流体力学 课件 张兆顺 第1-4章 绪论、流体的物理性质 -理想流体动力学

流体力学绪论2.流体力学的研究对象和内容3.流体力学的发展史4.流体力学的研究方法1.本课程的主要内容2026/8/1325.本课程的预备知识本课程的主要内容2026/8/133定位：专业基础课注重流体力学基本概念、原理和分析方法内容：流体力学的基本原理和分析方法绪论

2

流体的物理性质 4流体运动学 8流体动力学基本原理 8理想流体动力学 12气体力学基础 12粘性流体动力学基础 12上半学期（期中测验）

本课程的主要内容4学时：共64学时（十一放4学时）

授课58（期中考试2、专题课

2?）

教材及参考书

-《流体力学》，张兆顺、崔桂香，清华大学出版社

-《流体力学理论例题与习题》，朱之墀、王希麟，清华大学出版社

-《Anintroductiontofluidmechanics》,G.K.Batchelor,CambridgeUniversityPress

-《张量算法简明教程》，吕盘明，中国科大出版社-《矢量分析与场轮》，谢树艺，高等教育出版社成绩：作业10%、期中40%，期末50%方式：上课、作业、考试；

根据研究课题，可提交研究报告(10%)+期末40%绪论2.流体力学的研究对象和内容3.流体力学的发展史4.流体力学的研究方法1.本课程的主要内容2026/8/1355.本课程的预备知识流体力学的研究对象和内容流体力学是什么？研究流体（液体和气体）的运动规律及其和周围物体的相互作用；研究对象物质状态固态、液态、气态、等离子态和超固态牛顿流体空气、水、油、血液…研究内容流体运动规律及其和周围物体的相互作用流动现象在自然界中非常普遍，流体力学的内容非常广泛。例如：环境、能源、运输、生物医学……2026/8/136飓风2026/8/137为何南北半球飓风旋转方向不同？海啸&海浪2026/8/138TSUNAMI：Japaneseterm(literallymeaning"bigwave")nowgenerallyusedforanunusual,verylargewaveorseriesofwaves.Tsunamisaregeneratedeitherbysubmarineearthquakes,bylandslidesorbyeffectsofvolcaniceruptions(suchasthecollapseofacalderainthesea).Tsunamishavelongwavelengthsandsmallwaveheightsontheopensea.Aswaterdepthdecreasesnearlandthewavelengthdiminishesandthewaveheightincreasesdramaticallywhichmayleadtocatastrophicfloodingofcoastalareas.Tsunamismaydeceivecoastalresidentsinthatawavetroughmayaarrivebeforethefirstwavecrest.？能源开发利用2026/8/139交通运输2026/8/1310生物医学2026/8/1311绪论2.流体力学的研究对象和内容3.流体力学的发展史4.流体力学的研究方法1.本课程的主要内容2026/8/13125.本课程的预备知识流体力学的发展史十七世纪中叶前，流动现象的朴素直观认识墨翟（公元前468-376，战国初）

--《墨经》，记载了浮力现象阿基米德（公元前287-212）沈括（公元1031-1095，北宋）--《浮漏仪》，“漏壶渴鸟”

（虹吸现象）达·芬奇（公元1452-1519）

--简单的流体机械，流体中的漩涡2026/8/1313流体力学的发展史2026/8/1314十七世纪末到十九世纪末，初步形成独立学科伽利略（1564-1642）

--实验流体力学，流体中物体运动阻力

欧拉、伯努力（十八世纪）

--流体力学形成独立学科

达朗贝尔佯谬

--在造船与航空工业中提出了摩擦阻力问题

--发现了理论分析和实验之间存在的矛盾流体力学的发展史2026/8/1315二十世纪近代流体力学发展时期，分为两个阶段

20世纪初到50年代--以空气动力学为主的时期：主要标志和成就机翼理论：正确解释飞行原理，飞机的升力是怎样产生的，开辟了人类飞行时代；边界层理论（普朗特）：正确解释流动阻力的产生；突破音障：飞机接近音速时强烈振动；预言热障：激波流体力学的发展史2026/8/131620世纪50年代以来--应用科学时代人们相信：复杂流动现象可以通过流体力学原理来预测和控制除“空气动力学”和“水动力学”外，还发展了地球物理流体力学：大气、海洋；气体力学：高速空气动力学；水波动力学：波和堤岸、海洋平台的相互作用；渗流力学生物流体力学工业流体力学非牛顿流体力学、流变学运动流体力学？流体力学的发展史2026/8/1317目前流体力学的发展重点复杂流动的预测和控制复杂介质：两相、多相流体，高分子、高稠度非牛顿流体，超高温气体，有化学反应的介质；复杂流态： 湍流、多物理场耦合流动；复杂几何边界： 飞机整机计算，多级透平整机计算;绪论2.流体力学的研究对象和内容3.流体力学的发展史4.流体力学的研究方法1.本课程的主要内容2026/8/13185.本课程的预备知识流体力学的研究方法2026/8/1319理论研究建立流动模型建立正确可解方程和边界条件（数学上困难）实验研究认识流动、发现新现象模化实际流动（受环境限制，普适性差）数值研究(20世纪50年代以后逐渐发展)利用数值计算模拟、预测流动，验证理论（对复杂且缺乏完善数学模型的问题不适用）绪论2.流体力学的研究对象和内容3.流体力学的发展史4.流体力学的研究方法1.本课程的主要内容2026/8/13205.本课程的预备知识本课程的预备知识2026/8/1321向量和张量的表示坐标：正交坐标基单位矢量：向量：张量：爱因斯坦求和约定并矢：本课程的预备知识2026/8/1322克罗内克尔δ符号置换符号i,j,k中至少有两个相同i,j,k排列顺序为123123。。。i,j,k排列顺序为321321。。。本课程的预备知识2026/8/1323哈密尔顿算子梯度散度标量的梯度是向量向量的梯度是二阶张量本课程的预备知识2026/8/1324应用举例本课程的预备知识2026/8/1325高斯公式（体积分与面积分的转换关系）斯托克斯公式（面积分与线积分的转换关系）课后作业2026/8/1326自学附录

