流体力学 课件 第五章 管内流动与管路计算

第五章黏性流体的管内流动与管路计算主要内容黏性流体的层流与紊流状态管内流动能量损失的类型圆管中的层流流动黏性流体的紊流流动沿程损失系数的实验研究非圆截面管路沿程损失的计算管路中的局部损失管路水力计算管道水击现象§5-1

层流与紊流状态一、雷诺实验(Reynolds

1883年)二、雷诺数Re

Re

dd

v层流与紊流现象判别流态仅靠临界速度是很不方便的。因为临界＝f(,d)，所以随

、d

变化，临界也在变化。Re

临界d临界雷诺实验的结果指出：不论什么流体，以及管径如何变化，有：

13800

Re

2320下临界

Re上临界层流到紊流紊流到层流雷诺数Re的物理意义惯性力

ma

m

d

l3

l

2

2dt

t粘性力

A

d

l

2

l

dy

lRe粘性力

l

惯性力

l

2

2

l

l

Re较小时，粘性力占主导，流体质点不易横向脉动，流动为层流；Re较大时，惯性力占主导，流体质点做横向脉动，流动为紊流11pp2g2g

2

2z

g

g

1

1

z2

2

2

2

hw单位重力流体1-2截面之间的能量损失(或流动阻力)hw

:

hj1-2

截面之间沿程能量损失(或沿程阻力)达西一威斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式hw

hf1-2

截面之间局部能量损失(或局部阻力)

2hj

2gl

2hf

d

2g§5-2

管内流动能量损失的类型圆管内充分发展的层流§5—3

圆管中的层流流动长水平等直径圆管，不可压缩粘性流体定常流动，流体充满整个管道截面，并为充分发展的层流流动。lp1p2ru(r)r0x

u

0

x（由连续方程得）

(截面平均流速)N—S方程式可写为:

y

022

p

p

0

2u

y

z

p

2u

x

z对于圆截面管道，采用圆柱坐标系,设轴线方向为x方向

y2

z2

2u

2u

1

dp

dx1

u

1

dp

dx(r

)

r

r

r222

21

u

1

2u

2ur

r

r

r

x拉普拉斯算子：

u

(r

)

上式可简化为:1

d

(r

du

)

1

dpr

dr

dr

dx积分可得du

1 dp

r

Cdr

2

dx

11所以积分常数C

=0，则上式为：dr由于流速分布的对称性，在管道轴线上速度值最大，即当r=0时，du

=0du

1 dp

rdr

2

dx再积分，得24

dxu

1

dp

r2

C当时，u=0，则积分常数02r

d

r20。代入上式得流速分布：21

dp4

dxC

r

2

201

dp4

dxu

r-

r边界条件:0r=0r=r

u=0du

0drd0r0ruumaxr0drr在管道轴线上，速度为最大值max0

gh4

l

f

r2u通过管道截面的流量

r02

2

0

0

r40

08

lr

r

2

rdr

f

Vr0

ghq

u2

dr

f

gh

4

l哈根一泊肃叶公式截面上的平均流速0max2012r2

uf

ghq

qA

r

8

l

V

V

d

p

p

2

p

1d

x

ll

g

h

f

0r

2

d

2

8

l

32

l

f

gh沿程能量损失，简称沿程损失,又称沿程阻力沿程损失公式hf32

l

64

l

64

ld

2

g

R

e

d

2

g

2

2

gd

2

d

..

.

.或写为f

h

l

2d

2g为沿程阻力系数式中Re

=

64

du

-

ghfdr

2

lr牛顿内摩擦定律dr

dudu

-

dr

2l

ghfr

0rd

0

ruumaxτw在管壁处，r=r0，τ=τw为最大切向应力，则0fw2l

gh

r

2

201

dp4

dxu

r-

r

r

w

r0将u

的表达式和平均速度

的表达式代入动能修正系数公式，得1

1A

r0r

3r2

u

3

dA

A

0

r0

2

2

1

2

rdr

202

即，流体在圆管中作层流流动时，其动能修正系数α=2。动量修正系数:2031A1Ar2

rr

2r2

u

2

2

1

2

rdr

40

dA

0

0

2

2p

r

p

r

2

rl

0r0wl

rlr0p

p

2

1p

1

p

22

2

1

2

w

r

压力和粘性力的平衡切应力沿管径线性分布x换一种思路—流体微元受力分析一、紊流的脉动现象和时均值流体质点不断地互相混杂和碰撞，必然引起流场中空间各点的流速和压强随时间的波动。从本质上讲，紊流是一种非定常流动。t0t0

Tuiuu

uit时均速度u

和脉动速度u

瞬时速度时均速度00't0t0(u

u

)dt

1T

1Tit

Tt

Tu

u

dt

§5-4

粘性流体的紊流流动ui

u

u

m

.

