2026年湖南省北师大版高一数学必修第五册综合测试卷

2026年湖南省北师大版高一数学必修第五册综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第五册中，函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图像经过点(1,2)，且其导数f'(x)在x=0处的值为3，若该函数的对称轴为x=-1，则实数a，b，c，d的值分别为（）A.a=1，b=2，c=3，d=0B.a=-1，b=2，c=-3，d=4C.a=1，b=-2，c=3，d=-2D.a=-1，b=-2，c=3，d=0解析：由题意知f(1)=2，即a+b+c+d=2，f'(x)=3x^2+2bx+c，f'(0)=3，即c=3。对称轴为x=-1，则-1=-b/(2a)，结合f'(0)=3，可得b=-6，代入f(1)=2，解得a=1，d=-2。故选C。2.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∪B={x|x>0}，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a=1C.a≠0D.a=0或a>1解析：A={x|x>2或x<1}，若A∪B={x|x>0}，则B⊆A，当a=0时，B=∅，符合条件；当a≠0时，B={1/a}，需1/a>2或1/a<1，解得a<1/2或a>1/2且a≠0。综上，a=0或a>1/2且a≠1。故选D。3.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-a_n，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2^n-2^(n-1)B.a_n=2^n+2^(n-1)C.a_n=2^(n-1)-2^nD.a_n=2^(n+1)-2^n解析：当n=1时，a_1=S_1=2-a_1，a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-a_n-(2^(n-1)-a_(n-1))，整理得2a_n=a_(n-1)+2^n，即a_n=(a_(n-1)+2^n)/2。递推可得a_n=2^n-2^(n-1)。故选A。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。最小值在x=1处取得，f(1)=3。故选B。5.在北师大版高一数学必修第五册中，若直线l：y=kx+1与圆C：(x-2)^2+(y-3)^2=4相交于两点A、B，且|AB|=2√3，则实数k的值为（）A.k=√3/3B.k=-√3/3C.k=√3或k=-√3D.k=0解析：圆心(2,3)，半径2，弦长2√3，则圆心到直线距离为√(4-3)=1。直线方程代入圆方程，整理得(1+k^2)x^2+(2k-4)x+4=0，判别式Δ>0。由距离公式1=|2k-3|/√(1+k^2)，解得k=√3/3或k=-√3/3。故选A。6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数g(x)=cos(ωx)，则φ的值为（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.-π/4解析：g(x)=cos(ωx)=sin(ωx+π/2)，平移π/4得f(x)=sin[ω(x-π/4)+φ]=sin(ωx-ωπ/4+φ)=sin(ωx+π/2)，即-ωπ/4+φ=π/2，φ=π/2+ωπ/4。又g(x)周期为2π/ω，f(x)周期为2π/ω，故ω=1，φ=3π/4。故选B。7.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+ln(a_n)，则数列的前n项和S_n的极限为（）A.1B.eC.+∞D.0解析：a_(n+1)-a_n=ln(a_n)，累加得a_n-a_1=ln(a_1)+ln(a_2)+...+ln(a_n)，即a_n=1+ln(a_1)+ln(a_2)+...+ln(a_n)。当n→+∞时，a_n→+∞，S_n发散。故选C。8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为（）A.8，-10B.10，-10C.8，-8D.10，-8解析：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0，x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2。最大值10，最小值-10。故选B。9.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z满足|z|=1，且z^3+z=0，则z的值为（）A.1B.-1C.i或-iD.1或-i解析：z^3=-z，z(z^2+1)=0，|z|=1，z≠0，故z^2=-1，z=±i。故选C。10.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)，若f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.0<a<1C.a>1或0<a<1D.a>1且a≠1解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,2)上递增，f(x)单调递增需a>1。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^2+bx+c在x=1处的切线方程为y=2x-1，则b+c的值为________。参考答案：2解析：f'(x)=2x+b，f'(1)=2+b=2，b=0。f(1)=1+b+c=1，c=0。b+c=0。2.已知集合A={1,2,3}，B={x|x^2-5x+6=0}，则A∩B的元素个数为________。参考答案：2解析：B={2,3}，A∩B={2,3}，共2个。3.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}的前n项和S_n=3^n-1，则a_5的值为________。参考答案：48解析：a_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)，a_5=2×3^4=48。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值点的横坐标为________。参考答案：-1解析：分段函数在x=-1处取得最小值。5.在北师大版高一数学必修第五册中，若直线l：y=kx+1与圆C：(x-2)^2+(y-3)^2=4相交于两点，且两交点连线垂直于x轴，则k的值为________。参考答案：-3/2解析：圆心(2,3)，半径2，两交点连线垂直x轴，则直线过圆心，k=-3/2。6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则ω的值为________。参考答案：4解析：周期π，ω=2π/π=2。对称轴x=π/4，2×π/4+φ=kπ+π/2，φ=π/4，ω=4。7.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+ln(a_n)，则数列的前n项和S_n的极限为________。参考答案：+∞解析：见第7题解析。8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,3]上的最大值点的横坐标为________。参考答案：3解析：见第8题解析。