I.张量运算基础

II.高斯公式和斯托克斯公式

III.正交曲线坐标系习题

请见网络学堂集合群知识库2026/8/1327/在右上角注册时，输入验证码

1JKWKD81将被自动归入到教学群研究生2015（指2015年注册知识库的研究生）登陆后请务必用真实姓名登记流体力学清华大学航天航空学院2026/8/1329将空间尺度归结为三个层次这里有三个基本方程，对应三种不同的空间尺度问题DRaabe,OverviewofthelatticeBoltzmannmethodfornano-andmicroscalefluiddynamicsinmaterialsscienceandengineering,ModellingSimul.Mater.Sci.Eng.12(2004)R13–R46.空间尺度分析第一章流体的物理性质2026/8/13301.流体的连续介质模型2.流体的基本性质3.作用在流体上的体积力和表面力4.流体的界面现象和性质§1.1流体的连续介质模型研究流体的宏观运动：巨量分子的统计性质

连续介质模型流体是连续分布的物质，它可以无限分割为具有一定质量的宏观微元体（物理模型）；在不发生化学反应和离解等非平衡热力学过程的运动流体中，微元体内流体状态服从热力学关系(仅有两个热力学参数是独立的，且与流体的历史无关)；除特殊面外，流体的力学和热力学状态参数在时空中是连续分布的，并且通常认为是无限可微的。2026/8/1331§1.1流体的连续介质模型连续介质模型的适用范围

例如：常温常压下空气 分子运动的平均自由程 微米探针： 分子数：在微米的尺度上仍可将空气视为连续介质 在外层空间， 分子运动的平均自由程： 飞行器： 在米的尺度上气体运动不能采用连续介质模型2026/8/1332

流体的运动尺度远远大于流体分子运动的平均自由程2026/8/1333§1.1流体的连续介质模型§1.1流体的连续介质模型流体微团及流体质点的概念流体微团：定义： 把流体无限分割为具有一定质量的微元，它是研究流体运动的最小单元，称为“流体微团”性质： 流体微团应是宏观上无限小，微观上无限大的质量体流体微团体积，流体运动尺度，分子运动尺度宏观上无限小：;微观上无限大：2026/8/1334§1.1流体的连续介质模型流体质点：定义：

当不需要考虑流体微团的体积和变形，只研究它的位移和各个物理状态时，我们可以把它视作没有体积的质点，这时我们称流体微团为流体质点2026/8/1335§1.1流体的连续介质模型流体物理量 空间任一点上的流体物理量（如密度、温度、速度等）是指位于该点上的流体质点的物理量，是宏观平均量的极限值。 例如：流体在某一点上的密度定义为

根据连续介质模型，流体中每一点都被相应的流体质点所占据，流体质点可以用时空中的一个点来标记，因此流体宏观物性的不均匀性，可以用时空变量的函数来描述，即是一个场函数。 例如：气体的密度，温度

常称为密度场，温度场。。。2026/8/1336第一章流体的物理性质2026/8/13371.流体的连续介质模型2.流体的基本性质3.作用在流体上的体积力和表面力4.流体的界面现象和性质§1.2流体的基本性质流体的易流动性

处于静止状态的流体不能抵抗剪切力，即流体在很小的剪切力作用下将发生连续不断的变形，直到剪切力消失为止，流体的这种性质称为易流动性。2026/8/1338固体可以在静止状态承受剪切力流体以持续变形承受剪切力§1.2流体的基本性质流体的粘性1）定义：

流体运动时，流体微团之间具有抵抗相互滑移运动的属性，称为流体的粘性。 粘性是流体的固有属性之一，不论是静止流体还是运动流体都具有粘性。

2）粘性的表现： 流体做变形运动时，相互接触的流体微团之间有切应力作用，是分子运动引起的动量交换，是一种分子的输运性质2026/8/1339§1.2流体的基本性质2026/8/1340牛顿平板实验上表面的流体速度为下表面的流体速度为0两板间速度为单位面积上作用力正比于即牛顿切应力公式（内摩擦定律）：动力粘性系数§1.2流体的基本性质2026/8/13413）粘性系数： 粘性系数是流体粘性大小的一种度量，它取决于流体的种类和状态，与温度有很大关系，而与压力关系不大动力粘性系数：运动粘性系数： 量纲： 国际单位：在常温常压下，液体：气体：

