小学数学五年级上册小数的‘循环’奥秘：有限小数与无限小数概念建构与数感发展教案

小学数学五年级上册“小数的‘循环’奥秘：有限小数与无限小数概念建构与数感发展教案

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心理念为根本遵循，致力于发展学生的核心素养，特别是数感、运算能力和推理意识。理论建构上，深度融合建构主义学习理论与概念形成理论，强调知识并非被动接受，而是学习者在已有认知基础上，通过主动探究、社会性互动与意义协商主动建构的产物。对于“循环小数”这一兼具程序操作性与概念抽象性的数学对象，教学设计摒弃传统的“告知-记忆”模式，转而创设富有认知冲突的真实问题情境，引导学生在充分的数学活动中——观察、计算、比较、归纳、质疑、概括——经历概念从模糊到清晰、从具体到抽象的全过程。同时，借鉴深度学习理念，不仅关注“是什么”（循环小数的定义），更深入探究“为什么”（循环现象产生的算理根源）以及“怎么用”（与已有知识体系的联系及实际意义），促进知识的融会贯通与迁移应用，实现从表层符号记忆到深层概念性理解的跨越。

  二、教材与学情分析

  （一）教材分析

  “循环小数”隶属于“数与代数”领域“小数除法”单元的知识延伸与深化环节。在本册教材的前序内容中，学生已经系统掌握了整数除法、小数除以整数、一个数除以小数的计算方法，并接触了“商的近似值”这一解决实际问题的策略。循环小数的出现，是小数除法运算中“除不尽”现象的自然产物，它揭示了小数形态的多样性，打破了学生可能存在的“所有除法都能除尽或得到确定近似值”的潜在认知。教材通常通过一道典型“除不尽”的除法算式引入，引导学生观察余数和商的重复出现规律，进而定义循环小数、循环节等概念，并区分有限小数和无限小数。本课的教学价值在于：其一，完善学生对小数概念体系的认识，理解小数根据小数部分位数特征可分为有限与无限两大类；其二，深刻理解除法运算的内部机理（余数的变化规律决定商的形态）；其三，培养严谨的数学观察力、归纳能力和逻辑表达能力；其四，为后续学习分数与小数的互化、无理数的初步认识奠定不可或缺的认知基础。

  （二）学情分析

  五年级学生处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们的认知特点是：具备较强的小数计算技能和初步的观察、归纳能力，能够进行基于具体算例的规律总结；然而，抽象概括能力、对“无限”这一哲学与数学双重概念的感知能力仍较为薄弱。在学习本课前，学生已熟练掌握了小数除法的计算法则，并在解决实际问题中遇到过“除不尽”的情况，但通常以“四舍五入”取近似值作为终点，并未对“商”本身无限延续的形态进行过深入探究。潜在的认知难点可能包括：1.理解“无限”的真实含义，即小数部分确实永无止境地重复，而非仅仅“算了很多位还没完”；2.准确把握“循环节”是从小数点后某一位开始，而非任意位置出现的重复数字段；3.清晰界定有限小数、无限循环小数、无限不循环小数（为后续学习埋下伏笔）的逻辑关系。学生可能产生的错误观念包括：认为循环节一定从小数点后第一位开始；认为写出一段重复数字就是循环小数，而忽略其“无限”的本质。因此，教学需提供大量、对比鲜明的计算实例，通过强烈的认知冲突和可视化、结构化的引导，帮助学生突破这些难点。

  三、教学目标

  （一）知识与技能

  1.结合具体除法计算情境，理解循环小数、有限小数、无限小数的产生过程与数学本质。

  2.能正确识别循环小数，会用简便记法表示循环小数，并准确找出其循环节。

  3.能够清晰地区分有限小数和无限小数（特别是无限循环小数），并对给定小数进行正确分类。

  （二）过程与方法

  1.经历“计算-观察-猜想-验证-概括”的概念形成全过程，提升数学探究能力和归纳推理能力。

  2.在小组合作与交流辨析中，学会用准确、简练的数学语言描述循环小数的特征，发展数学表达能力。

  3.通过对比分析、分类讨论等思维活动，建构关于小数分类的认知结构图式。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在探索“除不尽”背后的数学规律中，体验数学的奇妙与严谨，激发探究数学内在奥秘的好奇心和求知欲。

