现代信号处理教程（第三版）课件 第13 章 Hilbert Huang变换基础

第4篇Hilbert－Huang变换

第13章Hilbert－Huang变换基础13.1非平稳和非线性信号13.2已有非平稳信号分析方法简述13.3关于瞬时频率的进一步讨论13.4经验模式分解13.5Hilbert谱分析现实世界中信号绝大部分都是非平稳和非线性的，而教科书中讨论的众多数字信号处理的方法都是假定信号是线性的，确定性的，或平稳的。美籍华人科学家黃鍔（N.E.HUANG）教授针对非平稳和非线性信号的分析，于1998年提出了一个称之为Hilbert－Huang变换的理论，从而为非平稳，特别是非线性信号的分析与处理开辟了一个高效和新颖的途径。13.1非平稳和非线性信号“平稳”信号有两种定义方法：一、若随机信号

的均值为常数，即且自相关函数和选取起点无关，即称是宽平稳的。宽平稳信号的二阶矩（自相关函数，功率谱）不随时间变化。二、频率不随时间变化的信号称为时不变信

号，或平稳信号。以上两个定义是一致的。不满足上述条件的信号就是非平稳信号。自然界的绝大部分信号都是非平稳的。如我们的语音，人体所有生理信号，等等。

“非平稳”信号的模型：Chirp信号

Chirp信号，非平稳关于非线性信号非线性系统输出的信号；线性系统也可能输出非线性信号（系统饱和）。线性系统是针对复杂现象而提出的理想化模型。多数情况下，这一假设可近似成立。线性移不变系统（LSI），最大特点：满足叠加原理。非线性系统：VanderPol微分方程Duffing微分方程在现实世界中确存在着很多非线性系统，其输出（信号）是无法用线性系统来近似的。我们人体的电生理信号，如ECG，EEG，EMG，都是细胞膜电位通过人体系统后在体表叠加的结果。

人体组织是非线性的，因此，这些信号严格地说都是非线性信号，但目前我们都是把它们当作线性信号来处理。实际工作的需要，促使人们探索非平稳和非线性信号的处理方法。

傅里叶变换是信号分析和处理中的基本方法，已获得了广泛的应用，其本质是：将周期信号分解为常数幅度、离散常数频率的正弦的组合。周期信号FS非周期信号将信号分解为常数幅度、连续常数频率的正弦的组合。FT傅里叶变换的不足：1.不具有时间和频率的“定位”功能;2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性3．傅里叶变换在分辨率上的局限性显然，傅里叶变换对非平稳和非线性信号不适用。傅里叶变换的不足是推动新的信号处理的原动力！13.2已有非平稳信号分析方法简述

短时傅里叶变换

对信号分段，求每一段的傅里叶变换，得到信号的联合时频分析，如谱图。不足：

（1）如何确定多长的一段是局部平稳的？

（2）在分辨率方面也受到不定原理的制约，即为了好的时间定位，希望每一段尽量短，但这影响频率分辨率，反之亦然。2.Wigner-Ville分布WVD给出了信号的能量随时间和频率的分布，被公认为是对非平稳信号分析和处理的重要工具，并已获得广泛应用。不足：

（1）是的FT，受不定原理的制约，即时间/频率分辨率的制约；

（2）瞬时频率是时间的单值函数，无法表示多分量信号频率分布的特点，给出的只是多个频率在一个时间点上的平均值;

（3）交叉项存在。3．小波变换

小波变换是过去二十年来信号处理领域最重要的进展。在HHT提出（1998）之前，它是分析和处理非平稳信号最成功的工具。不足：

（1）本质上也是加窗后的傅里叶变换；

（2）基函数需要预先指定，缺乏自适应性；

（3）如何选择最优的小波基是一个仍未解决

的问题。13.3关于瞬时频率的进一步讨论瞬时频率是描述非平稳和非线性信号最重要的工具，也是HHT中的核心内容。但接受和理解都比较困难。原因：来自于频率的定义。，为得到频率，至少需要一个周期的长度。小于一个周期的数据将无法求出频率。“瞬时”，自然也就无法对应频率；瞬时频率的定义存在多样性；瞬时频率在计算方面还存在问题。将瞬时频率永远从通信工程师的词典中删除；瞬时频率在给非线性失真波形赋以物理意义方面是概念上的创新。文献上说：

傅里叶变换将信号分解为无穷多常数幅度和频率的复正弦，得到的频率又称傅里叶频率。显然，傅里叶频率是和正弦的周期紧密相连的。因此，用通常的频率的定义来理解瞬时频率，是行不通的。

但瞬时频率是客观存在的。如我们身边绚丽的色彩，悠扬的旋律，都包含了不断变化的频率成分。问题是如何给出确切的定义和有效的计算方法。矛盾！瞬时频率如何定义？Carson于1937年VanderPol于1937年给出：IF是相位函数的微分问题是：实际的信号总是实的，如何得到其相

位函数

？该问题引出了将实信号变成复信号的需要。理由：（1）实信号的幅频响应偶对称，这时求出的信号的

平均频率（频率中心）

，无实际的意义。（2）已在1.3节定义，平均频率是若=0必=0，对非平稳信号，不符合实际（3）复信号易于确定其相位函数。将实信号变成复信号的方法：正交分量法解析信号法解析信号法：Gabor于1946年提出，主要特点

