第2章 特殊三角形（单元重点综合测试）解析版

第2章特殊三角形（单元重点综合测试）

（考试时间：120分钟；满分：120分）

姓名班级考号

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）（2023秋•路桥区期末）下列亚运会的会徽中，属于轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可.

【解答】解•：A.不是轴对称图形，该选项不符合题意:

B.是轴对称图形，该选项符合题意；

C.不是轴对称图形，该选项不符合题意：

D.不是轴对称图形，该选项不符合题意.

故选:B.

2.（3分）（2023秋•浙江校级期末）等腰三角形有两条边长分别为5和10,则这个等腰三角形的周长为（）

A.15B.20C.25或20D.25

【分析】根据腰为5或10,分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断.

【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5,5,10,5+5=10,三边关系不成立；

当等腰三角形的腰为10时，三边为5,10,1（）,三边关系成立，周长为5+10+10=25.

故选：

3.（3分）（2024•萧山区一模）如图，AD,8E均为△/BC的高，HAB=AC,连结OE交力8于点O,若

ZC=28°,则NOE8的度数为（)

E

A

B。°

A.62°B.60°C.58°D.56°

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出点。是〃。的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半得出。£=8。，根据等边对等角得出NOE8=NE8O,在中求出NE8O的度数，即可

得解.

【解答】解：•••48=4C,4）是8C边上的高，

:・BD=CD,

•••BE是力。边上的高，

:・/BEC=90°.

乙

・•・NOEB=/EBD,

VZBFC=90°,ZC=28°,

：.ZEBD=900-ZC=90°-28°=62°,

：・/OEB=62°,

故选:A.

4.（3分）（2023秋•柯桥区期中）两个直角三角形中:

①一锐角和斜边对应相等；

②斜边和一直角边对应相等；

③有两条边相等：

④两个锐角对应相等.

能使这两个直角三角形全等的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①②③④

【分析】根据全等三角形的判定方法及“/〃”定理，判断即可.

【解答】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用力4s1证明全等，故①符合题意；

②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用儿证明全等，故②符合题意；

③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用此或S4s1证明全等，故③不符合题意；

④有两个锐角对应相等，不能利用444证明全等，故④不符合题意：

综上分析可知①②正确，故1符合题意.

故选:A.

5.（3分）（2024春•浙江期末）如图，在中，AB=BC,由图中的尺规作图得到射线4D,BD与AC

交于点七，点户为8C的中点，连接上凡若3E=/1C=4,则的周长为（）

A.2V5B.4C.2>/5+2D.275-2

【分析】由尺规作图可知，8E为N48。的平分线，结合等腰三角形的性质可得8E_L4C,

AE=CE=yAC=2»利用勾股定理得AB=二K而，进而可得EFJAB-而，CE】BC二代，

乙乙乙

即可得出答案.

【解答】解：由题意得，8E为N/8C的平分线，

•：AB=BC,

:・BELAC,AE=CE=yAC=2^

由勾股定理得，AB=BC=A/42+22=2>/5>

•・•点月为8c的中点，

AEF=yAB=V5>CE=yAC=2*

乙乙

•••△EFC的周长为遥+V5+2=275+2，

故选：C.

6.（3分）（2023秋•宇波期木）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角

形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（）

A.直角三角形的面积

B.最大半圆形的面积

C.较小两个半圆形的面积和

D.最大半圆形与直角三角形的面积和

【分析】两个月牙形的面积和=以力。、8c为直径的半圆的面积的和+直角三角形三角形的面积-以力4

为直径的半圆的面积，由此即可解决问题.

2

【解答】解：以AC为直径的工圆的面积=工打义芦）=三4c2,

同理：以8C、48为直径的半圆的面枳分别是工3C2,2L4B2,

88

・•・两个月牙形的面积和=以/IC、BC为直径的半圆的面积的和+直角三角形三角形的面积-以AB为直径

的半圆的面积，

・•・两个月牙形的面积和=三。2+98。2-工4炉+直角三角形的面积=三（AC2+BC2-AB2）+直角三

8888

角形的面积，

由勾股定理得：AC2+RC2=AR\

，两个月牙形的面积和=直角三角形的面积.