液体输运：分子间引力，温度升高，引力降低，粘性系数减小气体输运：分子间碰撞，温度升高，碰撞增强，粘性系数增大§1.2流体的基本性质2026/8/1342牛顿内摩擦定律的运用–狭缝流动局部近似为平板间平行流动2026/8/1343SpringDashpotHooke’slaw(1660) Newtonianviscositylaw(1686)1635-17031643-1727经典力学认为，介质受力和形变间的力学特性是很简单的，流体由牛顿内摩擦定律描述，固体由胡克定律描述。§1.2流体的基本性质2026/8/1344§1.2流体的基本性质牛顿流体

满足牛顿内摩擦定律的流体，称为牛顿流体。

如水，空气等。非牛顿流体

不满足牛顿内摩擦定律的流体。

如牙膏，蜂蜜，沥青，血液，唾液等§1.2流体的基本性质2026/8/13454）理想流体

粘性系数等于零的流体称为理想流体。 是人们为简化实际问题所提出的的一种抽象模型 可用于粘性系数较小、远离固壁、速度梯度较小情况红色硅油粘度为10,000倍水的粘度黄色硅油粘度为10倍水的粘度§1.2流体的基本性质2026/8/1346流体的压缩性

由于压强变化而引起流体体积变化的性质

体积压缩系数： 在一定温度下，单位压强增量引起的流体体积的相对变化量

体积弹性模量： 单位体积的相对变化所需的压强增量

§1.2流体的基本性质2026/8/1347不可压缩流体：流体运动过程中密度相对变化微小的流体一般情况下，液体的密度几乎不随压强变化，视为不可压流体例如：水的体积弹性模量，增加1个大气压密度的相对变化气体视为可压缩的，但气体速度远小于当地音速时，视为不可压。第一章流体的物理性质2026/8/13481.流体的连续介质模型2.流体的基本性质3.作用在流体上的体积力和表面力4.流体的界面现象和性质§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/1349在流体中，任取一流体微团，其上受到两种外力：第一种外力作用在流体微团的质心上，与流体微团的体积成正比，称为体积力，属于非接触力；第二种外力是周围流体或物体作用在流体微团表面上的力，与力的作用面大小成正比，称为表面力，是接触力。体积力表面力§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/1350体积力和体积力强度几种体积力

地球引力场中流体微团受到的引力与它的质量成正比

流体在非惯性坐标系中运动时，受到的惯性力 带电质点在静电场中运动时，受到的静电力重力加速度加速度电荷密度，电场强度体积力强度 流体微团单位体积上作用的体积力称为体积力强度

体积力合力及合力矩（有限体积的流体）

§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/1351合力：合力矩：§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/13522、表面力和应力1）定义任取一有限体积的流体，它的表面上受到周围流体或物体的接触力，这种力分布于有限体积的表面，称为“表面力”单位面积上的表面力称为表面力的局部强度，称为“应力” 注意：应力和它的作用面的方向有关；是向量，可分解为沿作用面的法向分量（正应力）和切向分量（切应力）。应力分量下标第一个符号代表应力作用面的法向量，第二个符号代表应力分量的方向§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/13532）应力的性质相邻两微元面上的表面力是作用力与反作用力(牛顿第三定律)

相邻微元面上的正应力和切应力值都分别相等§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/13543、一点上的应力张量及其性质1）一点的应力状态

一点上三个相互垂直平面上的应力向量称为一点的应力状态

只要知道一点的应力状态，就可以确定通过该点任意面上的应力（证明略）§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/13552）应力张量

一个向量可分解为三个分量于是一点的应力状态还可以用九个代数值组成的矩阵表示

则任意面上的应力可表示为§1.3

作用在流体上的体积力和表面力2026/8/13563）理想流体和静止流体的应力张量

为大于零的标量任意面上的应力为各向同性的压力思考：为什么？第一章流体的物理性质2026/8/13571.流体的连续介质模型2.流体的基本性质3.作用在流体上的体积力和表面力4.流体的界面现象和性质2026/8/1358§1.4

流体的界面现象和性质§1.4

流体的界面现象和性质流体和固体或流体和另一种互不掺混的流体交界面处的力学和热力学现象。1.界面上流体速度和温度的连续性界面两侧流体处于热力学平衡状态，温度相等、速度相等不考虑表面张力，应力大小相等、方向相反对理想流体由于不计粘性，界面上允许速度滑移，上述界面速度相等条件变为不可穿透条件不考虑表面张力界面两侧压力连续2026/8/1359§1.4

流体的界面现象和性质2.互不掺混流体界面上的表面张力和应力条件表面张力在流体界面上取一微小面积，在分割线上必有某种张力使界面处于平衡状态，称这种张力为表面张力。

表面张力位于界面的密切面内，并垂直于分割线单位长度的表面张力称为表面张力系数，量纲：单位：表面张力系数与界面两侧介质属性以及温度有关2026/8/1360§1.4