是通过Hilbert变换得到虚部。取正交分量构成复信号正交分量法：理想化方法，假定AM问题是：如何得到出幅度和相位？

因此，该方法不实用。其希尔伯特变换定义为:的解析信号定义为:表示为幅值和幅角的形式:其中:又称：HilbertIF于是可求出IF:解析信号的特点：（1）可唯一地得到信号的幅度和相位

，从而得到IF;（2）解析信号的频谱在负频率处恒为零，克服了实

信号平均频率为零的问题；

（3）由，可以突出

局部特征，

反映到极坐标里，使得相位函数对时间的微分

是瞬时频率。基于解析信号的瞬时频率的定义也存在问题：（1）对任意一个信号，总能求出Hilbert，进而

得到其瞬时频率，但这样的结果有无意义？

结论是：只有当为窄带信号信号时，求

出的瞬时频率才有物理意义。Bedrosian定理:若的包络和载波满足

则通过解析信号求得的瞬时频率才有物理意义。含意：包络可从信号的HT中分离出来，确保得到载波的正交分量。（2）由于

是时间的单值函数，因

此，要求所研究的信号

必须是单分量

信号。对多分量信号，要将其分解为

单分量信号。问题：如何分解？（3）信号

必须是零均值的，且相对于

零均值上、下对称。瞬时频率的其它定义：的WVD的Cohen类分布体现的瞬时频率定义的多样性瞬时频率的“估计”因为实际数据是有限长数据是离散的基于相位函数的差分法基于过零点的方法，基于最小均方的LMS算法，基于递归最小二乘的RLS算法基于时频分布的算法估计方法：相位函数差分法前向后向中心

第4篇Hilbert－Huang变换13.4经验模式分解（EmpiricalModeDecomposition，EMDHHT有两个步骤：经验模式分解（EMD）Hilbert谱分析EMD将复杂信号分解为一系列简单信号：称为“固有模态函数（IntrinsicModeFunction，

IMF）”。一个IMF就是一个窄带信号。这一分解无需先选定基函数；取决于信号本身；因而是自适应的；是高效的。

IMF的特点：数量有限，少量；是窄带信号，方便求瞬时频率；体现信号局部性质，适于非平稳非线性。（1）在持续时间内，其极值点的数目和过零点

的数目应该相等，或最多差一个；（2）在持续时间内，由信号的局部最大和局部

最小定义的上、下包络的均值为零。IMF要

满足：一个IMF波形EMD分解过程：给定

找出

的局部最大、最小值点，再利用三次样条函数对其进行插值得到

的上包络和下包络极大值包络极小值包络记上包络为，记下包络为，求均值曲线，再求

完成了一次迭代。检查是否符合IMF的要求。一般不会，按所示方法重新迭代，直到符合为止，这样可得到一个IMF。

再继续分解，得到新的IMF。包络均值令满足结束条件？否是Sifting步骤：插值计算

包络

信号

一般不是窄带信号，通过EMD分解，可将其分解为若干近似IMF的分量之和。EMD的关键步骤称为Sifting。Sifting的结束条件可以有多种，包括：1、或的范数小于特定阈值；2、本身为窄带信号，不能再分解出IMF分量Sifting结束满足Sifting结束条件？开始EMD流程信号由频率为1Hz，5Hz，10Hz，20Hz，50Hz,和100Hz的正弦信号之和，对其进行EMD分解;例例关于Sifting的停止准则:有多种；尚未完全解决。（1）Cauchy类型的停止准则要求：在时间T内小于给定阈值。（2）基于包络均值的停止准则（3）“S”数停止准则：定义为连续迭代的次数，

而在这连续的迭代过程中，

的极值点的

个数和过零点的个数相等或最多差一个。（4）固定迭代次数的停止准则：

对白噪声做EMD

分解时，EMD等效一个二进滤波器组，但如

果迭代次数大于10这一等效不再成立，因此建

议迭代的停止准则是10次。迭代过程中数据端点的处理：见教材。

EMD的特点：（1）EMD分解可以看作是广义的傅里叶分解。对每一个IMFFS:

EMD用时变幅度、频率代替FS中的固定幅度和固定频率，有利于非平稳和非线性信号的分析与处理。（2）IMF的集合可看作是实现经验模式分解的基函数。该基函数是依赖于数据的，因此是自适应的。即基函数适应了待分解信号的局部特征。而傅里叶变换和小波变换的基函数都是先验的，且是固定的。

IMF基函数具有一般基函数的基本性质，如收敛性，完备性和正交性等。（3）收敛性：尚无理论证明，但在实际应用中可肯定

对任意小的正数

，总存在一个大的数

，使

得均值（4）完备性：信号

可以由其IMF分量完全重建。（5）正交性：IMF基函数的正交性在理论上也还没有得

到证明。文献[Hua98]定义了一个指标IO很小，说明各个IMF分量接近正交。（6）傅里叶变换、时频分布、小波变换都受到不定原理的制约。而EMD是建立在局部的瞬时频率上的，而瞬时频率是通过Hilbert变换得到的，因此EMD不受不定原理的制约。（7）傅里叶变换只适用于确定性信号和平稳

信号；时频分布和小波变换可适用于非

平稳信号但不适用于非线性信号，而EMD既适用于非平稳信号，也适用于非

线性信号。13.5Hilbert谱分析EMD:个IMF都是窄带信号，适于做Hilbert变换残余分量，不考虑HT构成解析信号，得到幅度、相位

求出信号的IMF并由此得到其时变的幅度和瞬时频率后，有两种方法来表示信号的特征：