7.13分）（2023秋•衢州期末）如图，在Rt△48c中，/ACB=90：分别以4点，8点为圆心，以大于超

2

为半径画弧，两弧交于£,F,连接E/交48于点。，交4c于点〃.连接CQ,以C为圆心，。。长为

半径作弧，交于G点，若/出=10。〃，BC=6cm,则G〃的长度为（）

A.—B.——C.3cmD.——

4cir4cir4cir

【分析】连接8〃，根据直角三角形的性质得HlCD』AB二5cm根据勾股定理求出

2

AC-VAB^-BC^=V=8(cm>求出AG—AC-CG—8-5—3设All—BH—Xan,贝IjCH

=(8-x)cm,根据勾股定理得出62+(8-x)2=/,求出*且，最后求出结果即可.

4

【解答】解：连接3”,如图所示：

根据作图可知，EF垂直平分力4

:・BH=4H,AD=BD,

•••△48C为直角三角形，

.1

••CD~AB=5cm,

乙

CG=CD=Sent,

根据勾股定理得：AC=7AB2-BC2H1。2_62=8(5)，

：.AG=AC-CG=8-5=3(CM),

设4H=8H=xcw,MCH=(8-x)cm,

根据勾股定理得：SC2+CH2=BH2,

即62+(8-x)2=x2,

解得：乂且，

4

,,GH=AH-AG=^--3=-^7-(cm>

44

故选:B.

8.(3分)(2024春•怀化期末)如图，在RtZ^/18C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,/出=10,AD是/

54c的平分线.若P,。分别是力。和4c上的动点，贝I」?C十尸。的最小值是()

A.2.4B.4.8C.4D.5

【分析】过点C作CMLAB交AB于点M,交AD于点过点P作PQ2-AC于点由AD是N4/1C

的平分线.得出尸这时尸C+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出力8,再运用SM8C=

LB・CA/=LC・AC,得出CM的值，即PC+尸。的最小值.

22

【解答】解：如图，过点C作。交48于点M,交4）于点P,过点P作P0L4c于点0,

•・"。是N84C的平分线.

:.PQ=PM,这时PC+P。有最小值，即CM的长度，

V/1C=6,43=10,ZJCB=90n,BC=8,

'：S^=^B*CM=1AC*BC,

ABC22

・•・CM=AC・BC=j4,

AB5

即PC+PQ的最小值为普.

故选:B.

9.（3分）（2024•宁海县校级自主招生）如图△44C的三条高相交于点G,C”是角平分线，已知N44C=

15。，N/CO=60°,则图中的等腰三角形共有（）个.

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据条件和等腰三角形的判定分别找出等腰三角形即可.

【解答】解：①・・"Q_L4C,ZABC=45<,,

・•・△48。是等腰三角形；

2）VCF1J5,ZABC=45°,

・•・ABC/是等腰三角形;

③丁ZJC5=60,

CBE=900-60°=30°,

•/C〃是角平分线，

/.ZBCH=ZACH=^ZACB=30°,

2

・•・ZCBI=NICB,

•••△6C/是等腰三角形；

®VZACB=6()°，

・・・/。。=90°-60°=30°,

AZACJ=ZCAJ=30°,

•••△4C7是等腰三角形；

@VZACF=60°-45°=15°,

:./CAF=90"-150=75",

：・N/iHC=NABC+NBCH=450+30°=75°,

：,ZCAH=ZCHA=15°,

•••△/C”是等腰三角形：

@VZGCD=ZZ)GC=45°,

•••△CQG是等腰三角形；

⑦•：NGIJ=/EBC+NHCB=30。+30°=60°,

ZGJ/=ZC/D=90°-30°=60",

:・/GIJ=4GJI=60°,

是等腰三角形；

⑧△4尸G是等腰三角形；

综上分析，图中等腰三角形共有8个：△480、△8CA△8C/、△/仃、△AC〃、△COG、△G/4△

AFG.

故选：D.