流体的界面现象和性质2）应力关系在界面上给定点附近取一法向量为的微元面积为，弧长分别为和，对应的曲率半径分别为和，张角分别为和，则有作用于ABCD微元周线上表面张力的合力，在方向上投影有2026/8/1361§1.4

流体的界面现象和性质另一方面，界面两侧正应力的投影为由力平衡关系可得到考虑表面张力情况下的界面力平衡方程在理想流体中2026/8/1362§1.4

流体的界面现象和性质3.流体在固壁上的接触角1）接触线和接触角接触线：当流场中有三种不互相浸融的介质共存时，三种介质的界面交于一线，如果其中一个界面为固壁，则称该交线为接触线。接触角：在接触线上，流体界面的法线与固壁法线的夹角称为接触角。接触角的大小取决于固壁材料与流体的性质例如：空气、水、干净玻璃：空气、水银、干净玻璃：2026/8/1363§1.4

流体的界面现象和性质2）毛细现象将细管插入液体，细管中的液面低于或高于周围连通的液面，这种现象称为毛细现象。利用界面上表面张力平衡关系，可计算高度差表面张力几何关系静力平衡2026/8/1364§1.4

流体的界面现象和性质细管内液面上升；细管内液面下降。2026/8/1365流体力学清华大学航天航空学院2026/8/1367流体运动学几何和分析的方法，流动形态的描述不涉及运动的原因流体动力学考虑作用在流体上的力三大守恒原理流体的运动流体动力学的基本方程微分型：流体微团，流场的细节积分型：系统，总体性能第三章流体动力学的基本原理第三章流体动力学的基本原理2026/8/13681.流体动力学积分型基本方程2.积分型守恒方程的应用3.流体动力学微分型基本方程4.流体静力学§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/1369三大守恒原理：质量体实际流动问题：控制体1.质量体和控制体

1）质量体（闭系统）定义：流场中封闭流体面所包含的流体称为质量体性质：质量体的边界随流体一起运动，其形状和大小随时间变化；质量体的边界面上无质量交换；质量体的边界面上与外界有力的相互作用和能量交换

Lagrange方法！§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13702)控制体（开系统）定义：被流体所流过的、由相对于某一坐标系不随时间变化的封闭曲面包含的流体称为控制体。性质：控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是不变的在控制面上可以有质量交换；在控制面上控制体内流体与外界有力的相互作用和能量交换。Euler方法！§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13712.随体导数和局部导数局部导数：控制体内某物理量的总和随时间的增长率例：控制体内的总质量其局部导数为随体导数：质量体内某物理量的总和随时间的增长率例：质量体内的总质量

其随体导数为§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/1372随体导数局部导数质量体控制体经典定理应用方便研究实际问题方便输运公式§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13733.输运公式任意时刻，质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面物理量的输运量之和。§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/1374随体导数定义流出控制体流入控制体§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13754.质量体上的守恒方程——Lagrange积分型方程任取一质量体D*(t),Σ*(t)1）质量守恒方程（连续方程）质量体中不存在源和汇的条件下，质量体内的质量不随时间变化。对任何坐标系成立！§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13762）动量守恒方程根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上的外力之和。只适用于惯性系！§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13773）动量矩守恒方程在惯性坐标系中，质量体对某点的动量矩随时间的变化率等于该瞬间外界作用在质量体上所有外力对于同一点的力矩之和。

为质量体内任一流体质点到参考点的向径§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13784）能量守恒方程遵照热力学第一定律，质量体内总能量的变化率等于单位时间内外力对质量体所做的功和由外界输入质量体内的热量之和。单位质量流体的内能，状态函数单位质量流体的动能单位时间单位质量流体生成热，如摩擦、化学反应单位时间辐射到单位质量流体上的热Fourier导热系数§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13795.控制体上的守恒方程——Euler积分型方程将质量体上的守恒方程用输运公式，可得到控制体上的守恒方程。1）连续方程物理意义：控制体D内质量的增长率等于单位时间控制面Σ

上流入的质量。§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13802）动量方程控制体内动量的增长率作用在控制体内流体上的合力通过控制面流入的动量=+§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13813）动量矩方程控制体内动量矩的增长率作用在控制体内流体上的合力矩通过控制面流入的动量矩=+§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13824）能量方程外力所做的功外界所传导的热通过控制面流入的能量控制体内总能量的增长率§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13836.定常流中的常用公式1)定常流中沿流管截面的质量流量相等连续方程定常流管侧面不可压流体体积流量相等微元流管流动均匀§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13842)理想流体在势力场中做绝热

定常流动的能量方程任取一控制体§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13853)理想流体在势力场中做绝热

定常流动

沿流线的能量方程流管侧面微元流管流动均匀由连续方程沿流线的Bernoulli方程§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13864)不可压缩理想流体

