2026年高考数学函数专题训练试卷

2026年高考数学函数专题训练试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3，故选C。2.函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间[0，π]上单调递增，则φ的取值范围是（）A．[－π，0]B．[0，π]C．[－π/2，π/2]D．[－3π/2，－π/2]解析：由2kπ－π/2≤2x＋φ≤2kπ＋π/2，k∈Z，得kπ－π/2－φ≤x≤kπ＋π/2－φ，k∈Z，函数在[0，π]上单调递增需满足0≤kπ－π/2－φ且kπ＋π/2－φ≥π，解得φ∈[－π，0]，故选A。3.若函数f(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，则a的值为（）A．3B．2C．1D．0解析：f′(x)＝3x²－a，由f′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3，验证f′(x)在x＝1两侧异号，故选A。4.函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域为（）A．(－∞，1)B．[1，＋∞)C．(－1，3)D．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：由x²－2x＋3＞0得Δ＝4－12＜0，函数在R上恒成立，定义域为R，故选D。5.函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得最小值，则a的值为（）A．eB．e²C．1/eD．1/e²解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e，验证f′(x)在x＝1左侧为负，右侧为正，故选A。6.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的值域为（）A．[－1，3]B．[－3，3]C．[－2，2]D．[－1，2]解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)＝1＋√2sin(2x－π/4)，值域为[1－√2，1＋√2]，即[－1，3]，故选A。7.函数f(x)＝x＋1/x在区间[1，e]上的最小值为（）A．2B．1＋1/eC．e＋1/eD．3解析：f′(x)＝1－1/x²，在[1，e]上单调递增，最小值在x＝1处取得，为2，故选A。8.函数f(x)＝x²＋2ax＋1在x＝1处的切线斜率为－4，则a的值为（）A．－1B．－3C．1D．3解析：f′(x)＝2x＋2a，由f′(1)＝－4得2＋2a＝－4，解得a＝－3，故选B。9.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的图像与x轴所围成的图形的面积为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数分段为f(x)＝{2x－3,x＜1;1,1≤x≤2;3－2x,x＞2}，面积＝∫[0,1](2x－3)dx＋∫[1,2]1dx＋∫[2,3](3－2x)dx＝1，故选A。10.函数f(x)＝sin(x＋π/6)cos(x－π/3)的最小正周期为（）A．2πB．πC．2π/3D．π/3解析：f(x)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cosx＝sin(x＋π/6)，周期为2π，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝ln(2x－1)的定义域为________。参考答案：(1/2,+∞)解析：由2x－1＞0得x＞1/2，定义域为(1/2,+∞)。2.函数f(x)＝e^x－2x在x＝0处的二阶导数为________。参考答案：2解析：f′(x)＝e^x－2，f′′(x)＝e^x，f′′(0)＝1－2＝2。3.函数f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)的最小正周期为________。参考答案：π解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，周期为π。4.函数f(x)＝x³－3x＋1的极值点为________。参考答案：1解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′(x)在x＝1左侧为负，右侧为正，x＝1为极小值点。5.函数f(x)＝|x－1|在区间[－1，2]上的最大值为________。参考答案：2解析：f(x)分段为f(x)＝{2－x,x∈[－1,1];x－1,x∈[1,2]}，最大值在x＝－1处取得，为2。6.函数f(x)＝2cos(x－π/4)的图像向右平移π/2个单位后得到的函数解析式为________。参考答案：2cos(x－3π/4)解析：平移后f(x)＝2cos[(x－π/2)－π/4]＝2cos(x－3π/4)。7.函数f(x)＝x²＋2x＋3在区间[－2，1]上的最小值为________。参考答案：2解析：f(x)在[－2，1]上单调递减，最小值在x＝1处取得，为6。8.函数f(x)＝sin(x＋π/3)＋cos(x－π/6)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π。9.函数f(x)＝ln(x²－x)的值域为________。参考答案：(－∞,0)解析：由x²－x＞0得x∈(－∞,0)∪(1,+∞)，ln(x²－x)在(1,+∞)上单调递增，值域为(－∞,0)。10.函数f(x)＝|x|在区间[－1，1]上的积分值为________。参考答案：1解析：∫[－1,1]|x|dx＝2∫[0,1]xdx＝1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝sin(2x)在区间[0，π]上单调递减。参考答案：×解析：f(x)在[0，π/2]上单调递增，在[π/2，π]上单调递减。2.函数f(x)＝x³－3x＋1在x＝0处取得极值。参考答案：×解析：f′(x)＝3x²－3，f′(0)＝－3≠0，x＝0不是极值点。3.函数f(x)＝e^x在R上单调递增。参考答案：√解析：f′(x)＝e^x＞0，函数在R上单调递增。4.函数f(x)＝cos(2x)的最小正周期为π。参考答案：√解析：周期为π。5.函数f(x)＝ln(x－1)在x＝2处的导数为1。参考答案：√解析：f′(x)＝1/(x－1)，f′(2)＝1。6.函数f(x)＝|x|在区间[－1，1]上的积分值为0。参考答案：×解析：∫[－1,1]|x|dx＝1。7.函数f(x)＝sin(x＋π/2)的最小正周期为2π。参考答案：√解析：周期为2π。8.函数f(x)＝x²－4x＋4在R上单调递减。参考答案：×解析：函数在[2,+∞)上单调递增。9.函数f(x)＝|x－1|在x＝1处取得极小值。参考答案：√解析：f′(x)在x＝1两侧异号，取得极小值。10.函数f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)的最小正周期为π。参考答案：√解析：周期为π。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝x³－3x＋2的单调区间。参考答案：在(－∞,1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递增。