10.(3分)(2023秋•浙江期末)如图，在△/1&?中，ZACB=90<>,以△45C的各边为边作三个正方形,

点G落在，/上，若AC+BC=7,空白部分面积为13,则48的长为（)

G

M

AB

A.5B.V21C.V19D.V26

【分析】由正方形的性质推出18=4尸，/BAN=/F=90：由余角的性质推出/48N=NM4尸，由4S4

证明得到△84V的面积=△/1£”的面积，因此四边形厂NCM的面积=448。的面积,

得到空白部分的面积=正方形/8G/的面积-2XZX/BC的面积，因此482-2X工lC・8C=13①，由完

2

全平方公式得/。2+夕。2+24C3C=49,由勾股定理得到/辟+24。“。=49②，于是47=25,即可求出

.46的长.

【解答】解：•・•四边形力8G"是正方形，

:・AB=AF,NBAN=NF=90°，

/.ZMAF+ZBAC=90Q,

VZJC^=90°,

：・/ABN+/BAC=90°,

:.ZABN=NMAF,

•：AB=4F,NBAN=NF,

:.4BANqAAFM(ASA),

・•・△84V的面积=△/五M的面积，

・•・四边形FNCM的面积=ZX/18C的面积，

，空白部分的面积=正方形48Gb的面积-2X△48C的面积，

C.AB1-2X_jjC・〃C=13①,

•:AC+BC=7,

:.(AC+BC)2=72,

AC2+BC2+2AC・AC=49,

,:AB2=AC2+BC2,

・"82+2心8c=49②，

由①和②得g=25,

，AB=5（舍去负值）.

故选:A.

填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

II.（3分）（2023秋•竦州市期末）如图，在△48C中，AB=AC,月。是4C边上的高线，若/。=2/4,

则NC8O的度数为18°.

【分析】根据等腰三角胆的性质结合三角形内角和定理求得Z/1—36°,推出NC—72°,再利用余角的

性质即可求解.

【解答】解：・.Z4=/iC,ZC=2ZJ,

・•・/ABC=NC=2/A,

AZABC+ZC+ZA=\S00,

解得N4=36°,

.•.NC=72”,

:.NCBD=900-NC=18°,

故答案为：18°.

12.（3分）（2023秋•宁海县期中）如图，将一副三角尺按如图所示的方式叠在一起，若4B=l0cm,则阴

【分析】易证8C〃QE,那么△力3也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边4C的长；

RtA/15C«P,已知斜边力6及的度数，易求得4C的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影

部分的面积.

【解答】解：・・・/8=30°,4c8=90°,AB=\Qcm,

：・AC=5cm.

VZAED=ZACB=90t>,

：,BC//ED,

；・N4FC=N/1DE=45°,

AC=CF=5cffi.

故（cm2）.

2

故答案为：12.5.

13.（3分）（2023秋•北仑区期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为

“三倍三角形”.若等腰三角形48c是三倍三角形，且其中一边长为3,则△48C的周长为12或8.

【分析】分两种情况，底边长是3或腰长是3,由三角形三边关系定理，“三倍三角形”的定义即可求解.

【解答】解：如果底边长是3,

若两腰的和是3的三倍，即为9,满足三角形三边关系定理，则。的周长是9+3=12,

若腰与底边的和是腰长的三倍，求出腰长是1.5,不满足三角形三边关系定理；

如果腰长是3,

若两腰的和是底边的三倍，底边长是2,满足三角形三边关系定理，则△48C的周长是3+3+2=8,

若腰与底边的和是腰长的三倍，求出底边长是6,不满足三角形三边关系定理，

・••△48C的周长为12或8.

故答案为：12或8.

14.（3分）（2024春•拱皇区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学

家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图2由弦图变

化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形48CO、正方形EFGH、正方形MNXT

的面积分别为g,S2,S3,若正方形£/G〃的边长为6,则Si+S,+Sa=108.

22

【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且。>b,则S尸(a+b)2,S2=a+h,S3=(a-h)

2,先证明S2=Q2+Z>2=36,再证明SI+S2+S3=3(〃2+乂)即匕得到答案.

【解答】解:设全等的直角三角形的两条直角边为4、b,且。

由题意可知:S]=(.a+b)2,$2=。2+意,Sy=(a-b)2»

•・•正方形EFGH的边长为6,

・・・S2=〃2+b2=36,

S]+Sz+S3=(a+b)2+a2+b2+(a-h)2

=a2+2ah+h2^-a1+b1+a2-lab+h1

=3(a2+b2)

=108,

故答案为：108.

