高中数学 加练 专题10　第99练　离散型随机变量及其分布列、数字特征

第99练离散型随机变量及其分布列、数字特征(分值：40分)一、单项选择题(共5分)1.已知随机变量ξ的分布列为ξ123P1xy若E(ξ)=158，则D(ξ)等于(A.3364 B.5564 C.7答案B解析由分布列的性质和期望公式可得x解得x所以D(ξ)=1-1582×12+2-1582×1二、多项选择题(每小题6分，共18分)2.已知随机变量η和ξ满足：η=3ξ+1，且E(ξ)=2，若ξ的分布列如表所示，则下列说法正确的是()ξ123Pa1bA.a=13 B.b=C.E(η)=7 D.D(η)=9答案BCD解析依题意E解得a=b=14，故A错误，B又η=3ξ+1，所以E(η)=E(3ξ+1)=3E(ξ)+1=3×2+1=7，故C正确；因为D(ξ)=(1-2)2×14+(2-2)2×12+(3-2)2×14所以D(η)=D(3ξ+1)=32D(ξ)=9×12=92，故D3.某游戏推出两种抽奖活动A和B，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动A和活动B的抽奖收益分别为X，Y(单位：千个)及其分布列如表所示，则下列选项正确的是()活动A的收益分布列：X3711P0.4m0.3活动B的收益分布列：Y0818Pn0.60.1A.m+n=0.6B.E(5Y-3)=18C.两个活动的收益期望一样多D.活动B的收益风险低于活动A答案AC解析依题意可得0.4+所以m=0.3，n=0.3，则m+n=0所以E(X)=3×0.4+7×0.3+11×0.3=6.6，E(Y)=0×0.3+8×0.6+18×0.1=6.6，则E(X)=E(Y)，故C正确；而E(5Y-3)=5E(Y)-3=5×6.6-3=30，故B错误；因为D(X)=(3-6.6)2×0.4+(7-6.6)2×0.3+(11-6.6)2×0.3=11.04，D(Y)=(0-6.6)2×0.3+(8-6.6)2×0.6+(18-6.6)2×0.1=27.24，即D(X)<D(Y)，所以活动B的收益风险高于活动A，故D错误.4.随机变量ξ的分布列为ξ012Pabb其中ab≠0，下列说法正确的是()A.a+b=1B.E(ξ)=3C.D(ξ)随b的增大而减小D.D(ξ)有最大值答案ABD解析根据分布列的性质得a+b2+b2=1，即a+b=1，故E(ξ)=0×a+1×b2+2×b2=3bD(ξ)=0-3b22×a+1-3b22×b2+2-3b22×b2=0-3b22×(1-b)+1-3因为0<b<1，当0<b≤59时，D(ξ)随b的增大而增大；当59<b<1时，D(ξ)随b的增大而减小，故当b=59时，D(ξ)取得最大值2536，故D三、填空题(共5分)5.设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差，随机变量ξ等可能地取x1，x2，x3，…，x9，则方差D(ξ)=.答案203d解析因为等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差为d，d≠0，所以E(ξ)=x1因为x1+x2+x3+…+x9=9x1+9×82d=9x1则E(ξ)=x1+4d，所以xn-E(ξ)=x1+(n-1)d-(x1+4d)=(n-5)d(n=1，2，…，9)，所以方差为D(ξ)=19[(-4d)2+…+(-d)2+0+d2+…+(4d)2]=203d四、解答题(共12分)6.(12分)为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校准备举办一场羽毛球比赛.已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方.现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15.(1)求第三回合甲发球的概率；(4分)(2)设前三个回合中，甲的总得分为X，求X的分布列及期望.(8分)解(1)若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲，故第三回合甲发球的概率为35×35+25×1(2)设“甲在第i回合得分”记为事件Ai，“乙在第i回合得分”记为事件Bi，i∈{1，2，3}，则P(A1A2A3)=353=27125P(A1A2B3)=352×25=18P(A1B2A3)=35×25×15=6P(A1B2B3)=35×25×45=24P(B1A2A3)=25×15×35=6P(B1A2B3)=25×15×25=