2026年天津市北师大版高中数学选修第10章知识点巩固习题

2026年天津市北师大版高中数学选修第10章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第10章《极坐标与参数方程》中，极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线是（）A.以原点为圆心，半径为4的圆B.以（2，π/2）为圆心，半径为2的圆C.以（4，π/2）为圆心，半径为2的圆D.以原点为圆心，半径为2的圆解析：将ρ=4sinθ两边同乘ρ，得到ρ²=4ρsinθ，即x²+y²=4y。整理为x²+(y-2)²=4，表示以（0，2）为圆心，半径为2的圆。选项B正确。2.参数方程x=t²-2t，y=t+1（t为参数）表示的曲线是（）A.抛物线B.直线C.圆D.双曲线解析：消去参数t，由y=t+1得t=y-1，代入x=t²-2t，得到x=(y-1)²-2(y-1)=(y-2)²-1。整理为x=y²-4y+3，是抛物线方程。选项A正确。3.极坐标方程ρcos(θ-π/3)=1表示的曲线是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线解析：利用三角恒等式cos(θ-π/3)=cosθcos(π/3)+sinθsin(π/3)=√3/2cosθ+1/2sinθ，方程变为ρ(√3/2cosθ+1/2sinθ)=1，即√3ρcosθ+ρsinθ=2。转换为直角坐标方程为√3x+y=2，是直线方程。选项A正确。4.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）表示的曲线是（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线解析：消去参数θ，由x=2cosθ得cosθ=x/2，由y=3sinθ得sinθ=y/3。平方相加得cos²θ+sin²θ=1，即(x/2)²+(y/3)²=1。整理为x²/4+y²/9=1，是椭圆方程。选项B正确。5.极坐标方程ρ=2cosθ+4sinθ表示的曲线是（）A.圆B.抛物线C.双曲线D.直线解析：两边平方得到ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，转换为直角坐标方程为x²+y²=2x+4y。整理为(x-1)²+(y-2)²=5，是圆方程。选项A正确。6.参数方程x=t²，y=2t（t为参数）表示的曲线是（）A.抛物线B.直线C.圆D.双曲线解析：消去参数t，由y=2t得t=y/2，代入x=t²，得到x=(y/2)²=y²/4。整理为y²=4x，是抛物线方程。选项A正确。7.极坐标方程ρ=2θ（θ为参数）表示的曲线是（）A.直线B.圆C.抛物线D.等速螺线解析：这是等速螺线的标准参数方程，ρ随θ线性增加。选项D正确。8.参数方程x=cos²θ，y=sin²θ（θ为参数）表示的曲线是（）A.抛物线B.直线C.圆D.椭圆解析：利用三角恒等式cos²θ=1-sin²θ，得到x=1-y。整理为x+y=1，是直线方程。选项B正确。9.极坐标方程ρ²=4cos2θ表示的曲线是（）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.直线解析：利用三角恒等式cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ，方程变为ρ²=4(2cos²θ-1)=8cos²θ-4。转换为直角坐标方程为x²+y²=8x²/4-4，即x²+y²=2x²-4。整理为x²-y²=4，是双曲线方程。选项A正确。10.参数方程x=2cosθ+1，y=2sinθ-3（θ为参数）表示的曲线是（）A.圆B.抛物线C.双曲线D.直线解析：消去参数θ，由x=2cosθ+1得cosθ=(x-1)/2，由y=2sinθ-3得sinθ=(y+3)/2。平方相加得cos²θ+sin²θ=1，即((x-1)/2)²+((y+3)/2)²=1。整理为(x-1)²+(y+3)²=4，是圆方程。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.极坐标方程ρ=3cos(θ-π/4)表示的曲线的直角坐标方程是__________。参考答案：(x-√2/2)²+(y-√2/2)²=9/2解析：cos(θ-π/4)=cosθcos(π/4)+sinθsin(π/4)=√2/2(cosθ+sinθ)，方程变为ρ(√2/2cosθ+√2/2sinθ)=3，即√2ρ(cosθ+sinθ)=6。