  2.感受数学知识与现实世界（如周期现象）的联系，体会数学的广泛应用价值。

  3.在克服认知难点、达成概念理解的过程中，培养勇于质疑、严谨求实的科学态度和理性精神。

  四、教学重难点

  （一）教学重点：循环小数概念的形成过程及其本质理解；有限小数与无限小数的区分。

  （二）教学难点：理解循环小数“无限性”与“周期性”的双重特征；准确把握循环节的含义及循环小数简便记法的规范使用。

  五、教学准备

  （一）教师准备：交互式多媒体课件（内含动态演示余数变化与商生成关系的模拟动画）、实物投影仪。

  （二）学生准备：课堂练习本、计算器（用于验证和探索更多例子）、小组合作学习记录单。

  （三）环境准备：将课桌布置为利于四人小组讨论的格局。

  六、教学过程

  （一）创设情境，制造冲突，引出课题（预计用时：8分钟）

  师生活动：

  1.故事化情境导入：教师呈现一个改编自经典的“老和尚讲故事”情境：“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。讲的故事是：从前有座山，山里有座庙……”引导学生发现这个故事永远讲不完的特点，并指出这种“依次不断重复出现”的现象在语言中称为“循环”。

  2.数学问题迁移：话锋一转，提出数学问题：“在数学的除法计算王国里，会不会也存在着这种‘永远讲不完’的、有规律重复的奇妙现象呢？”随即出示两道计算题，要求全班学生独立计算（限时2分钟）：

  （1）400÷75=？

  （2）28÷18=？

  3.制造认知冲突：教师巡视，预计绝大部分学生计算第一题至商为5.333（即余数重复出现）时，会感到困惑；计算第二题至商为1.555（同样余数重复）时，疑惑加深。请几位学生上台板书他们的竖式计算过程。

  4.聚焦关键问题：教师指着黑板上未完成的竖式（如400÷75算到余数25再次出现），提问引导：“同学们，在计算400÷75时，当除到小数部分后，你发现了什么特别的现象？继续除下去，你预判会发生什么？为什么无法得到一个像我们以前学过的那些小数一样，有确定最后一位的小数结果？”

  设计意图：从生动有趣的文学循环现象切入，建立“循环”的初步感知，为数学概念的引入铺设感性认知桥梁。通过设置两道典型且能迅速出现循环迹象的计算题，让学生在亲身体验中遭遇“除不尽”且余数、商出现重复的认知冲突。这个冲突是驱动学生进行深度探究的最直接、最强烈的内在动机。教师的关键提问旨在将学生的注意力从“算不完”的烦躁感，引向对计算过程内部规律（余数变化）的观察与思考，为后续探究指明方向。

  （二）合作探究，发现规律，初建概念（预计用时：15分钟）

  师生活动：

  1.小组探究任务：各学习小组领取“探究学习单”，上面包含三组除法算式：

  第一组（必然除尽）：15÷4=；1.5÷0.5=。

  第二组（可能除尽，可能循环）：10÷3=；11÷4=；70.7÷33=。

  第三组（复杂循环）：1÷7=；5÷6=。

  任务要求：①分工合作，用竖式计算（或部分用计算器辅助探究更多位数）。②重点观察：竖式计算过程中“余数”的变化情况与“商的小数部分”的数字出现情况，记录你的发现。③思考：商的小数部分数字的出现规律，与余数的变化有什么联系？

  2.分组探究与教师指导：学生小组活动，教师巡回指导，关注点在于：引导学生不仅关注“商”是什么，更要深度剖析“为什么商会出现这样的规律”。提示学生将每次除后的余数标上序号，观察余数序列。对于“1÷7”这类循环节较长的例子，可建议用计算器验证，感受其循环的确定性。

  3.全班交流汇报：各小组派代表分享发现，教师利用课件进行动态演示配合。核心引导讨论点：

  （1）对比第一组与第二、三组：什么情况下除法能除尽？（当余数为0时）余数不为0时，会发生什么？（继续除）

  （2）聚焦“10÷3”：余数如何变化？（1→1→1…）商的小数部分呢？（3→3→3…）强调“余数重复出现‘1’，导致商的小数部分不断重复出现‘3’”。

  （3）分析“70.7÷33”：余数可能经历几个不同值后才开始重复？（例如，先出现几个不同的余数，然后某个余数再次出现）对应的商的小数部分，数字是从第几位开始有规律地重复的？

