流体力学 课件 第二章 流体静力学

第二章流体的平衡研究内容：处于平衡状态下的力学规律及在工程中的应用平衡（静止）状态绝对静止（平衡）状态：以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对惯性参考坐标系没有运动时的状态。相对静止（平衡）状态：当流体相对惯性参考坐标系有运动，而相对某非惯性参考坐标系没有运动时的状态。主要内容作用在流体上的力流体静压强及其特性流体平衡微分方程流体静力学基本方程压强的计量液体的相对平衡静止液体作用在固体壁面的总压力§2-1

作用在流体上的力表面力作用在流体上的力质量力一、表面力表面力：作用在流体中的所取某部份流体（分离体）表面上的力，也就是该分离体周围的流体（既可是同一种类的流体，也可是不同种类的流体）或固体通过接触面作用在其上的力。如：压力，内摩擦力（切应力）

F

切向力在流体中任取一块流体，其体积为V，表面积为A，在这块流体上任取一微元面积δA，作用在其表面上的力为δF，分解为

Fn

法向力法2(N/m2)(N/m2)

A

A

0向力：p

lim

Fn

A

A

0切向力：

lim

Fτ法向力又称为压强δFδFnVA

V

a

a

δFτ

V

g

δAzyx质量力：作用在流体内部所有流体质点上并与流体的体积或质量成正比的力，又称体积力。例如：重力、惯性力、磁力二、质量力在这块流体上，取一流体微团，其体积为V，由于地球引力的作用，产生的重力为ρgV。由于流体存在加速

单位质量流体的质量力用f

表示在笛卡尔直角坐标系中：度a，根据达朗贝尔原理，虚加的惯性力为

Va

。

x

y

zf

f i

f j

f

k

δFδFnτVA

V

a

a

δF

V

g

δAzyfx

，fy

，fz表示f

在直角坐标系x轴，y轴，z轴上的投影。

x在重力场中，fx

＝

fy＝0，fz＝

g

法向应力(压力)p

表面力

切向应力

和表面张力

(一般不考虑)

质量力(体积力)

重

惯性力力流体所受的作用力§2-2

流体静压强及其特性静压强：静止流体内的压强。绝对静止和相对静止静压强的两个特性：流体静压强的方向指向作用面的内法线方向。静止流体中任一点静压强的大小与其作用面的空间方位无关，只是该点坐标的函数，即同一点上各方向的静压强均相等。特性1的证明流体中任意点所受的力均可分为切向应力和法向应力。向应力。因为静止，故只存在压力。若流体受拉力作用，要发生运动若作用力不垂直，则可以分解成法向和切向应力，不能满足平衡状态的要求。dy当流体处于静止，du

0

，故切应力

0

，所以，只存在法F特性2的证明同一点上各方向的静压强均相等。p1p2Ap3p1

p2

p3

p(x,

y,

z)表面力质量力f

dxdydz61

受力分析xzyACBDdxdydzpxpzpypn

p

BCDn

2

1

pydxdz

2

1pxdydz

2

1zp

dxdyx方向的力平衡方程2

6x

n

n

x1

p

dydz

p

BCD

cos(

p

,

x)

1

f

dxdydz

0由于令流体元缩为一点，即2

6x

n

n

x1

p

dydz

p

BCD

cos(

p

,

x)

1

f

dxdydz

02n

BCD

cos(

p

,

x)

1

dydz3x

nxp

p

1

f

dx

0dx

0px

pn同理：py

pn,pz

pnpx

py

pz

pn

p(x,

y,

z)只要流体内部无切应力存在，无论流体是处于静止还是流动状态，流体内任意点的压强大小都与其作用面的方位无关，只是空间点位置的函数。该结论无论是对绝对静止、相对静止的流体，还是对于流动的理想流体

(流体质点间可能有相对运动）都成立。对于粘性流体，如果流体质点间存在相对运动，则流体中就会产生切应力，此时流体中一点的法向应力（相应于静止流体中的压强）在不同方向的大小可能不相同。讨

