得72,对比参考数据，即可判断.

【小问1详解】

记事件人表示此人赛前进行了热身训练，事件9表示此人在比赛中受伤,

则。（网嚏修「伊卜黑弓

故网财=需1

10

【小问2详解】

2

由题意可得*=200X（10X70-90X30）=25=12S

100x1（X）x40x1602

因为12.5>10.828,所以有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关.

16.如图，正三楂柱ABC-48G的各校长均为8,。为棱8c的中点，点E,尸在棱人人上，且

AiF=AE=2.

（1）证明：。石//平面BC/.

（2）求直线C8与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明过程见解析

⑵亚

13

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到四边形DWE为平行四边形，&DENMF,所以力E〃平面

(2)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出平面的法向量，利用线面角的正弦夹角公式求出正弦

值，从而求出余弦和正切值.

【小问1详解】

取的中点连接。

因为正三棱柱ABC—4MG的各棱长均为8,。为棱8c的中点,

所以OM=gcG=4,DM//CC},

又&/=4E=2,故所=8—2—2=4,所以。M=EF，

又CCJ/EF,故。M//E/，故四边形。A"五为平行四边形,

故DEHMF,

因为M~u平面3C7,所以力E〃平面BC/,

【小问2详解】

取43的中点。，A4的中点N,连接CO,ON,

则。N_L平面ABC,

因为V4AC为等边三角形，所以CO_LAB，

且AO=C8=4,OC=JAC?—协=46,

以。为坐标原点，0。,0&。可所在直线分别为工,乂2轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(4百,0,()),8(0,4,0),G(4右,(),8),尸((),Y,6),

CB=(-46,4,0),3C；=(46,-4,8),8/=(0,-8,6),

设平面BC】F的法向量为〃?=(x,y,z),

1in-BQ=（x,y,z＞（4后,-4,8）=4Gx-4），+8z=0

则

Im-BF=（x,y,z）•（0,-8,6）=-8y+6z=0

5G

令F=3,则Z=4，A=-->故6=『3,4,

3

设直线CB与平面BC、F所成角的大小为0,

nl/一\m'CB

则sin0=cos(CB)=J—(-；---

''邮5备9+l6x国^

|20+12|_25/3

椁+9+16x,48+165'

故加蚱许血妪…”皿二芈二也

5cos0x/1313

17.已知椭圆C：尸是椭圆C的左焦点，A是椭圆C

上的一动点（点A不在工轴上），直线A厂交椭圆C于另一点从

（1）求椭圆。的离心率;

（2）求|4却取值范围.

【答案】（1）显

3

⑵邛,2疝

L3J

【解析】

【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程即可联立.方程求解。力，即可利用离心率公式求解,

（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而由弦长公式，结合不等式的性质即可求解.

【小问1详解】

设椭圆C的焦距2c•.

-15.

7+/=132=6

由题意可得Y,解得J/—2.

V+F=1=2

因为〃2=〃2+。2,所以c?=4.

）f7

则椭圆C的离心率为———产——.

a瓜3

【小问2详解】

由椭圆的对称性不妨设点A（N），M）,%＞o,直线A厂的方程为X="P—2,B（x，y）.

tx=my-2

由。2),2得(1+3)),2_4〃少_2=0,则No+y

।—+—=1'/m"4-3nr+3

'、62

2、

故二J1+％->i|=2+同(%+)J_4yoy=

一遥m!"+5；)m2+3>

22

因为〃八°,所以＞+323’所以°＜一忘了

所以1＜1一一3—＜h所以辿W2dl-一机一〕＜26，

31+33Im2+3）

则孚44叫＜2g，即|明的取值范围为［半,2指

18.为提高学生学习数学的积极性，某校举办数学竞赛并且设置奖项.现从参加初赛的学生中选拔出男生20

名、女生20名参加此次数学竞赛决赛，根据这40名学生的得分情况绘制如图所示的频率分布直方图.规定

得分不低于80分即可获得奖励，其中获得奖励的男学生有7人.

O5060708090100得分

（1）求图中〃的值；

（2）从获得奖励的学生中任取2人，求这2人中至少有1人获得奖励的概率；

（3）现从获得奖励的学生中随机抽取4人，记其中女学生的人数为X,求X的分布列与期望.

【答案】（1）〃=0.015

（3）分布列见解析,|

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及频率与频数的关系，即可求解；

（2）根据频率分布直方图求解获得奖励的学生人数，根据对立事件与古典概型求解概率即可得所求；

（3）获得奖励的女学生有3人，男学生有7人，则随机变量X的所有可能取值有0,1，2,3,分别求出对

应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.

【小问1详解】

由频率分布直方图可得（0.01+2/1+0.025+0.035）xl0=l,则〃=0.015；

【小问2详解】

由频率分布直方图可知获得奖励的学生有40x（0.015+0.010）x10=10人，

C223

故这2人中至少有1人获得奖励的概率为1-不券=不：

【小问3详解】

获得奖励的女学生有3人，男学生有7人，则X的所有可能取值为0,1,2,3.

4

Px=0、）=C==色35=j1

'7C：o2106

,C3cli

pg）喏T

P（X=2）=卑=a,

lJc：。10

19.已知双曲线C：三一六二l.>0,〃>（））的左、右焦点分别是耳，鸟，其实轴长为4加，A（0,3）,

点8在双曲线C的右支上，且|AB|+忸闾的最小值是5.

（1）求双曲线C的标准方程.

（2）过点尸2的直线/与双曲线。的右支交于P,Q两点，与双曲线。的两条渐近线交于M,N两点,

P,M均在第一象限.

①若|摩|=3|吗|,求直线/的方程；

②求△PQK面积的取值范围.

【答案】（1）--一^-=1

88

（2）①2x-y-8=0②[16虚,+8）

【解析】

【分析】⑴根据实轴长求出。，根据|A3|十|8闾的最小值是5求出c,从而得到双曲线的方程.

（2）①分别考虑直线/的斜率不存在和存在时,联立直线与双曲线渐近线方程求得M,N坐标，然后根据

已知条件列出等式求出直线/的斜率，进而得到直线/的方程；②分别考虑直线/的斜率不存在和存在时，

联立直线与双曲线方程，结合韦达定理将石面积的表达式列出来并进行化简，然后根据基本不等式

的性质求出范闱即可.

【小问1详解】

因为双曲线—的左、右焦点分别是几瑞，其实轴长为4四，

所以2〃=4上，所以〃=2五.

|朋+忸闾的最小值是5即当A,民居三点共线时,取最小值为周=5.