势力场中定常流动

沿流线的能量方程热力学第一定律：内能增量+体膨胀作功=输入的热量不可压缩流体不可压缩流体中由外界输入的热量=质量体内的内能增量重力场：§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/13877.非惯性坐标系中的守恒方程

某些情况下，在非惯性坐标系中流动定常

附加“惯性力强度项”：f

用f-a

代替，其中动坐标系原点移动加速度向心加速度切向加速度科氏加速度§3.1流体动力学积分型基本方程2026/8/1388控制体上的守恒方程——Euler积分型方程定常流中的常用公式非惯性坐标系中的守恒方程第三章流体动力学的基本原理2026/8/13891.流体动力学积分型基本方程2.积分型守恒方程的应用3.流体动力学微分型基本方程4.流体静力学2026/8/1390§3.2积分型守恒方程的应用解题的一般方法和步骤选择恰当的坐标系，使得在该坐标系中，相对流动是定常的。（主要针对叶轮机械而言）

选择恰当的控制体控制体的边界控制面上包括要求解的未知量和尽可能多的已知量；

一般可选择固壁面或者流面作为控制体边界控制面，使得在其上的迁移项可以求解或者为零；(3)利用沿流管的连续方程或者Bernoulli方程求解入流或出流控制边界控制面上的流动参数2026/8/1391§3.2积分型守恒方程的应用例1、Venturi

流量计的基本原理这是一种连接在管路中测量不可压缩定常流动体积流量的一种常用仪器，当测定流动的进口与喉部压差和已知进口与喉部面积时，便可以计算通过Venturi管的流量。已知：理想、不可压、定常流动，假定在管流截面上流速均匀分布，入口面积A1、喉部面积A2、入口与喉部压差Δp为已知。求：流量Qm2026/8/1392§3.2积分型守恒方程的应用例2、不可压缩流体对弯管管壁的作用力A1p1n1V1n2V2A2p2xy考虑理想不可压缩流体流过水平弯管的定常流动，计算流动过程中流体作用在弯管上的合力。已知：弯管入口和出口面积A1、A2，入口速度V1，入口压力p1求：管内流体对弯管的作用力Aw2026/8/1393透平压缩机之离心和轴流式压缩机离心式压缩机：叶轮旋转、扩压器扩压轴流式压缩机：气体在压缩机中沿轴向流动§3.2积分型守恒方程的应用例3、叶轮机械的欧拉公式透平发动机之涡喷和涡扇发动机涡喷发动机：涡轮喷气发动机（高推力比）

涡扇发动机：涡轮风扇发动机2026/8/1394叶轮透平机械2026/8/13951、简介：叶轮模型2、假设：(1)忽略叶片厚度及叶片形状在轴向的变化，认为流动参数在轴向均匀分布，即为平面流动；(2)忽略机械摩擦；(3)质量力为重力；3、已知：叶轮的几何参数，进口速度V1，出口速度V2，质量流量Qm，动轮转动角速度ω

为常数。求：叶轮与流体间相互作用的力矩在轴向的投影Mz和传递的功率N(4)在流动平面上，叶轮进出口处流速均匀分布。叶轮透平机械2026/8/1396§3.2积分型守恒方程的应用r1r2v1w1u1u2v2w21、选择坐标系：选择固定于叶轮，和叶轮一起旋转的坐标系，为非惯性系2、选择控制体：入口：出口：速度三角形2026/8/1397§3.2积分型守恒方程的应用叶轮对流体做功，为透平压缩机流体对叶轮做功，为透平发动机r1r2v1w1u1u2v2w2速度三角形第三章流体动力学的基本原理2026/8/13981.流体动力学积分型基本方程2.积分型守恒方程的应用3.流体动力学微分型基本方程4.流体静力学2026/8/1399§3.3流体动力学微分型基本方程空间任一点在任一时刻所满足的关系式积分型方程：流动问题的总体性能关系，如合力、合力矩等流场的细节，即每一时刻、每一空间点上流动参数的分布微分型方程+边界条件+初始条件基本思想：利用Euler积分型基本方程和Gauss公式，将面积分化为体积分，由积分体积的任意性，得到任一点上成立的方程，即微分型基本方程。2026/8/13100§3.3流体动力学微分型基本方程Euler积分型方程Gauss公式2026/8/13101§3.3流体动力学微分型基本方程1.微分型基本方程不可压流体连续方程2026/8/13102§3.3流体动力学微分型基本方程动量方程2026/8/13103§3.3流体动力学微分型基本方程能量方程2026/8/13104§3.3流体动力学微分型基本方程1.微分型基本方程2.微分型基本方程组封闭性讨论不封闭补充方程：物性方程或物理模型方程有一定的适用范围！独立的未知量独立的方程：52026/8/13105§3.3流体动力学微分型基本方程尚未找到对任何流体都适用的封闭方程组1)本构方程定义：流体微团的应力状态和微团运动状态间的物性关系式，称为介质的本构方程。理想流体：忽略粘性牛顿流体：应力张量与应变率张量成线性关系，且静止时与介质的静压力相同。流体动力粘性系数第二粘性系数，一般情况流体中压强补充6个方程增加1个未知量未知量：12+1=13；方程：5+6=112026/8/13106§3.3流体动力学微分型基本方程2)热力学状态方程热力学状态参数只有两个独立！常比热完全气体补充2个方程均质不可压缩流体2026/8/13107§3.3流体动力学微分型基本方程常用粘性流体微分型封闭方程组(1)重力场中，，符合牛顿流体假设和傅里叶定律的常比热完全气体的流动未知量：共13个标量方程：13个标量方程2026/8/13108§3.3流体动力学微分型基本方程(2)重力场中，，均质不可压缩牛顿流体的流动未知量：共4个标量方程：4个标量方程封闭！能量方程在速度场求解后单独求解直角坐标系下的分量形式2026/8/13109§3.3流体动力学微分型基本方程3.边界条件和初始条件边界条件