……x脉动速度脉动速度的时间平均值为零定常与不定常紊流、流线、伯努利方程等均依据时均速度判断和计算。空间某点的瞬时速度为ui

u

u

u

ui

ut0t0

Tuiuu

uit''0t0

1Tudt

0t

Tu

pi

p

p

由于湍流的脉动速度，流体质点混合碰撞，引起动量传递，产生附加应力，叫湍流应力（雷诺应力）沿垂直于流动轴的截面（即径向）也有脉动其脉动速度对时间的平均值也为零压强也处于脉动状态脉动压强p

的平均值也等于零，即：0t0

1Tp

dt

0t

Tp

AA在工程上，均采用流动参数的时均值去研究紊流运动。并

且，对紊流而言，某截面的平均流速定义为:

1

udA二、紊流附加切应力(雷诺应力)紊流总切应力：

1

2粘性剪切应力，可由牛顿内摩擦定律计算，du

1

dy由紊流的脉动速度引起的。故又称为紊流附加切应力或雷诺应力。按普朗特动量传递理论进行推导。yly12dAud

yu

l

d

uxl

d

ud

y普朗特混合长理论0

快层u

u

u

u

u

u

慢层u

u

u

与

为同一数量级dy

~

u

~

l

du22

2dudut

dy

l

dy

其中2dudyt

l

t

紊流粘性系数或虚粘度，因为

t不是单由流体的物性决定，而是和流动有关的变量。对紊流而言，沿流动方向总的切应力为1

2tdy

t

dy

dy

du

du

du三、紊流结构，“水力光滑管”与“水力粗糙管”1、紊流结构粘性底层δ0紊流紊流核心粘性底层δ0粘性底层的厚度

增加，随Re而变化，Re上升，

0下降；反之，Re下降，

00通常，计算粘性底层厚度

0

的半径验公式有0Re0.875

58.31d或0

32.8dRe

式中:

d—圆管内径；λ—管路沿程损失系数。2．光滑管与粗糙管

d绝对粗糙度：△相对粗糙度：Δ(a)水力光滑(b)水力粗糙水力光滑管：

0水力粗糙管：

0

“水力光滑”与“水力粗糙”是个相对概念。

xy0x紊流核心粘性底层区0（1）粘性底层区（y≤δ

）在粘性底层区，由于2可以忽

略，故有：du

w

dy将上式分离变量并积分，得：1

u

w

y

c边界条件：壁面上，y=0，u

0，因而c1=0，代入上式，得粘性底层区的速度分布为：y

0y

u

2

v

vu

w

y

w

y

w

摩擦速度

u

速度分布为直线分布四、紊流的流速分布0区

u

次），则粘性底层区的速度分布式又可写成：如果再令

l

v

，并且称

l*

为摩擦长度（因为

l*

具有长度因0y

u

l

u

y处）的流速为ub，则由上式可得如果令粘性底层与紊流交界处（即y

0ub

0u

l

0b

a

u

au

al

式中α为待定未知量。（2）紊流核心区（）在紊流核心区，0y

2

1

因而dydu

1

并等于

w

，故可忽略不计，并且，假设在整个紊流区域内切应力为常数22

2wdu

l

dy

或

22u

w

l

2

du

dy

根据观察，普朗特假定混合长l

与流体离开壁面的距离y成正比，即l

kydyu

ky

du将上式分离变量并积分，得到：u

u

ln

y

ck

2由边界条件：y

0

时，u

ub

，则0ku

c2

ub

ln

代入前式，可得到0yu

u

u

(ln

y

ln

)

u

ln

u

k

0

b

k

b

u

l

0

l

ub

0bu

u

代入0yu

u

u

(ln

y

ln

)