  （4）归纳共性：在所有“除不尽”的算式中，是什么根本原因导致了商的小数部分出现重复现象？（余数重复出现）为什么余数一定会重复？（因为每次除的余数必须小于除数，余数的可能性是有限的（0到除数-1），在无限次的除法过程中，根据抽屉原理，余数必定会重复出现。）

  4.初步描述特征：教师引导学生尝试用自己的语言描述这类“除不尽”且“商的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现”的小数。学生可能会说出“重复小数”、“无限重复小数”、“循环小数”等，教师予以肯定，并自然引出“循环小数”这一数学命名。

  设计意图：提供多层次、对比性的探究材料，让学生在丰富的实例中充分感知。通过小组合作，促进思维碰撞，降低个别学生的思维难度。将探究焦点从“商”转向“余数”，是触及循环现象算理本质的关键一步，有助于学生理解循环并非偶然，而是除法算法在有限余数可能性下的必然结果。运用抽屉原理进行通俗化解释（“余数房间有限，一直住下去总会重复住同一间”），能将学生的理解提升到更高的逻辑层面。让学生尝试命名，体现了对其探究主体地位的尊重，也使概念的生成过程更加自然。

  （三）抽象概括，明晰定义，规范表示（预计用时：12分钟）

  师生活动：

  1.提炼关键词，形成定义：教师引导学生对上一环节的发现进行精炼概括。通过问答，共同提炼出循环小数的核心要素：①小数部分；②从某一位起；③一个或几个数字；④依次不断重复出现；⑤无限。随后，教师出示教科书中严谨的循环小数定义，并请学生对照自己之前的描述进行理解。特别强调“无限”二字不可或缺。

  2.学习“循环节”与简便记法：

  （1）识别循环节：以“5.333…”、“1.142857142857…”为例，让学生指出依次不断重复出现的数字（“3”和“142857”），告知这样的数字段称为“循环节”。

  （2）探究简便记法：提出问题：“像5.333…这样写下去很麻烦，数学家们发明了简便的表示方法，你能猜猜是怎么表示的吗？”学生可能提出在重复数字上加点、画线等。教师介绍国际通行的标准记法：只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上各点一个实心圆点。若循环节只有一个数字，则只在它上面点一个点。进行规范的板书示范：5.333…写作5.3（在3上点一个点）；1.142857142857…写作1.142857（在1和7上各点一个点）。强调点点的位置必须在数字的正上方。

  （3）辨析练习：出示几个循环小数，让学生口述其循环节并用简便记法表示，如：0.5454…、6.128128…、0.187777…（重点辨析循环节是“7”而非“187”）。

  3.对比建构，引出有限与无限小数：

  （1）分类活动：将本节课所有涉及的小数（包括能除尽的和循环小数）罗列出来，如：3.75,3.0,5.333…,1.555…,1.142857…,0.5454…。提问：“观察这些小数，根据小数部分位数的特点，可以将它们分成几类？理由是什么？”

  （2）学生分类讨论，可能会按“能写完”和“写不完”来分。教师引导用更数学化的语言描述：“小数部分的位数是有限的”和“小数部分的位数是无限的”。

  （3）给出定义：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数（如3.75）。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种。

  （4）建构概念关系图：师生共同梳理，形成清晰的知识结构：

  小数

  ├──有限小数（小数部分位数有限）

  └──无限小数（小数部分位数无限）

  └──循环小数（从小数部分某一位起，数字循环出现）

  （此处可设疑：还有不循环的无限小数吗？为后续学习埋下伏笔，但不展开。）

  设计意图：从现象描述到概念定义，是思维从感性到理性的飞跃。本环节注重数学语言的规范化，确保学生掌握准确的术语和记法。通过辨析练习巩固对循环节的理解，特别是循环节不是从小数点后第一位开始的情况，这是易错点。通过分类活动，引导学生从更高维度审视小数的全貌，自主建构“有限小数”与“无限小数”这对上位概念，并明确循环小数在其中的位置。绘制概念图有助于学生形成系统化的认知结构，而非孤立地记忆概念。