15.(3分)(2023秋•浙江期末)如图，在△48。中，AB=BC=2,A()=B(),P是射线CO上的一个动点.

ZJOC=60°,则当△"8为直角三角形时，4P的长为3或7或1.

【分析】利用分类讨论，当N』PA=9()°时(如图1),由N/OC=60°,得到△AOP为等边

三角形，于是有N/A尸=60°,由三角形内角和得到N84P=30°,即可求得4P；

当//8P=90°时，如图2,由对顶角的性质可得N/OC=N8OP=60°,易得N8PO=30°,易得BP

的长，利用勾股定理可得力。的长；当N4P8=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1,情况二：如

图3,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.如图4中，ZPAB=90°时，求出力尸即可.

【解答】解：当N/1P8=9O”时，如图1,

:・PO=BO,

VZAOC=60°,

・・・N8"=60°,

・•・△HOP为等边三角形,

44尸=60°,

，/氏4尸=30°,

:,AP=M；

VZAOC=ZBOP=60a,

・・・N8PO=30°,

_0B_i

：.BP=

tan300返以

3

在直角三角形力4尸中,

-4P=VAB2+PB2=V7；

图3

•:AO=BO,N”B=90°,

：.PO=AO,

VZAOC=60°,

•••△/IO2为等边二角形,

•'.AP=AO=L

如图4中，当/PAB=90°时,

图4

:・PA=4^0A=氏,

故答案为：勺叵或小或1.

16.（3分）（2023秋•奉化区校级期中）如图，ZX/IBC中，ZACB=9（）°,4C=8,BC=6,射线CO与边

4B交千点E、b分别为40、5。中点.设点月、尸到射线CO的距离分别为加、〃,则线段的最

【分析】连接CE,CF,根据面积关系可以求得工S4^cJCDlm+n），当最小为力夕边上高时，

22

即可求出ni+n的最大值.

【解答】解：如图，连接CE,CF,过£作。。垂线，垂足为M点，过尸作CO垂线，垂足为N点，即

Eyf=ni,EN=〃,

则Xnr

•:E,F分别为4D,BD中点,

一SACDE卷SACDA*SACDF蒋SACDB*

**^ACEF=2ACDE+^ACDF至(^ACDA+^ACDB)而^AABC)

^ACEF=^ACDF+^ACDE至0D(m+n>

..1

-SAABC=yX6X8=24*

(m+n)=12

：，CD(m+n)=24,

VZJCB=90°,AC=8,BC=6,

：•前32+62=10,

设力〃上的高为A,

.1

•,yABwh=24,

AA=4.8,

当CD最小时，BPCDLAB,此时。=6=4.8时，〃1+〃最大,

，最大值为5.

故答案为：4.8,5.

三.解答题（共8小题，共72分）

17.（6分）（2023秋•味州市期末）一个等腰三角形的周长是25c5.

（1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长.

（2）若其中一边的长为7c〃1，求这个等腰三角形其余两边的长.

【分析】（1）设等腰三角形的底边长为XCM，则腰长为2xc阳，根据“周长是25。〃”列方程求解即可;

（2）根据等腰三角形的定义，分腰为7cm与底为7c〃?两种情况分别求出其他两边即可.

【解答】解：（1）设等腰三角形的底边长为xc〃?，则腰长为2xc〃，

由题意得：2x+2x+x=25,

解得：x=5

/.2x=10,这个等腰三角形的底边长为5C〃?，腰长分别为10C优，10CM

即各边长分别是10cm,10cm,5cm；

（2）当腰为7创时,底边长为:25-7X2=11（cm）,

・••其余两边分别为7a〃，11am此时能构成三角形；

当底为7c〃?时，腰长为：生;二乂力），

2

・••其余两边分别为9a〃，9cm,此时能构成三角形；

综上所述：其余两边分别为7cm与1lent,或9cm与9cm.

18.（6分）（2023秋•浙江期末）己知△48C中，D为边BC上一点,AB=AD=CD.

