2026年福建省北师大版初中数学第7章几何证明习题

2026年福建省北师大版初中数学第7章几何证明习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=6cm，AD=4cm，则△BOC的周长为（）A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm解析：平行四边形对边相等，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm。对角线互相平分，BO=OC，DO=OB。△BOC周长=BO+OC+BC=BO+BO+4=2BO+4。又△AOD与△BOC全等（SAS），AO=OC，AD=BC，OD=BO。所以△AOD周长=AO+OD+AD=AO+BO+4=2BO+4。因此△BOC周长与△AOD周长相等，为10cm。2.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2cm，DB=4cm，AE=3cm，则EC的长度为（）A.1.5cmB.2cmC.2.5cmD.3cm解析：DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，AD/DB=AE/EC。2/4=3/EC，解得EC=6cm。但题目问EC=EC-3，即EC-3=3-3=0，矛盾。正确解法：DE∥BC，AD/AB=AE/AC，2/(2+4)=3/(3+EC)，6EC=18，EC=3cm。3.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，以AB为边作等边△ABD，则点D到直线AC的距离为（）A.4cmB.3cmC.2√3cmD.√7cm解析：直角三角形面积S=1/2×6×8=24cm²。等边△ABD面积S=1/2×AB×h，AB=√(6²+8²)=10cm。所以h=2S/AB=48/10=4.8cm。但D点在AB上，正确解法：作DE⊥AC于E，△ABD面积=1/2×10×DE=24，DE=4.8cm。DE与AC夹角为30°，DE=AB×sin60°=10×√3/2=5√3cm。4.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E、F分别在AD、BC上，且四边形AECF的面积为6cm²，则EF的长度为（）A.√7cmB.2√2cmC.3cmD.√10cm解析：矩形面积S=AB×BC=12cm²。四边形AECF面积=6cm²，△BEC面积=12-6=6cm²。BE=√(AB²-BE²)=√(4²-BE²)，BE²+CE²=BC²，BE²+(BE+3)²=9，解得BE=1cm。△BEC面积=1/2×BE×BC=3/2×3=4.5cm²，矛盾。正确解法：设EF=x，四边形AECF面积=1/2×(AD+BC)×EF=3.5x=6，x=6/3.5≈1.71cm。5.在等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，点D在BC上，AD=8cm，则∠BAD的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：作AE⊥BC于E，AE=√(AB²-BE²)=√(10²-6²)=√64=8cm。AD=AE，△ADE为等腰直角三角形，∠BAD=45°。6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，AB=5cm，CD=xcm，则x的取值范围是（）A.2＜x＜10B.3＜x＜12C.4＜x＜11D.5＜x＜9解析：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AD=3，BC=7，AB=5，所以AE=√(AB²-AE²)=√(5²-AE²)，DF=√(CD²-DF²)=√(x²-DF²)。AD+BC=AB+CD，3+7=5+x，x=7。矛盾。正确解法：设CD=x，AD∥BC，AB+CD=AD+BC，5+x=3+7，x=5。7.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10cm，则AC的长度为（）A.5√2cmB.5√3cmC.6cmD.7cm解析：∠C=180°-60°-45°=75°。正弦定理AC/BC=sinB/sinC，AC/10=sin45°/sin75°，AC=10×(√2/2)/(√6+√2)/4≈5.9cm。最接近选项C。8.如图，在圆O中，弦AB=8cm，弦CD=6cm，AB与CD相交于点E，且OE=3cm，则AB与CD的距离为（）A.2√3cmB.4cmC.√7cmD.3cm解析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，OE=3。OM²=OA²-MO²，ON²=OC²-NO²。AB=8，CD=6，所以MO=4/2=2cm，NO=3/2=1.5cm。AB与CD距离=MO+ON=3.5cm。矛盾。正确解法：OM²+ON²=OE²，2²+1.5²=3²，矛盾。正确解法：设AB与CD距离为d，OM=4/2=2，ON=3/2=1.5，d²=OM²+ON²=2²+1.5²=7.25，d=√7.25≈2.69cm。9.在等差数列{an}中，a₁=3，公差d=2，则前n项和Sn的最小值为（）A.6B.12C.15D.18解析：Sn=n/2[2a₁+(n-1)d]=n/2[6+2(n-1)]=n(n+2)。n为正整数，最小值n=1，Sn=3。矛盾。正确解法：Sn=n/2[2×3+2(n-1)]=n(n+2)，最小值n=1，Sn=3。正确解法：Sn=n/2[6+2(n-1)]=n(n+2)，n为正整数，最小值n=1，Sn=3。10.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，则△OAB的面积为（）A.1.5B.2C.3D.4解析：△OAB面积=1/2×|x₁y₂-x₂y₁|=1/2×|1×0-3×2|=3。矛盾。正确解法：△OAB面积=1/2×|x₁y₂-x₂y₁|=1/2×|1×0-3×2|=3。正确解法：△OAB面积=1/2×|1×0-3×2|=3。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在平行四边形ABCD中，∠A=70°，则∠C的度数为______°。解析：平行四边形对角相等，∠C=∠A=70°。2.在△ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=10cm，则△ABC的周长为______cm。解析：周长=AB+AC+BC=5+7+10=22cm。3.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，对角线AC与BD相交于点O，则△AOB的面积为______cm²。解析：AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5cm，△AOB面积=1/2×AC×BC=1/2×5×3=7.5cm²。4.在等腰直角△ABC中，AB=AC=10cm，则△ABC的面积为______cm²。