  （四）巩固应用，深化理解，拓展延伸（预计用时：12分钟）

  师生活动：

  1.基础辨识与表示练习：

  （1）判断：下列小数中，哪些是循环小数？哪些是有限小数？

  0.3737…、4.16666…、0.50505、8.222、7.348348…、3.1415926…（π的近似值）、2.0。

  重点讨论“0.50505”（有限小数）与“0.50505…”（循环小数）的区别，强调省略号的意义。讨论“3.1415926…”目前看不出循环，但它是一个无限不循环小数的例子，简单提及，激发好奇。

  （2）将上述循环小数用简便记法表示。

  2.综合分类练习：给出一个包含有限小数、无限循环小数、整数（如5，可视为特殊有限小数）的集合，让学生独立分类，并说明理由。

  3.思维拓展与联系生活：

  （1）逆向思考：“一个循环小数0.abc…（循环节是abc），你能想象一下在当初做除法竖式时，余数可能是如何变化的吗？”促进学生反向思考概念的本质。

  （2）生活链接：除了故事，生活中还有哪些“循环”现象？（四季更替、星期、日出日落、音乐节奏等）指出数学中的循环小数是对现实世界中周期现象的一种抽象数学模型。

  （3）文化渗透：简要介绍古代数学家在研究循环小数方面的贡献（如中国古代的“割圆术”与无限逼近思想），或展示1除以7、17等得到的美丽循环节，感受数学的和谐与神秘之美。

  设计意图：练习设计遵循由易到难、由辨识到理解、由概念到应用的原则。基础练习巩固定义和记法。综合分类练习检验学生对整个概念体系的掌握情况。思维拓展题旨在加深对算理的理解。联系生活与文化渗透，将数学课堂向外延伸，体现数学的广泛联系性和人文价值，使学习更有深度和温度。

  （五）回顾总结，反思评价，布置作业（预计用时：3分钟）

  师生活动：

  1.学生自主总结：请学生从“我学到了什么（知识）”、“我是怎样学会的（过程）”、“我有什么新的体会或疑问（情感、反思）”三个方面进行课堂总结。教师鼓励学生分享，并适时补充。

  2.教师系统梳理：教师用精炼的语言回顾本节课的核心知识脉络：从计算冲突出发，发现余数重复导致商循环的规律，抽象出循环小数和循环节的概念，学会简便记法，并通过分类认识有限小数和无限小数，构建了小数的新图景。

  3.布置分层作业：

  （必做）练习册相关基础题。寻找生活中的1-2个循环现象，尝试用数学方式（如循环小数）进行简单的模拟或描述。

  （选做/探究）1.计算1除以17，观察其循环节，尝试发现规律。2.思考：两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？请举例说明，并尝试证明你的结论。

  设计意图：引导学生从知识、过程、元认知多个维度进行总结，促进学习经验的整合与内化。教师的梳理起到画龙点睛、强化结构的作用。分层作业尊重学生个体差异，必做作业巩固基础，选做作业满足学有余力学生的探究欲望，将学习从课内引向课外，保持思维的持续性。

  七、板书设计

  （左侧主板书区）

  小数的“循环”奥秘

  ——有限小数与无限小数

  一、探究发现：

  400÷75=5.333…

  28÷18=1.555…

  10÷3=3.333…

  1÷7=0.142857142857…

  （核心发现：余数重复→商循环）

  二、概念建立：

  1.循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。

  （关键：小数部分、某一位起、依次不断、重复、无限）

  2.循环节：依次不断重复出现的数字。如：3，142857

  3.简便记法：只写第一个循环节，首位和末位数字上点圆点。

  例：5.333…=5.3（点）1.142857…=1.142857（点1和7）

  三、概念体系：

  小数

  ├──有限小数（例：3.75，2.0）

  └──无限小数

  └──循环小数（例：5.3（点），1.142857（点））

  （……还有无限不循环小数）

  （右侧副板书区）

  学生探究关键发现记录区

  学生典型错例或疑问展示区

  八、教学反思与特色说明

  （一）教学反思预评估

  本设计力图体现以学生探究为核