转换为直角坐标方程为√2(x+y)=6，整理为(x-√2/2)²+(y-√2/2)²=9/2。2.参数方程x=t²-1，y=2t+1（t为参数）表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：y²=8x+8解析：消去参数t，由y=2t+1得t=(y-1)/2，代入x=t²-1，得到x=((y-1)/2)²-1=(y²-2y+1)/4-1=(y²-2y-3)/4。整理为y²=8x+8。3.极坐标方程ρ=2/(1-2cosθ)表示的曲线是__________。参考答案：抛物线解析：这是圆锥曲线的极坐标标准方程，其中e=2>1，表示抛物线。4.参数方程x=3cosθ，y=4sinθ（θ为参数）表示的曲线的焦点坐标是__________。参考答案：(±√7,0)解析：这是椭圆方程x²/9+y²/16=1，a=4，b=3，c=√(16-9)=√7，焦点在x轴上，坐标为(±√7,0)。5.极坐标方程ρ=4sin2θ表示的曲线的直角坐标方程是__________。参考答案：x²=4y解析：利用三角恒等式sin2θ=2sinθcosθ，方程变为ρ=4sinθcosθ，转换为直角坐标方程为x²=4y。6.参数方程x=2cosθ+3，y=2sinθ-1（θ为参数）表示的曲线的圆心坐标是__________。参考答案：(3,-1)解析：这是圆的参数方程，圆心坐标为(3cos(π/2),-1+3sin(π/2))=(3,-1)。7.极坐标方程ρ=1+cosθ表示的曲线的直角坐标方程是__________。参考答案：(x+1/2)²+y²=1/4解析：两边平方得到ρ²=ρ+ρcosθ，转换为直角坐标方程为x²+y²=x+y。整理为(x+1/2)²+(y+1/2)²=1/2，即(x+1/2)²+y²=1/4。8.参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t为参数）表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：x²-y²=4解析：平方相减得x²-y²=(t+1/t)²-(t-1/t)²=4。9.极坐标方程ρ=2cosθ+3sinθ表示的曲线的圆心极坐标是__________。参考答案：(√13,π/2)解析：转换为直角坐标方程为x²+y²=2x+3y。整理为(x-1)²+(y-3/2)²=13/4，圆心坐标为(1,3/2)，转换为极坐标为(√(1²+(3/2)²),arctan(3/2))=(√13,π/2)。10.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ+1（θ为参数）表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：x²/4+(y-1)²/9=1解析：消去参数θ，由y=3sinθ+1得sinθ=(y-1)/3，代入x=2cosθ，得到cos²θ=(x/2)²，sin²θ=1-cos²θ=(y-1)²/9。平方相加得1，即(x/2)²+(y-1)²/9=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.极坐标方程ρ=2cosθ表示的曲线是以（1，π/2）为圆心的圆。（×）解析：ρ=2cosθ转换为直角坐标方程为x²+y²=2x，即(x-1)²+y²=1，是以（1，0）为圆心，半径为1的圆。2.参数方程x=t²，y=2t（t为参数）表示的曲线是直线。（×）解析：消去参数t，得到y²=4x，是抛物线。3.极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线是椭圆。（×）解析：ρ=4sinθ转换为直角坐标方程为x²+y²=4y，即x²+(y-2)²=4，是圆。4.参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ为参数）表示的曲线是单位圆。（√）解析：消去参数θ，得到x²+y²=1，是单位圆。5.极坐标方程ρ=1+2cosθ表示的曲线是抛物线。（×）解析：ρ=1+2cosθ转换为直角坐标方程为x²+y²=2x+1，即(x-1)²+y²=2，是圆。6.参数方程x=2cosθ+1，y=2sinθ（θ为参数）表示的曲线是椭圆。（√）解析：消去参数θ，得到(x-1)²+y²=1，是椭圆。7.极坐标方程ρ=2θ表示的曲线是直线。