解析：作AE⊥BC于E，AE=AB×sin45°=10×√2/2=5√2cm，△ABC面积=1/2×BC×AE=1/2×10×5√2=25√2cm²。5.在圆O中，弦AB=8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则圆的半径为______cm。解析：作OM⊥AB于M，OM=3，AM=AB/2=4，OM²+AM²=OA²，3²+4²=OA²，OA=5cm。6.在等比数列{bn}中，b₁=2，公比q=3，则前4项和b₁+b₂+b₃+b₄=______。解析：b₁+b₂+b₃+b₄=2+6+18+54=80。7.在直角坐标系中，点P(-3,4)关于x轴的对称点坐标为______。解析：关于x轴对称，x坐标不变，y坐标变号，坐标为(-3,-4)。8.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10cm，则AC的长度为______cm（结果保留根号）。解析：∠C=75°，正弦定理AC/BC=sinB/sinC，AC/10=sin45°/sin75°，AC=10×(√2/2)/(√6+√2)/4≈5.9cm。9.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E、F分别在AD、BC上，且四边形AECF的面积为12cm²，则△BEC的面积为______cm²。解析：矩形面积=48cm²，四边形AECF面积=12cm²，△BEC面积=48-12=36cm²。10.在圆O中，直径AB=10cm，弦CD=6cm，AB与CD相交于点E，且OE=3cm，则AE的长度为______cm。解析：作OM⊥CD于M，AM=AB/2=5cm，OM=3，CD=6，EM=3cm，AE=AM-EM=5-3=2cm。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在平行四边形ABCD中，若AB=6cm，AD=4cm，则对角线AC与BD一定互相平分。（）解析：平行四边形对角线互相平分，正确。2.在等腰三角形中，底角与顶角的关系是底角=180°-2×顶角。（）解析：等腰三角形两底角相等，∠A=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，2∠A+∠C=180°，∠A=（180°-∠C）/2，正确。3.在圆中，相等的弦所对的圆心角一定相等。（）解析：在同圆或等圆中，等弦所对圆心角相等，正确。4.在直角坐标系中，点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)。（）解析：关于原点对称，坐标变号，正确。5.在等差数列中，若a₁=5，d=2，则第10项a₁₀=20。（）解析：a₁₀=a₁+(n-1)d=5+9×2=23，错误。6.在三角形中，大边对大角，小边对小角。（）解析：三角形边角关系，正确。7.在圆中，直径是弦，但弦不一定是直径。（）解析：直径是过圆心的弦，正确。8.在等比数列中，若b₁=2，q=3，则前3项和b₁+b₂+b₃=14。（）解析：b₁+b₂+b₃=2+6+18=26，错误。9.在矩形中，对角线互相平分且相等。（）解析：矩形对角线互相平分且相等，正确。10.在三角形中，若两边之和等于第三边，则该三角形是直角三角形。（）解析：三角形两边之和大于第三边，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出等腰三角形的三个主要性质。解析：①两腰相等；②两底角相等；③底边上的高与中线互相重合。2.平行四边形的面积如何计算？解析：面积=底×高，或面积=1/2×对角线×对角线×sin夹角。3.圆心角、弧、弦之间有什么关系？解析：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。4.等差数列的前n项和公式是什么？解析：Sn=n/2[2a₁+(n-1)d]。5.直角坐标系中，如何判断点P(a,b)所在的象限？解析：第一象限a>0,b>0；第二象限a<0,b>0；第三象限a<0,b<0；第四象限a>0,b<0。6.圆的周长与半径有什么关系？解析：周长C=2πr，半径r=C/2π。7.等比数列的通项公式是什么？解析：an=b₁qⁿ⁻¹。8.如何判断一个四边形是平行四边形？解析：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，点D在BC上，AD=8cm，求∠BAD的度数。解析：作AE⊥BC于E，AE=√(AB²-BE²)=√(10²-6²)=√64=8cm。AD=AE，△ADE为等腰直角三角形，∠BAD=45°。2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E、F分别在AD、BC上，且四边形AECF的面积为12cm²，求△BEC的面积。解析：矩形面积=48cm²，四边形AECF面积=12cm²，△BEC面积=48-12=36cm²。3.在圆O中，弦AB=8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求圆的半径。解析：作OM⊥AB于M，OM=3，AM=AB/2=4，OM²+AM²=OA²，3²+4²=OA²，OA=5cm。4.在等差数列{an}中，a₁=3，公差d=2，求前10项和Sn。解析：Sn=n/2[2a₁+(n-1)d]=10/2[6+18]=10×12=120。5.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，求△OAB的面积。解析：△OAB面积=1/2×|x₁y₂-x₂y₁|=1/2×|1×0-3×2|=3。6.在圆O中，直径AB=10cm，弦CD=6cm，AB与CD相交于点E，且OE=3cm，求AE的长度。解析：作OM⊥CD于M，AM=AB/2=5cm，OM=3，CD=6，EM=3cm，AE=AM-EM=5-3=2cm。7.在等比数列{bn}中，b₁=2，公比q=3，求前5项和b₁+b₂+b₃+b₄+b₅。解析：b₁+b₂+b₃+b₄+b₅=2(1+3+9+27+81)=2×121=242。8.在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，AB=5cm，求CD的长度。解析：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AD=3，BC=7，AB=5，所以AE=√(AB²-AE²)=√(5²-AE²)，DF=√(CD²-DF²)=√(x²-DF²)。AD+BC=AB+CD，3+7=5+x，x=5。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.B5.B6.C7.B8.D9.C10.C二、填空题1.702.223.124.50√25.56.807.(-3,-4)8.10√2/√39.3610.2三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.①两腰相等；②两底角相等；③底边上的高与中线互相重合。2.面积=底×高，或面积=1/