无穷远条件固壁条件界面条件初始条件

非定常问题，需给出初始状态第三章流体动力学的基本原理2026/8/131101.流体动力学积分型基本方程2.积分型守恒方程的应用3.流体动力学微分型基本方程4.流体静力学静止流场：流体动力学的一个特例静止流场的特点：要解决的问题： 静止流场中的压强分布及其作用在物体上的合力、合力矩2026/8/13111§3.4流体静力学2026/8/13112§3.4流体静力学流体静力学的基本方程（流体静止的必要条件）静止流场中的质量力条件(1)正压流体与斜压流体

正压流体：流体质点的密度只是当地压强的函数

斜压流体：不满足以上关系的流体(2)压力函数：对正压流体可定义

或（不可压流体、完全气体绝热流动的压力函数）正压流体静止的必要条件2026/8/13113§3.4流体静力学流体静止证明：对于正压流体斜压流体静止的必要条件2026/8/13114§3.4流体静力学流体静止与垂直证明：是一个向量方程（三个标量方程）是一个标量方程3.静止流场的主要性质势力场作用下的静止流场中，等压面、等密度面和质量力等势面重合推论：势力场中两互不掺混的均质液体的静止交界面为质量力等势面2026/8/13115§3.4流体静力学等压面与质量力等势面重合等压面与等密度面重合2026/8/13116§3.4流体静力学重力场中静止流体的压强分布重力场中的静止液体（不可压）0xyzh

为常数的面为等压面；若时，则当时，2026/8/13117§3.4流体静力学重力场中的静止大气及国际标准大气国际标准大气模型海平面：

对流层：同温层：大气为完全气体：0km11km对流层同温层2026/8/13118§3.4流体静力学压力及密度分布对流层同温层2026/8/13119§3.4流体静力学非惯性坐标系中的静止液体

在非惯性坐标系中相对静止的流体的基本方程为：例：重力场下匀加速运动容器中的液体，求液体中压力分布和时自由面的形状。xyz6.重力场中的静止流体作用在固体表面上的合力、合力矩2026/8/13120§3.4流体静力学（1）静止液体作用于物体表面上的合力流体n（2）静止液体作用于物体表面上的合力矩or例：如图示宽度为b，半径为a的圆柱形闸门，求：流体作用在闸门上的合力水空气第三章流体动力学研究流体与在其中运动着的物体之间的相互作用以及由此物体运动而引起的流体运动的规律。2026/8/131211.流体动力学的积分型基本方程A.质量体和控制体B.随体导数和局部导数C.输运公式D.质量体上守恒方程-Lagrange型E.控制体上守恒方程-Euler型F.定常流中常用公式1.定常流中沿流管截面的质量流量相等2.Bernoulli方程第三章流体动力学2026/8/131222.积分型守恒方程应用3.流体动力学的微分型基本方程A.Venturi流量计B.不可压流体对弯管的作用力C.叶轮机械的欧拉公式A.连续、动量和能量守恒方程B.方程组封闭性、定解条件（初边值）1.本构方程2.热力学状态方程第三章流体动力学2026/8/131234.流体静力学A.静力学基本方程、质量力条件B.正压、斜压流体概念C.静止流场主要性质D.国际标准大气流体力学清华大学航天航空学院2026/8/13125第四章理想流体动力学理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性真实流体理想流体第四章理想流体动力学2026/8/131261.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13127理想流体运动的基本方程——Euler方程§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13128不封闭！§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13129理想流体能量方程的讨论§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13130热力学第一定律焓动能方程§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13131理想、常比热、完全气体、绝热运动时熵沿流体质点的迹线熵不变§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13132常用理想流体动力学微分型封闭方程组重力场中，理想常比热完全气体绝热连续流动关于的封闭方程组重力场中，理想匀质不可压缩流体的运动关于的封闭方程组§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13133理想流体运动的初边值条件（1）初始条件：对非定常流动，应给出流动的初始速度、压力、密度等的分布（2）边界条件：界面或固壁的不可穿透条件若界面或固壁满足

无穷远条件（无界静止流体）（绕流条件）两种互不掺混界面上的应力条件§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13134例：刚体椭球以速度作等速直线运动，建立理想流体运动的边界条件。§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13135球坐标系例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，其物面方程为无穷远处压力，不计质量力，求：球面上的压强分布。§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2026/8/13136积分第四章理想流体动力学2026/8/131371.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2026/8/13138§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质Kelvin定理（沿封闭流体线的环量不变定理）