u

ln

u

k

0

b

k

byu

u

ln

auk

al

或u

1

u

yu

k

ln

c紊流核心区的速度分布为对数曲线。v

湍流区，速度对数分布层流底层，速度线性分布尼古拉兹由水力光滑管的实验得出u

u

yu

2.5ln

v

5.5上式适用于光滑管,在直到管中心的区域内都与实验数据吻合良好。对于管内流动，y=r0-r，其中r0为圆管的内半径，则上式又可写成u

r

r

2.5

ln

0

5.5vuu

5.75

lg

0

5.5vu

r

r

显然，在r=0处，速度最大，则maxvvu

ru

r

u

u

(2.5

ln

0

5.5)

u

(5.75

lg

0

5.5)00001rA

r截面平均速度为

qV

r0

u2

rdr

2

r0

urdr2

2

vu

u

5.75lg

u

y

5.5对于尼古拉兹的实验结果截面平均速度为

0000ryl

(2.5

ln

5.5)

r

y

dyl

u

r

2ur

2

u

(2.5

ln

r0

1.75)

u

(2.5

ln

0

1.75)v

0

1.75)vu

r

因此：

u

(5.75lg20

r此外，由于

qV

，故上式又可改写成：20

V

qu

r

r

u

(2.5

ln

0

1.75)v计算光滑管的紊流速度还有一个更方便的指数方程。即：max0nyru

u

(

)当Re

1.1

105这就是常用卡门七分之一次方定律。7时，n

1适用于水力粗糙管的有关公式如下：紊流核心区速度公布为：u

u

(2.5ln

y

8.5)

u

(2.5lnr0

r

8.5)

管内平均速度为

u

(2.5ln

r0

4.75)

管内最大速度发生在y=r0，或r=0处，maxu

u

(2.5ln

r0

8.5)

0yu

u

u

3.75

2.5ln

rumaxu

u

3.75§5-5

沿程损失系数的实验研究对层流而言无论层流还是紊流，沿程损失均可按l

2hf

d

2g

64Re对紊流通过实验，归纳出经验公式和实验曲线图。

Re,

d

一、尼古拉兹曲线尼古拉兹实验人工粗糙管壁,把均匀粒度的沙粒贴附在管壁上.实验范围为：Re

6

102

~106

1

~

1d

30

1014尼古拉兹曲线1、层流区（ab段）：Re<2320，流动为层流，λ=f（Re）。Re64或

2、层流向紊流的过渡区（bc段）2320<Re<40003、紊流区当Re>4000时，流动进入紊流状态，流动又分为三个区域。（1）紊流水力光滑管区（cd段）

d

8/

74000

Re

26.98

几个半经验公式：当4000<Re<105时Re

0.25

0.3164勃拉休斯（Blasius）公式由，hf可看出：l

2

d

2gfh

1.75

当105<Re<3×106时Re0.237

0.0032

0.221尼古拉兹光滑管公式（2）紊流水力粗糙管过渡区（cd-ef区间）)

0.858)

72

Re

4160(26.98(d

dd

f

(Re,

)

2.51

经验公式：

1

2lg

Re

3.7d

阔尔布鲁克公式（3）紊流粗糙管平方阻力区（ef

线以右）2

Re

4160

(

d

)

0.85d

f

(

)由l

2hf

d

2gf所以，h

在此区域做管路阻力实验时，只要两组流动的相等，，故该区域称为平方阻力区。

d且Re>4160(

d

)0.85

，则λ就自动相等，而不必要求两组流动的Re2

相等。故平方阻力区又称为自动模化区。1

4

lg(3.7

)

d

2

尼古拉兹粗糙管公式

0.25

d

0.11

希夫林松公式2二、莫迪图莫迪（Moody）以阔尔布鲁克公式为基础，对大量工业管道做实验,得出了莫迪图。工业用管道的绝对粗糙度Δ是难以直接测量的，而是通过实验计算出来的。测出管道的沿程损失hf和管道截面平均速度求出λ值由尼古拉的粗糙管公式反算出Δ

e

R

d莫迪图§5-6

非圆截面管路沿程损失的计算非圆截面管路沿程损失的计算：l

2dｅ

2ghf

Re

dｅv非圆管道的圆管道中的对非圆管道，雷诺数为

d

dｅ当量直径则定义为4

Adｅ

x

4R式中：A—过流截面面积；x—湿周；R—水力半径。d

4ab

2ab2(a

b)