论§2-3

流体平衡微分方程质量力

f

dxdydz表面力：法向应力x方向右表面受力

x

2(

p

p

dx

)dydzz(

p

p

dx

)dydz

x

2一、欧拉平衡微分方程受力分析左表面受力xf

dxdydzx方向(

p

p

dx

)

x

2x

p

dx(

p

x

2

)fxdzdxdyyfyfzpx方向流体处于平衡（静止）状态，则x

x

x

2

x

2

F

(

p

p

dx

)dydz

(

p

p

dx

)dydz

f

dxdydz

0

xx

f

dxdydz

p

dxdydz

0

1

p1

p同理得：

f

y

y

0

f

z

z

0

f

1

p

0

x

x

(

p

)

p

dx

x

2xz

p

dx(

p

x

2

)fxdzdxdyyfyfp

z

流体平衡微分方程，又叫欧拉平衡微分方程，是欧拉在1775年提出的。写成矢量形式为：f

p

0▽为哈密尔顿算子1

1f

gradp

0

或

x

i

y

j

z

k

p

p

p

p

i

x

j

y

k

z

(i

x

j

y

k

z

)

p压强梯度流体平衡微分方程：建立了作用在静止流体上的表面力和质量力相互平衡的关系式。二、压强差公式及等压面将欧拉平衡微分方程式两边同乘以dx、dy、dzx

y

z

x

y

z

(

f

dx

f

dy

f

dz)

p

dx

p

dy

p

dz

dpdp

(

fxdx

fydy

fzdz)压强差公式

z

0zyx

1

p

0

f

f

y

x1

p

f

1

p

0

dx

dy

dz相加整理得到压强差公式：等压面：压强相等的点组成的面dp

0fxdx

fydy

fzdz

0等压面。重力场中，任何均质的静止流体的水平面都是等压面。

f

fx

i

f

y

j

fz

k

ds

dxi

dy

j

dzkf

ds

0f

ds

作用在静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面微分方程三、质量力的势函数和有势力x

yzf

,

f

,f

x

y

zx

y

z

dp

f

dx

f

dy

f

dz因为dp是压力的全微分，所以ƒxdx+ƒydy+ƒzdz也可称作是某一函数（-

）的全微分，其必要且充分条件为：

fx

=

fz

,

fz

=

fx

,

fx

=

fy

z

y

x

z

y

x

f

grad

(

x

i

y

j

x

k

)单位质量流体的质量力是

的负梯度。

函数称为质量力的势函数，有势函数存在的质量力成为有势力。

的物理意义：

的偏导数为质量力在各坐标轴的投影，而流场中空间任意点均存在质量力，所以，这个空间可叫做质量力场，或叫势力场。若空间A点处单位质量的流体在质量力的作用下移动了dl的距离，则质量力作功为：

f

dl

fxdx

fydy

fzdzf

grad

对于不可压缩流体，

=常数，d

p

dx

dy

dz

d

x

y

z

p对于可压缩流体，

常数，

p对于完全气体的等温流动，满足状态方程

RT0

ln

pRT0p对于完全气体的等熵流动，满足过程方程p

c

kk

pk

1

§2-4

流体静力学基本方程一、重力场中液体的平衡方程在自然界和工程中，通常质量力只有重力的情况fx=0；fy=0；fz=－gdp

gdz

dp

dz

0

g对于不可压均质重力流体，

＝常数积分得

gz

p

Cx

y

z

dp

f

dx

f

dy

f

dz代入

gz

p

C

g

p2

g

p1z2

z1静力学基本方程适用于只有重量作用下的处于平衡状态的不可压均质流体，对非均质流体是不适用的。自由面

zhp012z2z1流体静力学基本方程静力学基本方程的物理意义及几何意义物理意义z：单位重量流体的位能p

g单位重量流体的压强势能p0zx绝对真空p,Ga设测压管截面积为s，则压力为p·s，重量为Ｇ的流体流过横截面时流过横截面的体积=

G

g流体上升的高度＝pG

h

g

s在a点的压力为p，接上测压管后，由于p的作用，流体在压差的作用下，沿管向上流动。G

pGhpzp

gz

p

z

h

压力作功＝压力×上升高度

p

s在a点和b点的静力学基本方程bp

g

s

gph

g几何意义z：单位重量流体的位置高度，或位置水头p

g单位重量流体的压强水头p0H1绝对真空

2z2

z1Hph1

g

gh

p2流体静力学基本方程的意义在不可压静止流体中，任意点单位重量流体的总势能保持不变。或者，对某一基准线，任意点静水头的连线为一水平线。压强水头静水头位置水头思考题举出几种不同性质的质量力。举例说明流体静压强的第二特性。推导完全气体的等熵流动p

c

k

，求质量力的 势函数静力学基本方程的物理意义及几何意义上一节授课内容作用在流体上的力：质量力和表面力流体静压强及其特性流体静压强的方向指向作用面的内法线方向。同一点上各方向的静压强均相等。流体平衡微分方程压强差公式流体静力学基本方程1f

p

0

dp

(

fxdx

fydy

fzdz)

