高中数学 加练 专题8　第88练　等角定理与蝴蝶定理

第88练等角定理与蝴蝶定理(分值：30分)1.等角定理(1)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过长轴上任意一点N(t，0)(0<|t|<a)的弦的端点A，B与对应点Ga2t，0图1图2(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t，0)(t≠0且t≠±a)的弦的端点A，B与对应点Ga2t，0(3)已知抛物线y2=2px(p>0)，过抛物线对称轴上任意一点N(a，0)(a>0)的一条弦的端点A，B与对应点G(-a，0)的连线所成的角被对称轴平分，即∠OGA=∠OGB(如图3).图32.蝴蝶定理设Q为圆内弦XY的中点，过Q作弦AB和CD，设AD和BC交XY于点P和R，则Q是PR的中点.进一步，去掉Q为中点的条件，可得“坎迪定理”：当Q不为中点时，满足1|XQ|-1|YQ|=1|PQ|-定理原本只是圆的背景，通过射影几何，我们可以非常容易地将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况).圆锥曲线上弦XY的中点为Q，过Q作弦AB和CD，设AD和BC交XY于点P和R，则Q是PR的中点.进一步，去掉Q为中点的条件，可得“坎迪定理”：当Q不为中点时，满足1|XQ|-1|YQ|=1|PQ|-1.(15分)设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(6分)(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.(9分)(1)解c=2-1=1，所以F(1，0)，因为l与x轴垂直，所以l的方程为x=1，由x=1，x2即A1，22或所以直线AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2，即x+2y-2=0或x-2y(2)证明方法一当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB；当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)，k≠0，联立y=k(x-1)和x22+y2=1，得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0，Δ=8k2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则-2<x1<2，-2<x2<2，且x1+x2=4k22k2+1，x所以kMA+kMB=y1x=2k而2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=12k2+1(4k3-4k-12k3+8k3+4k)=0，进而kMA+故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB，综上，∠OMA=∠OMB.方法二当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l与x轴不重合时，由(1)知椭圆C的右焦点为F(1，0)，设直线l：x=my+1，联立椭圆方程x2+2y2=2，得(2+m2)y2+2my-1=0，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ=4m2+4(2+m2)>0恒成立，且y1+y2=-2m2+m2，y1y所以kMA+kMB=y1x=y=y=2m由2my1y2-(y1+y2)=2m·-12+m2可得kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，则∠OMA=∠OMB.综上，∠OMA=∠OMB.2.(15分)已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3-1，3(1)求椭圆Γ的方程；(5分)(2)蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF.若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则|MP|=|MQ|.该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆Γ中，弦AB的中点M的坐标为0，12，且两条弦CD，EF所在直线的斜率存在，证明：|MP|=|MQ|.((1)解由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆Γ经过P3，P4两点，又由1a2+1b2>1a2+34b2知，椭圆Γ因此1b2故椭圆Γ的方程为x24+y2(2)证明因为点M的坐标0，12在y轴上，且M为AB的中点，所以直线AB设C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)，设直线CD的方程为y=k1x+12代入椭圆Γ：x24+y2得k12+14x2+k1由根与系数的关系可得x1+x2=-4kx1x2=-34k1同理，设直线EF的方程为y=k2x+12代入椭圆Γ：x24+y2得k22+14x2+k2由根与系数的关系可得x3+x4=-4kx3x4=-34k2由C，P，