9.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z满足|z|=1，且z^3+z=0，则z的模为________。参考答案：1解析：|z|是复数模的定义。10.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)，若f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是________。参考答案：a>1解析：见第10题解析。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为10和-10，则该函数在x=3处取得最大值。参考答案：正确解析：f(3)=2，非最大值，错误。2.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|x>1}，则A∪B={x|x>0}。参考答案：正确解析：A={x|x>2或x<1}，A∪B={x|x>0}，正确。3.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-a_n，则该数列是等比数列。参考答案：错误解析：a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-a_n-(2^(n-1)-a_(n-1))，非等比数列。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值点的横坐标为0。参考答案：错误解析：最小值点为x=-1，非0。5.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z满足|z|=1，且z^3+z=0，则z的平方为-1。参考答案：正确解析：z^3=-z，z^2=-1，正确。6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数g(x)=cos(ωx)，则φ=π/4。参考答案：错误解析：φ=3π/4，非π/4。7.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+ln(a_n)，则数列的前n项和S_n有界。参考答案：错误解析：S_n发散，无界。8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,3]上的最小值点的横坐标为-2。参考答案：正确解析：f(-2)=-10，最小值点为-2，正确。9.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z满足|z|=1，且z^3+z=0，则z的立方为1。参考答案：错误解析：z^3=-z，z^3=-1，非1。10.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)，若f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是0<a<1。参考答案：错误解析：a>1，非0<a<1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=2×3^(n-1)解析：a_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的横坐标。参考答案：最小值3，横坐标-1解析：分段函数在x=-1处取得最小值3。3.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z=1+i，求z^2的值。参考答案：2i解析：z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i。4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数g(x)=cos(ωx)，求ω和φ的值。参考答案：ω=2，φ=3π/4解析：见第6题解析。5.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+ln(a_n)，求该数列的前n项和S_n的极限。参考答案：+∞解析：见第7题解析。6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值10，最小值-10解析：见第8题解析。7.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z满足|z|=1，且z^3+z=0，求z的值。参考答案：i或-i解析：见第9题解析。8.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)，若f(x)在(1,2)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a>1解析：见第10题解析。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-a_n，求该数列的前5项和S_5。参考答案：31解析：a_n=2×2^(n-1)，S_5=2^1+2^2+2^3+2^4-5=31。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-3,3]上的值域。参考答案：[3,8]解析：f(x)在x=-2处最小值3，x=3处最大值8。3.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z=1+i，求z^10的值。参考答案：-1024解析：z^10=(1+i)^10=2^5(-1)=1024。4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，求f(x)在x=π/2处的值。参考答案：0解析：ω=2，φ=3π/4，f(π/2)=sin(3π/2+3π/2)=0。5.在北师大版高一数学必修第五册中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+ln(a_n)，求该数列的前3项和S_3。参考答案：3+ln(1+ln2)解析：a_2=1+ln1=1，a_3=1+ln1=1，S_3=3。6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-1,1]上的平均值。参考答案：0解析：f(x)在[-1,1]上积分为0，平均值为0。7.在北师大版高一数学必修第五册中，若复数z满足|z|=1，且z^3+z=0，求z的平方根。参考答案：±(1+i)/√2解析：z=i，平方根为±(1+i)/√2。8.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)，若f(x)在(1,2)上单调递增，求a的值。参考答案：a=2解析：a>1，且x^2-2x+3在(1,2)上递增，a=2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.D3.A4.B5.C6.B7.C8.B9.C10.A二、填空题1.212.213.4814.-115.-3/216.417.+∞18.319.120.a>1三、判断题1.×22.√23.×24.×25.√26.×27.×28.√29.×30.×四、简答题1.a_n=2×3^(n-1)解析：a_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。2.最小值3，横坐标-1解析：分段函数f(x)在x=-1处取得最小值3。