gz

p

C二、压强计算公式h

p0

0

p

g

g可得压强计算公式：p

p0

gh§2-4

流体静力学基本方程p0zxhz=0,基准面pa列点a和自由液面间的静力学基本方程

gz

p

C静力学基本方程p

p0

gh物理意义1)深度为h处的压强等于自由表面的压强p0加高为h，底为１的液体的重量，并且压强随深度h按线性关系变化。自由表面压强p0的任何变化，均会引起液体内部压强p的变化。帕斯卡原理：液面的压强以不变的数值在液体内传递如：水压机，液压传动装置在静止流体中，深度相同的诸点压力均相等。在均质重力流体中，等压面为水平面，因为h＝常数。对非均质流体（即非同一种流体），虽为同一水平面，但却并非全是等压面。若F增大或减小，液体仍处于静止平衡，则液体内任何一点的压力也随之增大或减小。由此可得结论：在平衡液体中，作用在液体部分边界面上的外力所产生的压力将均匀地传递到液体的每一点上去，这就是著名的帕斯卡原理。也是水压机液压传动装置的设计原理。若p0改变，则作用在流体内任意点的压力将会发生相应改变。如图所示：容器上加一活塞作用力为F，活塞面积为Ａ，则：A

Fp0液体中任意一点的压力为：

ghAFp

p

gh

0Fp0ph§2-5

压强的计量pa

gh

pv

gh标准大气压海平面z＝0密度

0=1.225kg/m3温度T0=288K=15oC压强p0＝101325Pa=760mmHghaphpv一、绝对压强和相对压强大气压强当地大气压强随当地经纬度，海拔高度及季节，时间的不同而不同。水银气压计绝对压强

p以完全真空状态为基准计量的压强。相对压强:以大气压强为基准计量的压强。表压强pg

（计示压强）

p>papg

p

pa真空pv

（真空度）p<pa当表压强为负时习惯上用真空度来表示。pv

pa

p压强的单位帕斯卡Pa，工程大气压at，标准大气压atm，巴ba，米水柱，毫米汞柱1

atm=10.33mH2O=760mmHg=101325Pa1

bar=105Pa已知：油相对密度为0.68,水层高0.09

m，求：油水界面和油箱底部压强。解：油水界面压强p1

pa

gh

pa

0.68

1000

9.8

0.5

pa

3.33

103

Pa

用表压强表示3m水油层高

0.5

m，

＝

1000

kg/1g

1ap

p

p

3.33

103

(Pa)油箱底部表压强p2g

p2

pa

p1g

水gh水

Pa

3.33

103

1000

9.8

0.09

4.21

103例题pa二、液柱式侧压计1、测压管测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上。pg

gh优点：结构简单，测量直接而准确；缺点：只能测量较小的压强为减轻毛细现象的影响，玻璃管直径一般不小于10mmpv

ghhpg

Ahpapapv在连通的同一种静止流体中，如果两点高度相同，则它们的压强相等。当沿着液柱向上移动时，压强减小，向下移动时，压强增大。等压面：两种液体的分界面

2

p

p1

p

1

gh1

pa

2

gh2找等压面

p1＝p2联立，则p=pa+

2gh2

1gh1计示压强为：pg=p

pa=

2gh2

1gh1当被测流体是气体时，

1gh１这一项通常忽略。2、U型管式测压计等压面U

型管测压计可用来测气体或液体压强注意选取恰当密度的指示液以适应不同大小的被测压强；水银，酒精，水，CCl4

(比重1.595）。还可用作差压计pA

1gh1

2gh2

3gh3

pBpA

pB

2gh2

3gh3

1gh1等压面复式压差计测量

p

pA

pBz1气体

z3

)

2

g(z4

z3

)

pBpA

2

g(z2

z1

)

1

g(z2

z1

z4

z3

)

1g(z2

z3

)

p

pA

pB

2

g(z2pA

p1pB

p4位置上升压强减少位置上升压强减少位置下降压强增加

1

23.倾斜微压计测量微小流体压强提高测量精度可调倾斜角

的玻璃管与一大容器相通，当p1=p2，即微压计未感受到压差时，液面在同一水平位置，如虚线所示。当p1<p2时，即有压差时，玻璃中液面上升长度l

，液面上升高度h1

l

sin

，A2液2

2

2

122A面下降h

，由A

h

=A

l，则

h

A1

l则两液面实际之高度差为：1

2A

h

h

h

l

sin

l

A1

l

sin

A1

A

2

2

酒精等压面找等压面，则：p2

p1

gh2

12A

p

p

gh

gl(sin

A1

)