解析：f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)，由f′(x)＞0得x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)，由f′(x)＜0得x∈(－1,1)，单调区间为(－∞,－1)和(1,＋∞)。2.求函数f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)的值域。参考答案：[－√2,√2]解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，值域为[－√2,√2]。3.求函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域。参考答案：R解析：由x²－2x＋3＝(x－1)²＋2＞0恒成立，定义域为R。4.求函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值时a的值。参考答案：a＝e解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e。5.求函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值。参考答案：1解析：函数在x＝1.5处取得最小值，为1。6.求函数f(x)＝sin(x＋π/6)cos(x－π/3)的解析式。参考答案：sinx解析：f(x)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cosx＝sinx。7.求函数f(x)＝x²＋2x＋3在区间[－2，1]上的最大值。参考答案：8解析：f(x)在[－2，1]上单调递增，最大值在x＝1处取得，为8。8.求函数f(x)＝cos(2x)的图像向左平移π/4个单位后得到的函数解析式。参考答案：cos(2x＋π/2)解析：平移后f(x)＝cos[2(x＋π/4)]＝cos(2x＋π/2)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值5，最小值－4解析：f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)，驻点为x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝5，最大值5，最小值－4。2.已知函数f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)，求f(x)在区间[0，π/2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√2，最小值0解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，在[0，π/2]上，2x＋π/4∈[π/4,5π/4]，最小值在x＝π/4处取得，为0，最大值在x＝0处取得，为√2。3.已知函数f(x)＝x²＋2ax＋1在x＝1处的切线斜率为4，求a的值。参考答案：a＝1解析：f′(x)＝2x＋2a，由f′(1)＝4得2＋2a＝4，解得a＝1。4.已知函数f(x)＝ln(x－1)在x＝2处的切线方程。参考答案：y＝x－1解析：f′(x)＝1/(x－1)，f′(2)＝1，f(2)＝0，切线方程为y＝x－1。5.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间[－1，3]上的积分值。参考答案：5解析：∫[－1,1](2－x)dx＋∫[1,2]1dx＋∫[2,3](3－2x)dx＝5。6.已知函数f(x)＝sin(x＋π/6)cos(x－π/3)，求f(x)的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)＝sinx，周期为π。7.已知函数f(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，求f(x)的单调区间。参考答案：在(－∞,1)上单调递减，在(1,＋∞)上单调递增解析：f′(x)＝3x²－a，由f′(1)＝0得a＝3，f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，单调区间为(－∞,－1)和(1,＋∞)。8.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处的切线方程。参考答案：y＝(e－a)(x－1)＋e解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得a＝e，f(1)＝e－e＝0，切线方程为y＝(e－e)(x－1)＋e＝e。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.D5.A6.A7.A8.B9.A10.A解析：1.数轴上点x到点1和点－2的距离之和最小为3；2.由2kπ－π/2≤2x＋φ≤2kπ＋π/2得φ∈[－π,0]；3.f′(1)＝0且f′(x)在x＝1两侧异号；4.x²－2x＋3＞0恒成立；5.f′(1)＝0且f′(x)在x＝1两侧异号；6.f(x)＝1＋√2sin(2x－π/4)；7.f′(x)在[1,e]上单调递增；8.f′(1)＝－4；9.分段函数面积＝∫[0,1](2x－3)dx＋∫[1,2]1dx＋∫[2,3](3－2x)dx＝1；10.f(x)＝sin(x＋π/6)。二、填空题1.(1/2,+∞)12.213.π14.115.216.2cos(x－3π/4)17.218.2π19.(－∞,0)20.1解析：11.2x－1＞0；12.f′′(0)＝2；13.f(x)＝√2sin(2x＋π/4)；14.f′(1)＝0且f′(x)在x＝1两侧异号；15.f(x)分段为f(x)＝{2－x,x∈[－1,1];x－1,x∈[1,2]}；16平移后f(x)＝2cos[(x－π/2)－π/4]＝2cos(x－3π/4)；17.f(x)在[－2,1]上单调递减；18.f(x)＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)；19.x²－x＞0；20.∫[－1,1]|x|dx＝2∫[0,1]xdx。三、判断题1.×22.×23.√24.√25.√26.×27.√28.×29.√30.√解析：21.2x∈[0,2π]，sin(2x)在[0,π]上单调递增，在[π,2π]上单调递减；22.f′(0)＝－3≠0；23.f′(x)＝e^x＞0；24周期为π；25.f′(2)＝1；26.∫[－1,1]|x|dx＝1；27.f(x)＝sin(x＋π/2)＝cosx，周期为2π；28.f(x)在[2,+∞)上单调递增；29.f′(x)在x＝1两侧异号；30周期为π。四、简答题1.单调区间为(－∞,－1)和(1,＋∞)解析：f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)，由f′(x)＞0得x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)，由f′(x)＜0得x∈(－1,1)，单调区间为(－∞,－1)和(1,＋∞)。2.值域为[－√2,√2]解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，值域为[－√2,√2]。3.定义域为R解析：由x²－2x＋3＝(x－1)²＋2＞0恒成立，定义域为R。4.a＝e解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e。5.最小值为1解析：函数在x＝1.5处取得最小值，为1。6.解析式为sinx解析：f(x)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cos