a

be2

12

14e4

1

(d

2

d

2)d

d2

d1

d

da对充满流体的矩形截面管道bd2d1应用条件：长边长度≯8倍短边长度充满流体的环形截面管道应用条件：d2

>3d1充满流体的管束（流动为垂直于纸面方向的纵掠）

d

d

4S1S21

2

dd

44(S

S

d

2

)当dS1S2非圆截面的形状与圆形偏差越小，运用当量直径而产生的误差就越小§5-7

管路中的局部损失局部损失

2hj

2g一、管道截面突然扩大z1z2G

θp2LIp100IIII12截面Ⅱ-Ⅱ处流体的压强为p

，1

，截面积为A

。流速为

流速为

2，截面积为A2截面I-I处流体的压强为p1，列I-I至Ⅱ-Ⅱ截面的伯努利方程，则有Ipp

2

2

g

2g

g

2gz1

1

1

z2

2

2

hj则：1hj

(z1

pp

2

2

g

2g

g

2g

1

)

(z2

2

2

)

1

2

再列出I-I至Ⅱ-Ⅱ两截面沿流动方向的动量方程，则有：

F

p1

A1

p2

A2

p1

(

A2

A1)

G

cos

qV

(

2

1

)其中p

1为作用于旋涡区环形面积上的压强，近似认为p

1≈p1，z1z2p2p1θGL00IIIIIIp1

1G

cos

gA2

L

cos

gA2

(Z1

Z

2)另外再将qV

A2

2代入动量方程，则方程简化为：

2(

p1

p2

)

A2

gA2

(z1

z2

)

A2

2

(

2

1

)p1

p2

z

z

2(

2

1)1

2

gg1hj

(z1

pp

2

2

g

2g

g

2g

1

)

(z2

2

2

)g

g2g2g

2

2

2

(

)2hj

2

2 1

1 2

1

2

包达定理222 1

)

1

1

1A2

2

ghj

(12

g

A

2

2

j1AA

2g

2

2g

2

h

( 2

1)2

2

即22A1A2A2

1)A

(

1

(1

1

)

2计算时，注意选用相对应的速度水头。管道与大面积水池相连接2

1

2

gh

j

AA2

2

1

1

A

A

12

1

1

是管道中的流体速度，动能完全消耗在水池中。二、弯管弯管的局部阻力主要包括两部份：（1）旋涡损失；（2）二次流损失。1．旋涡损失p凹AA’BCB’C’C’B’

p凸F高弯曲管道的外侧（即管道内壁的凹面）压强升高，速度降低，内侧（即管道内壁的凸面）压强降低，速度加大。凹面:A

B，压强上升，速度下降，B

C，压强下降，速度上升，凸面:A

B

，压强下降，速度上升，B

C

，升压减速区。2．二次流损失所谓二次流，即发生在垂直于流动的平面内的一种流动。EBB

E

流体沿壁面自外侧向内侧流动，同时，由于连续性以及离心惯性力的作用，B

处的流体则沿B

B线自内向外流动，在径向平面内形成了二个环流，即二次流。R/d对弯管局部损失系数

影响很大B

E

Bp

>p

>p

pB>pE

>pB

三、绕流阀门流体绕流阀门或闸板时，阀门或闸板前后，必然要形成旋涡，而旋涡的产生与维持旋转，必然要消耗流体的能量，即所谓节流损失。四、局部损失的计算大多数局部损失系数的确定主要靠实验。工程设计和计算时，可查阅有关流体阻力手册。五、减小局部损失的措施对于管内流动，流体的能量损失包括沿程损失和局部损失，hw

hf

hj对于细长的直管道和管道中管件较少的情况下，此时

hf为能量损失的主要部分；而对于大直径的管道和管道的走向较复杂，管件较多的情况下，则

hj为能量损失的主要部分。d1．管道进口尽量将管道的进口加工成圆滑的进口，实验证明，圆滑的进口可减少局部损失系数90%以上。bddαζ=1r

0.2d

0.03

40o

80ob

0.25

1.0d

0.1

0.22．弯管R采用合理的弯曲半径R（R为弯管轴线的曲率半径）d最好取1~4。对锅炉的烟风道而言，由于弯管的断面尺寸比较大，Rd为减小二次流损失，可在弯道内安装导流叶片。因此，只能采用较小的3．三通为减小流体流过三通的局部损失，可在总管中安装合流板与分流板，尽可能地减小支管与合流管之间的夹角。尽量将管件转角加工成圆角，使突然扩大和突然缩小改变成逐渐扩大与逐渐缩小，并选择最佳的扩散角。并尽量使管件的边壁接近流线型，以避免旋涡的产生。合流板分流板