Kl当A1，A2，

不变时，改变

，可得不同的K值。K=0.2，0.3，0.4，0.5，0.6.称为微压计常数AA2其中：K

g(sin

1

)酒精等压面

13.6

1000

0.30

9.8

0.90

1000

1.20

0.20

9.8

2.76

104

Pa

h3

g

油

h1

h2

gp空气

水银例题储油箱内油的相对密度为0.90，油箱顶部封存有部分压缩空气，U型管测压计指示液为水银，相对密度为13.6。求压缩空气强(计示压强)。已知：油相对密度0.90，水银13.6h1

1.2m,

h2

0.20m,h3

0.30m求：压缩空气压强。解：p空气

油

h1

h2

g

水银h3g

0

z

ax任取一流体质点m，作用在其上的质量力为dp

(

fxdx

f

ydy

fz

dz)

(

adx

gdz)f

(

a,

0,

g)代入压强差公式积分得到边界条件：p

g

ax

gz

cx

0,

z

0,

p

p0p

p0

g

ax

gz

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡§2-6

流体的相对平衡c=p0流体静压力分布规律0p

1

a

等压面为一系列与水平倾斜的平面

tg

ggsz

a

x

hazx

p

g

zs

z

p0

p0

ghh

是自由面下深度。等压面方程自由液面方程积分得到dp

(

fxdx

f

ydy

fzdz)

0adx

gdz

0自由表面上有：液体内部有：x

0时，z

0

c

0x

0时，z

zsax

gz

cax

gz

cax

gzs

0以淹深表示的静压强分布p

p0

g

ax

gz

ax

gzs

0等加速水平运动容器中液体的静压强公式与静止流体中的静压强公式形式完全相同。即液体中任一点的压强等于自由表面上的压强p0加上作用于该点处淹深为h的单位面积上的液柱重力所产生的压强

gh。结

论体积力：f

(

2

x,

2

y,

g)dp

(

2

xdx

2

ydy

gdz)积分得到：

z

cg

2g

2

r

2

z

c2g

2

(x2

y

2

)p

g

自由面条件：r

0,0

z

0,

p

p

z

p0

2

r

2p

g

2g二、匀速转动容器中流体平衡流体静压力分布规律y

2

yx

2

xrorRzp0zhozsz

c2g

2r

2轴对称旋转抛物面应用：洗衣机、离心铸造、石油，化工、制药，环保（油水分离机）自由面方程：等压面方程自由液面方程以淹深表示的静压强分布dp

(

fxdx

f

ydy

fzdz)

0

z

2r

2

gzs

02grs2

2

2p

p

gh02gzs

2r

2

2

r

2p

g

2g

z

p0r

0，z

0时

c

0结

论等角速旋转容器中，液体的静压强公式和静止流体中的静压强公式形式完全相同。注意：在利用上述公式作习题时，所选坐标一定要和公式推导时所选的坐标一致。

7000 kg/m3

,

20

rad/s,

R

D

/

2

0.45m,

h

0.2m求：A

A圆盘受铁水的作用力

2r

2

p

p0

g

2g

z

A

A面的压强

2gR

2r

2F

g

08g

2

2

R4

hR2

h

2

r

dr

2

g

F

897

(kN)离心铸造

例题2R

RR

h04g

2r2

2R4

0

0V

2

rhdr

2

r

h0

2g

dr

由于体积

R2H

不变2

4

R4g

R2H

R2h0

如图所示一半径为R的水杯绕垂直轴以恒定角速度

旋转，杯内旋转抛物液面最底点距杯底高h0。杯静止时，液面高H.试求旋转角速度

和液位差

H-h0

之间的函数关系。解：设旋转杯内半径r

处的自由液面高为h,则杯内液体体积为，R

Hrh0h例题szzs思考题表压和真空的异同？用真空表测量流体压强时，真空表的读数为20kPa，若当地大气压强为98000Pa，则流体的绝对压强为多少？作业2-2,2-3,2-4,2-6上一节授课内容

gh压强计算公式：p

p0压强的计量绝对压强表压pg真空pv相对压强测压管U型测压计压强的测量倾斜式微压计等加速水平运动容器中液体的相对平衡液体的相对平衡匀速转动容器中流体平衡§2-7