（×）解析：这是等速螺线的参数方程。8.参数方程x=t，y=t²（t为参数）表示的曲线是抛物线。（√）解析：消去参数t，得到y=x²，是抛物线。9.极坐标方程ρ=3cos(θ-π/3)表示的曲线是圆。（√）解析：转换为直角坐标方程为(x-3√3/2)²+(y-3/2)²=9/4，是圆。10.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ+2（θ为参数）表示的曲线是椭圆。（√）解析：消去参数θ，得到(x/2)²+(y-2)²/9=1，是椭圆。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求极坐标方程ρ=4cosθ的圆心坐标和半径。解析：转换为直角坐标方程为x²+y²=4x，即(x-2)²+y²=4。圆心坐标为（2，0），半径为2。2.求参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）的普通方程。解析：消去参数θ，由x=2cosθ得cosθ=x/2，由y=3sinθ得sinθ=y/3。平方相加得cos²θ+sin²θ=1，即(x/2)²+(y/3)²=1。整理为x²/4+y²/9=1。3.求极坐标方程ρ=2/(1-2cosθ)的焦点坐标。解析：这是抛物线的极坐标方程，焦点在极轴上，焦点坐标为（1/e，π），其中e=2，所以焦点坐标为（1/2，π）。4.求参数方程x=t²-1，y=2t+1（t为参数）的焦点坐标。解析：消去参数t，得到y²=8x+8，是抛物线。焦点坐标为（2，0）。5.求极坐标方程ρ=3cos(θ-π/4)的圆心极坐标。解析：转换为直角坐标方程为(x-√2/2)²+(y-√2/2)²=9/2。圆心极坐标为(3√2/2,π/4)。6.求参数方程x=3cosθ，y=4sinθ+1（θ为参数）的圆心坐标。解析：消去参数θ，得到(x/3)²+(y-1)²/16=1，是椭圆。圆心坐标为（0，1）。7.求极坐标方程ρ=1+cosθ的圆心坐标。解析：转换为直角坐标方程为(x+1/2)²+y²=1/4。圆心坐标为（-1/2，0）。8.求参数方程x=2cosθ+1，y=2sinθ-1（θ为参数）的普通方程。解析：消去参数θ，由x=2cosθ+1得cosθ=(x-1)/2，由y=2sinθ-1得sinθ=(y+1)/2。平方相加得cos²θ+sin²θ=1，即((x-1)/2)²+((y+1)/2)²=1。整理为(x-1)²+(y+1)²=4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知点A的极坐标为（5，π/3），点B的极坐标为（4，π/6），求AB的距离。解析：转换为直角坐标，A（5cos(π/3)，5sin(π/3)）=(2.5，5√3/2)，B（4cos(π/6)，4sin(π/6)）=(2√3，2）。AB距离为√((2.5-2√3)²+(5√3/2-2)²)≈3.61。2.求曲线ρ=2cosθ与ρ=4sinθ的交点坐标。解析：方程组为ρ=2cosθ，ρ=4sinθ，即2cosθ=4sinθ，tanθ=1/2，θ=π/4。代入ρ=2cosθ得ρ=√2。交点极坐标为（√2，π/4）。3.求曲线x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）与直线x+y=5的交点坐标。解析：代入x=2cosθ，y=3sinθ到x+y=5，得到2cosθ+3sinθ=5。平方相加得13cos²θ+12sinθcosθ=25。解得θ≈0.79，代入得交点（1.94，3.06）。4.求曲线ρ=1+2cosθ的面积。解析：这是心形线，面积公式为A=1/2∫₀²πρ²dθ=1/2∫₀²π(1+2cosθ)²dθ=1/2∫₀²π(1+4cosθ+4cos²θ)dθ≈6.28。5.求曲线x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）的周长。解析：这是椭圆，周长公式为C≈2π√(a²+b²/2)=2π√(4+9/2)≈15.08。6.求曲线ρ=2/(1-2cosθ)的焦点到准线的距离。解析：这是抛物线，p=1/e=1/2，焦点到准线距离为2p=1。7.求曲线ρ=3cos(θ-π/3)的面积。解析：转换为直角坐标方程为(x-3√3/2)²+(y-3/2)²=9/4，是圆。面积公式为A=πr²=π(3/2)²=9π/4。8.求曲线x=2cosθ+1，y=2sinθ-1（θ为参数）的面积。解析：这是椭圆，面积公式为A=πab=π