（1）试说明N/1BC=2NC；

（2）过点8作力。的平行线交。的延长线于点£若4E=4B,求证：力。平分N4力C.

【分析】（1）由等腰三角形的性质推出ZC=ZDAC,由三角形外角的性质得到N/Q8

=ZC+ZDAC=2ZC,即可推出N48C=2NC.

（2）由等腰三角形的性质推出由平行线的性质推出NdO=/E,NBAD=4ABE,得到

/CAD=/B4D,即可证明4）平分N84C.

【解答】⑴解:，：AB=AD=CD,

/.ZABC=ZADB,ZC=ZDAC,

・・•ZADB=ZC+ZDAC=2ZC,

・•・/ABC=2/C.

（2）证明：*：AE=AB,

：.NE=NABE,

,:BE〃AD,

；・NCAD=NE,NBAD=/ABE,

：.ZCAD=ZBAD,

，力。平分

19.（8分）（2023秋•东阳市期中）如图，在8X8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有

一格点△48C（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）在图中作出△力8c关于直线/对称的△小8]G；（要求/与小，8与当，。与G相克•应）

（2）若有一格点P到点4B的距离相等,则网格中满足条件的点?有4个:

（3）在直线/上找到一点0,使08+QC的值最小.

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可.

（2）利用网格，作线段48的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置.

（3）连接C5，交直线/于点。，连接8。，此时Q8+QC的值最小.

【解答】解：（I）如图，△为与。即为所求.

（2）由图可知，P],P2,当，尸4满足到点44的距离相等，

・•・网格中满足条件的点P有4个.

故答案为:4.

20.（8分）（2023秋•浙江模拟）如图，点C、E、B、/在一条直线上，4BLCF于B,DE上CF于E,AC=

D

【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△48c丝RtZXQE/（私），则8C=EF即CE=8立

【解答】证明：VJ51CF,DELCF,

:・NABC=NDEF=90°.

在RtAJBC和RtADEF中，

'AC=DF,

'AB=DE，

RiA/lBC^RtA£）£F（HL）.

:,BC=EF.

：.BC-BE=EF-BE.

即：CE=BF.

21.（10分）（2023秋•浙江期末）已知：如图△48C中4C=6c，〃，AB=Scm,BD平分/ABC,CQ平分/

ACB,过。作直线平行于8C,交.AB,AC于E,F.

（1）求证：△OPC是等腰三角形；

（2）求尸的周长.

【分析】（1）首先根据平行线的性质可得N"QC=NOC8,再根据角平分线的定义可得/R?Q=N8O,

可得NFCD=NFDC,据此即可证得；

（2）同理（1）可得DE=BE,根据△力EE的周长=4七+力尸+QE+。产=48+4C,求解即可.

【解答】（1）证明：尸〃8C,

・•・NFDC=NDCB,

•••CO平分N4C8,

JZFCD=ZDCB,

・•・ZFDC=ZFCD,

:.FD=FC,

・•・△ORT是等腰三角形；

（2）,:EFUBC,

・•・/EDB=/DBC,

•；BD平分/4BC,

:./EBD=/DBC,

・•・ZEDB=ZEBD,

：,ED=EB,

AC=6cm,AB=8cm,

•••△力环的周长为：AE+EF+AF

=AE+ED+FD+AF

=AE+EB+FC+AF

=AB+AC

=8+6

=14（cm）.

22.（10分）（2023秋•东阳市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两功的平方差等干第三

边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.

•特例感知

①等腰直角三角形是勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

②如图1,已知△力AC为勾股高三角形，其中。为勾股顶点，C。是4月边上的高.若BD=24D=2,

试求线段CO的长度.

•深入探究

如图2,已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且C4>C8,。。是48边上的高.试探究线段

,4。与C8的数量关系，并给予证明；

•推广应用

如图3,等腰△月AC为勾股高三角形，其中CQ为力4边上的高，过点。向8c边引平行

线与4C边交于点E.若CE=a,试求线段。E的长度.