2

d

2g

2gle

2当量管长：将局部损失折合成一段管道的长度，即相当于将管件的局部损失折合成管长为l当的管路上的沿程损失，即令则当量管长：l

d

e于是

2h

w

h

f

h

j

L

2d

2

gd

2

g

l

lｅ式中：l—管路实际长度；le—管路局部损失折合成的当量管长；

L=l+le—管路的计算管长。§5-8

管路水力计算在进行管路的水力计算时，还需掌握四个参数：流量qV，管路长度l，管路总水头H（或总能量损失hw），管内径d。而管路计算的任务共有三个，它们是：（1）已知qV

、l、d

求H（或hw），即求管路的总水头或总能量损失，。工程中，给水、排也可归结为求维持管路流动所需的总功率N=

g

qV

H水泵、风机的选择，即为此类问题。（2）已知qV

、H（或hw

）、l，求管径d

，即确定管道直径其该类问题在工程上反映为：管路走向已定，泵或风机（或其它装置）已经选定。此时，选用多大直径的管子才能确保供应流量为qV的流体。（3）已知d、l、H（或hw

），求qV

。即校核给定管路的流量。用于管路计算的公式也有三个，即：（1）连续方程（2）伯努利方程11pp

2

2

g

2g

g

2g

1

z2

2

2

hw

Ez

（3）管路能量损失公式hw=

hf+

hj其中：d

2

g2

gl

2hf

2hj

qV

A

1

A1

2

A2

常数在一定的流量范围内，确定管道直径d

的经济原则如下图所示管道成本

运行费d总成本=管道成本+运行费d0d0d

的最佳范围一、简单管路简单管路就是管路直径不变，没有支管分出的管路。在简单管路中流速沿流程不变。对于简单管路连续方程为：qV

=

A

=const管路能量损失公式为：

2w

)2gldh

(

0二、串联管路所谓串联管路即由几段不同管径的简单管路串联而成。串联管路有以下两个特点：串联管路的总能量损失等于各简单管路的能量损失之和；串联管路的总流量沿流程不变。qV

qV1

qV2

qVn

const

2

2

g

21122

1

2

211222

1

2

)

)

2

V

V

q

2A

2

2

glii(

i

)iil

1

2

gq

2

1

d1lA

2

2

g

(

)

(

(

)

(

1

d

1hw

hw

1

hw2

··

2

…l

2

d

2ldqA

2

gd

··

V

·1

1

2

2

n

n

A

A

A

const

因此：由连续方程给定

H

可求出

3

和流量23w2gH

h

l

dL3

d3Hld1

2g

2g d2

2g

2gd3

2gll

ld1

2gd2

2gd3

2g

2

2

2

2

2(

)2

l

2(

)2

lhw

(

1

1

1

)

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

(

1

1

1

)

1

(

2

2

2

)

2

(

3

3

3

)

3

33132312AAAA

33222

3

3

3w( )

])( )

]

i

i

ii

1h

[

ii

[

(

i

i

1AAi(

)

l

A

3

di

Ai

2g

2l

A

3

di

Ai

2g

2

qV11 1

3

L2

d2

23

32)(

)

]iH

[1

(

i

i

1l

A

i

3

3

di

Ai

2g

2332

i

)(

3

)3qV

A3

3

A32

i

)(

3

)2

gH2

gHl

Ad

i

Ai1

(

i

ii

1l

Ad

i

Ai1

(

i

ii

1

三、并联管路qV1qV2qV3d1d2d3几条简单管路或串联管路的入口端与出口端分别连接在一起，这样的管路就称为并联管路。并联管路有如下特点：（1）并联管路的总流