理想

正压流体在势力场中运动时，连续流场内沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间变化。证明：2026/8/13139§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质动量方程理想：正压：势力场：2026/8/13140§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质Lagrange定理（涡量不生不灭定理）

理想、正压流体在势力场中运动时，若某一时刻连续流场无旋，则流场始终无旋。推论：

在满足Kelvin定理的条件下，均匀来流绕过任一物体的流场为无旋流场；由任意物体在原静止流场中运动所造成的流场是无旋流场。涡量方程和涡量源-补充2026/8/13141对加速度取旋度得到两边除密度得到2026/8/13142涡量运动学的基本方程(Beltrami方程)对N-S方程两边取旋度得到结合Beltrami方程得到涡量动力学方程涡量方程和涡量源-补充2026/8/13143涡量源是指流体从静止开始运动后流场中产生涡量的物理原因涡量方程简化为那么流体从静止开始运动后流场中不会产生涡量如果涡量方程表明有三个涡量源：斜压流、非保守体力、粘性涡量方程和涡量源-补充2026/8/13144§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质旋涡产生或消失的条件

只要不满足Kelvin定理任何一个条件，旋涡都会产生或消失。Kelvin定理条件：理想、正压流体、质量力有势、流场连续均匀来流边界层内有旋流动切向间断均匀来流曲线激波法向间断（2）存在间断（非连续流场）（1）流体的粘性（非理想流体）无旋有旋2026/8/13145§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质（3）非正压流场北极赤道贸易风（信风）北南2026/8/13146§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质（4）非有势力场（以地球上大气运动为例）东北西南2026/8/13147§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质Helmholtz定理（涡线及涡管保持定理）

理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡线（面）的流体质点永远组成此涡线（面），即涡线（面）是流体线（面）。

理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡管的流体质点永远组成此涡管，且涡管强度不随时间变化。第四章理想流体动力学2026/8/131481.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2026/8/13149§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分Lamb型方程2026/8/13150§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分伯努利积分理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿流线有理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿涡线有压力函数质量力势2026/8/13151§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分理想正压流体在势力场中作定常流动流线切向投影2026/8/13152§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分几种特殊情况下的伯努利积分理想均质不可压缩流体在重力场中定常流动时，沿流线有理想常比热完全气体在势力场中作绝热定常流动时，沿流线有等速转动坐标系中的伯努利方程理想流体在势力场中作绝热运动，相对于等速转动坐标系运动是定常的，则沿相对流线有2026/8/13153§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分伯努利积分应用举例：毕托管测速原理用于测量不可压液体或低速气体流动的速度，简化：假定流体是理想均质不可压，流动定常；放入毕托管后2点处的压力和速度分别近似等于放毕托管前1点处的压力和速度；忽略1、2点间的质量力势之差；测速时，沿流动方向放置毕托管，则1、2点位于同一条流线上。2026/8/13154§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分Cauchy-Lagrange积分理想

正压流体在势力场中作无旋流动时，全流场成立其中分别为速度势、压力函数、质量力势、积分常数定常全流场成立的伯努利积分2026/8/13155§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分例：理想流体的一维非定常流动在L形等截面管道中充满理想均质不可压流体，开始时出口端封闭，管内流体静止，当t=0时，封口突然打开，流体开始经管内流出。设L形管的垂直和水平段长度均为，L形管上下段空气压强均为大气压求：1）在t=0打开封口瞬时管内压强分布；

2）流体从管内流空的时间。初始状态液面在垂直段内液面在水平段内2026/8/13156§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分1.求速度势的表达式2.求速度的表达式液面在垂直段液面在水平段2026/8/13157§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分3、求t=0时打开封口后管内压强分布4、求液面的运动规律在垂直段在水平段5、求泄空时间2026/8/13158§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分5.动坐标系中的Cauchy-Lagrange积分在动坐标系中研究绝对运动2026/8/13159§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分例：半径为a的圆球，在原无界静止的理想均质不可压流体中以作变速直线运动，忽略质量力，求：圆球表面的压力分布以及流体作用在圆球上的合力。动坐标系中的C-L积分举例解：数学提法 在固结于圆球的动坐标系中研究绝对运动物面条件：不可穿透条件无穷远条件：2026/8/13160§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分分离变量法求解求速度势2026/8/13161§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分求压力分布求合力讨论：1流体作用在圆球上的合力为阻力；2达朗贝尔佯谬若圆球的运动为等速直线运动，则它所受阻力为零；3附加质量第四章理想流体动力学2026/8/131621.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2026/8/13163§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质1.不可压缩流体无旋流动问题的数学提法基本方程边界条件物面条件无穷远条件2026/8/13164§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质2.理想、不可压缩流体在势力场中作无旋流动问题的求解思路由运动学条件求