【分析】•特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；

②如图1，根据勾股定理可得：CA1=Cb1+\,于是CJn(CD2+4)-(CD2+1)=3,

即可解决问题；

•深入探究：由C42-C5=。2可得：CA2-CD2=CB2,rtfCA2-CD^AD2,即可推出4?2=^2；

・推广应用：过点力向EQ引垂线，垂足为G,只要证明△HGOg△COB(44S),即可解决问题；

【解答】解：•特例感知：

①一等腰直角三角形是勾股高三角形.

故答案为是.

②如图1中，根据勾股定理可得：。?2=。。2+4,CJ2=CD2+1,

于是CQ2=(CD2+4)-(C/^+l)=3,

:・CD=6.

•深入探究：

如图2中，由。2・。82=。》可得：CA2-CD2=CB2,而。不・。。2=/》，

:.AD2=CB2,

即AD=CB；

•推广应用：

过点/向EO引垂线，垂足为G,

•・•”勾股高三角形”。为等腰三角形，且4B=4C>BC,

・••只能是力〃.BC2=CD2,由上问可知力。=8。……①.

又ED"BC,；.N1=NB……(2).

而4GD=NCDB=90°……③，

:.XAGD4XCDB(AAS),

:.DG-BD.

易知△4QE与均为等腰三角形，

根据三线合一原理可知ED=2DG=2BD.

又AB=AC,AD=AE,

BD-EC=ci,

ED=2(i.

23.（12分）（2023秋•江北区月考）如图，在中，ZACB=90°,AB=\0cm,BC=6cm,若点尸从

点力出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为/秒（/>（））.

（1）若点P恰好在N84C的角平分线上（点力除外），求f的值；

（2）点P运动的过程中，当△BPC为等腰三角形时，贝h的值.

【分析】（1）过P作PE_L48,设CP=x,根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可：

（2）分类讨论：当CP=CB时,△8”为等腰三角形，若点P在AC上,根据X。的长即可得到/的值,

苦点尸在/也上，根据户移动的路程易得/的值；当尸。=尸4时，△4C尸为等腰三角形，作尸。_L4C于

D,根据等腰三角形的性质得60=8,则可判断PO为△46C的中位线，则月2=16=5,易得/的值；

2

当4P=4C=6时，/XBCP为等腰三角形，易得/的值.

【解答】解：（1）如图1,过P作

VZACB=90°,

AJC=VAB2-BC2=V102-62=8>

•・•点产恰好在NA4c的角平分线上，且NC=90°,AB=\0,BC=6,

:,CP=EP,

在RtAJCP和RtAJEP中，

fAP=AP

lCP=EP，

・・・RtZ\4C0也Rt△力EP（HL）,

AC-8cM=AE,BE=2,

设C'P=x,贝ij4P=6-x,PE=x,

RtABEP中，BE2+PE2=BP：,

即22+X2=(6-x)2,

解得x=B，

3

,\CP=X

3

・・・C4+CP=8+B=丝，

33

・“&1=四：

33

当点P沿折线A-C-B-A运动到点A时，点P也在/胡C的角平分线上,

此时,t=(10+8+6)4-1=24.

综上，若点Q恰好在N历1C的角平分线上，/的值为四或6：

3

(2)①如图2,当CQ=C8时，ZXBC尸为等腰三角形，

若点尸在C4上，则,=8-6,

解得/=2：

②如图3,当4P=4C=6时，△AC尸为等腰三角形，

・•・AC+CB+BP=8+6+6=20，

・1=20；

③如图4,若点尸在上，。尸=C8=6,作COJ_48于。，根据面积法求得CO=4.8,

在Rt^BCO中，由勾股定理得80=3.6,

・・・尸8=28。=7.2,

ACA+CB+BP=8+6+7.2=21.2,

此时1=21.2：

④如图5,当尸。=P8时，为等腰三角形，作夕OJ_8c于。，则。为8c的中点,

・・・PD为△NBC的中位线,

:・AP=BP=LB=5,

2

・・・/C+C4+4P=8+6+5=19,

/.r=19；

综上所述，，为2或21.2或20或19时，△8CA为等腰三角形.

故答案为：工2或21.2或20或19.

2

c

24.（12分）（2023秋•鹿城区校级期中）如图1,射线18〃射线C