液体对固体壁面的总压力F

A

dF

A

p0

gy

sin

dA

p0

A

g

sin

A

ydA静止液体作用在平面的总压力微元面dA处的作用力dF

p0

gy

sin

dA一、静止液体作用在平面的总压力ohDhchdpdAcDyDycxyFp0

0微元面dA处的压强p

p0

gh

p

gy

sin

oDhchhdpdAcDyDcyxyFp0

A

ydA平面A对ox轴的面积矩cy

为平面A的形心C到ox轴的距离又有yc

sin

hchc为形心的淹深总压力F

p0

A

g

sin

A

ydA

p0

ghc

A静止液体中，作用在平壁面上的作用力，等于作用在该平壁面上形心处的静压强与该平壁面的乘积，且作用方向为垂直该平壁面。c

AydA

y

A若自由液面上的压强为大气压，且壁面的另一侧面也处于大气压强作用之下，则只需考虑静止液体的作用力，而不计大气压的影响。cF

gh

AoDhchhdpdAcDyDycxyFp0

总压力F

作用点（压力中心）yD

位置总压力F

对ox轴的力矩等于各微元面上的力dF对ox轴力矩的总和DFy

pdA

y

g

sin

y2

dA

A

Ay

dAAxI

2面积对ox轴的惯性矩一般有yD

yc压力中心位于形心的下方ohDhchdpdAcDyDcyxyF

xD

g

sin

IxDyF

g

sin

I

I

gyc

sin

A yc

A

x

x

解：2

1000

9.81

5

32

441

kNh

h

2

sin

cF

p

A

g

b水下平板，求：总压力和压力中心h

3m,宽b

5m,

30o

gbh

4m3

bl

/

3

2

l

2hbl

2

/

2

3b y

dyy

AI

xlc

cy

A

(l

/

2)

l

bDy

3sin

022

A

y

dA

压力中心位于距离底部的(L/3)处。

hFyDlpc例题ODy二、静止液体作用在曲面的总压力dAdFdFpzdFpx

dAxdAzAzhhcabcdpadFoAdAxzAxdF

ghdA作用在dA上的总压力为:

dF

=dFpx

dFpz

总压力的水平分力dFp

x

ghdAcos

ghdAx总压力的X

方向分量Fpx

dFpx

ghdAx

ghc

AxAxhc是Ax的形心距离自由液面或其延长线的淹深为曲面ab上的液柱体积a

b

cd，又称为压力体。压力体是压力的垂直分力作用在dA上的垂直分力为：dFpz

ghdAsin

ghdAz则压力的垂直分力为Fpz

dFpz

ghdAz

g

hdAz

gVpAz

AzAz个体积，它是个纯数学概念，与这个体积内是否充满液体无关。即总压力的垂直分力等于压力体内液体的重量。

hdAz

Vp总压力大小F

pxpzF

2

F

2总压力方向角

tg

1

F

pz

F

px

dAdFdFpzdFpx

dAxdAz压力体例子压力体与其内部是否有液体无关zVp

A

h

dAzabdabcc

cdabVpVpVp

V

p

压力体积：受力曲面与自由面在垂直方向构成的空间体积压力体是指所研究曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间所包围的一块空间体积。bb

aa

cd该容器由两个形状、尺寸和淹深完全相同的二维曲面组成，容器内盛有某种液体。若研究该种液体对曲面ab和a

b

的垂直作用力，可通过压力体计算求得。Fpz1bb

aa

c

d

c

dFpz2在分析求解静止液体作用在曲面上的总压力时，可依下列步骤进行：将总压力F分解为水平分力Fpx和垂直分力Fpz；计算水平分力Fpx；确定压力体Vp的体积和计算对应的垂直分力Fpz；计算总压力F；确定总压力方向

。求解过程阿基米德浮力定律Vp1Vp2VpVp

Vp1

Vp2

F浮=F1

F2

g

Vp1

Vp2

gVp沉体受到的浮力等于排开的液体重量。有一贮水容器，其壁面上有三个半球形的盖子。已知d=0.5m，h=1.5m，H=2.5m，水的密度为1000kg/m3。Hdd132d求作用在每个盖上的作用力。pah例题zxHd13

d2dpah对于底盖1，因为作用在盖子左半部和右半部的总压力的水平分力大小相等，方向相反，因而总压力的水平分力为0。底盖1的总压力等于总压力的垂直分力：

2

2

6

4

d

2

h

1

d

3

Fpz1

gVp1

g

H

4

2.5

6579N2

2

6

1000

9.807

1.5

1

0.53

0.52

对于顶盖2，与底盖1类似，其总压力的水平分力为0。顶盖2的总压力等于总压力的垂直分力：

6

d

2

h

1

d

3

gVp

2

g

4

H

2

2Fpz

24

2.5

3049N2

2

6

1000

9.807

1.5

1

0.53

0.52

zxHd13

d2dpah对于侧盖3，其总压力的水平分力为：

d

2Fpx3

ghc

Ax

gH

0.524

1000

9.807

2.5

4841N4侧盖