量等于各支管分流量之和。qVqV（

2

）并联管路中各支管的能量损失相等。pA1pBk12k

2B3k

3qv泵Aqvhw1=

hw2=hw3=

hwqV=

qV1+

qV2+

qV3各支管的能量损失再按简单管路或串联管路计算，对下图而言，则有，当忽略各支管的局部损失时，即将各支管按长管计算，则有：hf1=

hf2

=

hf3=

hf代入hf

的表达式2f

V

l

qd

A2

2

gh

可改写成：22qV

h2

gA2

d

h

f

K

f

l

l其中

K

2gA2

dK为流量模数，与流量qV具有相同的量纲。qV1qV2qV3d1d2d3qVqV121

2ll1

d

1

2g2

d

2

2g

2

2(

)

1

)

(

2

V

2)

3

2gl333

d

3

(

因：V

111h

f22q

V

33q

V

Kq

Klhl

2h

K

f

f

l

3

则有：f12Vqhl

K

1l

K2

K3l

3

2f)

2

V

q(

k1

k

2

k

3l1

l

2

l3h

并联管道的水力计算式并联管路流量分配计算方法及步骤：1）设q

V1′分支管路1通过的流量，并由△/d1设沿程损V1

f1；2）由q

′和

1

求h

′；失系数为

13)由hf1′（

hf1′＝

hf２′＝

hf３′）求qV2′（由△/d２设

2）、qV3′（由△/d３设

3

）；4)

令q

V

1q

V

1q

V

2q

V

3V

3(式中q

V

为总流量)VV

2q

;

q

VVq

q

Vｉ

qV

ｉ

q

Vｉq

q

5)用分配得到的qV1、qV2、qV3分别求hf1、hf2、hf3按4)重复计算即令:(

由Re、△/d查莫迪图),以校核流量分配的正确性。若误差在允许范围内,则即为所求,若误差校大,要V

3Vq

qq

qqV

1

V

1

qV

;

qV

2

V

2

qV

qVｉ

qVｉqV

3

qVｉ再重复计算步骤5）并联管路特性及流量分配实验qV

去水堰qV恒位水箱来流 1

2

3

4

5

1.测压管路球阀；2.测压管路游韧；3.

差压表；4.实验管路游韧；5.实验管路球阀2

zoH

1H

2d

15cm1

122l1l

2蝶阀开度400例：d=15

cm,

L1=30

m,

L2=60

m,

H2=15

m,

=0.023,

弯头=0.9,

阀=10.8。(1)求H1=10

m

时的流量；(2)若qV=60

L/s，水箱中水头H1为多少.

2

2

2

gH

1

hw解：(1)取缓变流断面1-1,

2-2,应用伯努利方程，水力损失，

2

21

2

2w

l

h

d

2

2

2g

2g

d

l

H

l

2

进口弯头

阀24Vq

1

d

2

体积流量，(2).如已知qV，则，

2

4q

1

H1

V

1

2

24

0.06

l

H

l

2

1

2g

d

d

2

2

2

3.14

0.15

16.1

13.1

1

17.8(m)12

9.81进口弯

阀

0.045

(m3/s)12

9.81

1041

2

3.14

0.152

0.0232gH4Vq

2

d

d

2

1

l1

H2

l2

进口

2

弯

阀

1

30

15

60

0.5

2

0.9

10.8

1

0.15

整理公式，例:d=50

mm,L=1.8

m,

=998

kg/m3,

=1.00

10-3

=0.2

mm,求qV.N.s/m2,

弯头=0.4,解：取缓变流断面1-1,

2-2,应用伯努利方程，0.13

m12

D=50mm总长L=1.8m12112

2

2(36

2.30)

2

2.551.8

(0.5

2

0.4

1)]0.052

9.81（1）pp2g2g

gl

2

2

g

z1

z2

hw

hw

0.13

2hw

2

[

d

2g

1.00

10

3Re

d

998

0.05

Re

49800

（2）（3）设

=0.03Re=43226

=0.031

Re=43000

=0.031

=0.864V

2

3

3q

d

2

0.05

0.0828

1.03

10 (m

/s)4

4于是，

0.200

0.004d

50利用（1）--（3）式通过莫迪图作迭代计算，

(1

)

(2)

Re

(3)及莫迪图

=0.868(36

2.30)

2

2.55查图查图1

[2.55/(36

2.6)]23.7Re

1

2.0log(

/

d

2.51

)

0.004

1

2.0log(0.00108

2.51

)d

Re

79,500

Re

49800

36

2.6

1

2.0log(1.08

10

3

3.16

10

5

36

2.6)

迭代

0031λ

的另一种解法(36