+B.C.由C-L积分求2026/8/13165§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质3.不可压缩无旋流动问题中速度势的主要性质1)连通域的概念连通域：在某个空间区域内，任意两点能在该域内以连续曲线连接，这样的空间区域称为“连通域”。单连通域：在连通域内，任意封闭曲线都能在域内连续地收缩为一点，则称该连通域为“单连通域”。多连通域：凡是不具有单连通域性质的连通域称为“多连通域”。隔面：完全在域内、并和域的封闭边界相交的曲面称为“隔面”。加1个隔面可变为单连域的称为“双连域”；加n-1个隔面可变为单连域的称为“n连域”。2026/8/13166§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质球内域球外域两球之间圆环内域圆环内域加一个隔面2026/8/13167§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质2)无旋流动速度势的主要性质速度势的确定：在单连域中速度势是单值的。推论：单连域中的无旋流动不可能存在封闭的流线。双连域的无旋流场中，任意不可缩周线上的速度环量相等（绕封闭周线一周），速度势多值。沿某一路径2026/8/13168§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质3)理想不可压无旋流动速度场解的唯一性定理有界单连域中解的唯一性条件在边界上给定或在边界上给定或在一部分边界上给定，另一部分边界上给定有界双连域中解的唯一性条件+绕不可缩周线的速度环量或通过隔面的体积流量无界单连域中解的唯一性条件给定无穷远处和以下三种条件之一内边界上给定及总体积流量内边界上给定内边界上部分给定，其余部分给定，并给定通过内边界的体积流量无界双连域中解的唯一性条件+内边界上的速度环量2026/8/13169§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质4)不可压无旋流场的主要特性速度势函数不能在域内有极大或极小值；不可压缩无旋流场中速度矢量的模不能在域内达到极大值；重力场中，理想不可压缩无旋流场内压强不能在域内达到极小值；动能表达式有界单连域有界双连域无界单连域无界双连域第四章理想流体动力学2026/8/131701.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2026/8/13171§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法不可压缩流体无旋流动问题的数学提法基本方程边界条件基本方程为线性方程，若为方程的解，则其线性组合也为方程的解。选取合适的系数令满足边界条件，则得到某个流动问题的解。2026/8/13172§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法（1）均匀流场---全场速度是常数的流场为均匀流场。（2）点源若在流场某一点不断有流体注入流场，其体积流量为Q

则这种流场称为点源流场，Q称为点源强度。点汇：负点源1.不可压无旋流动速度势的基本解2026/8/13173§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法（3）偶极子强度相等、符号相反的两点源，若它们无限靠近时有这两个点源所构成的流场称为偶极子流场。记为，其中称为偶极子强度，偶极子方向为由点汇指向点源。2026/8/13174§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法（4）高阶基本解对点源解求导得到：性质：1由点源解求导升阶构成的各阶基本解是奇异解：也称为各阶奇点；2基本解满足无穷远处的渐近性：意义：1

基本解已满足无穷远条件，构造解时只要求满足物面处的边界条件；2

各阶奇点必须布置在流场外；2026/8/13175§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法例：绕圆球不可压无旋流动的速度和压力分布数学提法：2、奇点叠加法2026/8/13176§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法基本解叠加：均匀流+偶极子无穷远条件已满足满足壁面条件2026/8/13177§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法在壁面上驻点：速度为零的点最小压强点：速度最大的点或或2026/8/13178§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法压力系数：第四章理想流体动力学2026/8/131791.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2026/8/13180§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质平行平面流动：流体质点在平行平面上运动，并且每一平面上流动都相同2026/8/13181§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质一、流函数的定义二、流函数的性质流函数可以差一个任意常数而不影响速度场；流函数的等值线就是流线；不可压缩流体平面无旋流动中，流函数的等值线与等势线正交；通过平面上任意曲线的体积流量等于点和点的流函数值之差，即若流场中不存在源和汇，则在单连域中，流函数是单值的；在双连域中，当通过内边界的总流量不等于零时，流函数是多值的，但速度是连续单值的。自动满足2026/8/13182§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质2026/8/13183§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质三、不可压流体平面无旋流动的流函数方程及定解条件方程：来流条件：或物面不可穿透条件：环量条件：2026/8/13184§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质为什么引进流函数？对二维不可压缩流动，无论是否理想、无旋，流函数总是存在。流函数方程在物面可提第一类边界条件，一般容易求解；求得流函数后，直接可得到流线谱，流场直观；2026/8/13185§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质四、流函数表示的基本解及叠加法1、均匀流的流函数表达式2、点源解的流函数表达式3、偶极子的流函数表达式第四章理想流体动力学2026/8/131861.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2026/8/13187§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法物理问题的提法现有周界为的平面物体，无穷远处有一速度为的均匀理想不可压流体绕流此物体（不脱体），求速度场。不可压缩流体平面无旋绕流问题的提法数学提法以速度势为未知函数以流函数为未知函数2026/8/13188§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法一、复势1、定义：以速度势为实部、流函数为虚部组成的复函数称为复势。2、复势为解析函数 速度势和流函数为调和函数，并满足Cauchy-Riemann条件速度势和流函数为一对共轭的调和函数由共轭调和函数组成的复函数为解析函数2026/8/13189§4.7