现代信号处理教程（第三版）课件 第9-16章 小波变换基础 -模拟-信息转换及CS的应用

第三篇小波变换小波变换第9章小波变换基础第10章离散小波变换的多分辨率分析第11章正交小波构造第12章双正交小波、小波包及小波提升方案第13章基于小波变换的信号奇异性检测及去噪第9章小波变换基础9.1小波变换的定义9.2小波变换的特点9.3连续小波变换的计算性质9.4小波变换及小波容许条件9.5重建核与重建核方程9.6小波的分类9.7连续小波变换的计算9.8尺度离散化的小波变换及小波标架9.1小波变换的定义

定义：给定

小波变换（WaveletTransform）

可得到一族函数

令：

及：

基本函数，母小波伸缩和移位变量给定信号

定义

几点说明：1.

母小波和信号都应当是能量信号；2.可以是实函数，也可以是复函数；为信号

的小波变换。

是尺度变量，是移位变量，二者都可是连续的，也可以是离散的。的范围是；的范围是可以看作是一族基函数，因此，信号的小波变换可以看作是信号在这一族基函数上的分解；小波变换是双变量和的函数，由后面的讨论可知，小波变换也是时频分布的一种表示形式。6.的作用是保证作伸缩和位移后，能量不变：的作用是把基本小波作伸缩，从而改变分析的频率中心，同时也决定了频域分析的分辨率；的作用是决定对分析的时间中心，如下图所示：8.由上面的讨论可知，小波分析犹如用一个显微镜观察一个物体，如图所示。小波：“数学显微镜”。镜头推进方向镜头平移方向以较高频率进行分析以较低频率进行分析9.小波变换也可以从频域来定义：证明：Parsevals定理结论得证！10.小波，顾名思义，是一个“小的波”，我们希望它在时域和频域都是紧支撑（compactlysupported)的，当然，还希望它有着一系列其他好的性质，后面讨论。墨西哥草帽小波Haar小波11.小波理论是80年代后期发展起来的应用数学分支。法国地球物理学家：J.Morlet于1984年提出了将地

震波以一个确定性函数的伸缩和位移作分解；法国地球物理学家：A.Grossmann关于小波标架；法国地球数学家：Y.Meyer中的正交基法国学者：S.Mallat多分辨率分析；法国学者：I.Daubechies:

正交、双正交小波构造；1988NSF/CBMS:“小波十讲”小波发展的“法国学派”有关小波发展的历史，请参看：I.Daubechis.Wheredowaveletcomefrom?—Apersonalofview.Proc.IEEE,84(5),p510~513,1996有关小波软件：MATLAB“WaveletToolbox”,有关小波的主要参考文献：

I.Daubechies.TenLecturesonWavelets.SIAM, I.Daubechies.Thewavelettransform,time-frequency localization andsignalanalysis.IEEETrans.Info. Theory,.36(5):961—1005,1990A.Cohen,I.Daubechies.Biorthogonalbasesof compactly supportedwavelets.Commun.OnPureandAppl.Math., 45:485—560.1992

A.Mertins.SignalAnalysis:Wavelet,FilterBanks,Time- FrequencyTransformsandApplications. S.Mallat.AWaveletTourofSignalProcessing.1997（1999年 第2版，有中文译本）C.K.Chui.AnIntroductiontoWavelets.Academic Press,New York,1992（有中文译本）杨福生.小波变换的工程分析与应用，北京：科学出版社，19999.2小波变换的特点

如果在时域是有限支撑的，那么

在时域也是有限支撑的。如果在频域是带通的，且是有限支撑的，那么在频域也是有限支撑的。

这是所希望的。能否找到这样的小波？时间中心时宽频率中心带宽伸缩前：伸缩后：伸缩前后时宽－带宽积不变定义：母小波的品质因数带宽/频率中心不论取何值，和具有相同的品质因数，这一性质称为小波变换的恒性质。在中间频段在低频段频域范围变窄，频率分辨率提高在高频段频域范围变宽，频率分辨率变差时窗变宽，时间分辨率变差时窗变窄，时间分辨率变好对快变信号，一般持续时间短，我们希望有好的时间分辨率，对频率分辨率不作强求；反之，对慢变信号，我们希望有好的频率分辨率，对时间分辨率不作强求；快变信号，其频率成分自然在高频处；慢变信号，其频率成分自然在低频处。由此可以看到，小波变换可自动满足这一要求。

注意图中，矩形的面积不变，即小波变换的时宽－带宽积保持不变，一方面说明小波变换可根据实际需要调整时－频分辨率，另一方面也说明，小波变换也要遵循信号时宽－带宽积的基本原理（或不定原理）。小波变换和其它信号分析方法的区别：

傅立叶变换：基函数：时域无穷长正弦，频域函数基函数：频域无穷长正弦，时域函数无定位功能，也不能根据实际需要（快变与慢变）调整分辨率。短时傅立叶变换：在STFT中，只有窗函数的移位，没有时间的伸缩。位移的大小不会改变基函数，即复指数的频率中心及带宽；没有影响窗函数，所以STFT不具备恒性质。反之，当基函数的频率变化时，如由调制频率变快影响频率中心，不影响带宽STFT不具备恒

性质，也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力2Ω0Ω0/2Ω0

谱图（Spectogram)尺度图（Scalogram）尺度图是随位移和尺度的能量分布，实质上也是一种时－频分布。因为小对应高频，大对应低频。Wigner分布Wigner分布和小波变换的关系通道滤波器组和小波有着密切的关系，其思想都是对信号做子带分解。通道均匀滤波器组强调每一个子带信号有着相同的带宽，这和小波不同。但是，树状滤波器组和离散小波的概念非常类似。WVD1．时移性质9.3连续小波变换的计算性质

2．尺度转换性质3．

微分性质4.两个信号卷积的CWT

5．

两个信号和的CWT线性变换，不是能量分布

分别是和的幅角

有交叉项

在Cohen类时频分布中，交叉项出现在两个自项的时频中心，而尺度图中交叉项出现在两个分量都不为零处。6.小波变换的内积定理

Parseval定理的各种表现形式：小波变换的Parseval关系？

设定理9.3.1则式中：如果：则：小波变换Parseval定理的表示形式在上面的关系中定理9.3.1的证明：由代入假定积分存在则9.4小波反变换及小波容许条件定理9.4.1则可由其小波变换来恢复，即

容许条件（admissibilitycondition）

如果令

证明：证毕！由几个重要结论：并不是任一满足的时域函数都可以充当小波；可以充当小波的必要条件是其傅立叶变换满足容许条件；结论：小波一定是带通函数！2.由要求：必有？3.由于所以另外：窗函数的基本要求？以上几条大致勾画出了小波的特点，即是带通函数，是正、负振荡的，当然，我们还希望它在时域与频域都是有限支撑，故称“小波（Wavelet)”是振荡的小波变换的稳定性条件：尺度离散化FT上式即是小波变换的稳定性条件

满足此式的小波称为“二进制（dyadic)小波即傅里叶变换有界要求在任一尺度下：当9.5重建核与重建核方程

问题的提出：前面已指出，并不是任一满足的时域函数都可以充当小波；可以充当小波的必要条件是其傅立叶变换满足容许条件；反过来，并不是平面上的任一个二维函数都对应某一时域信号的小波变换。如果是，它应满足如下的重建核方程。定理9.5.1

上的二维函数是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足重建核方程:重建核

重建核方程的含意：若是的小波变换，那么在平面上某一点处小波变换的值可由半平面上的值来表示，即是半平面上的总贡献。既然平面上各点的可由重建核方程互相表示，因此这些点上的值是相关的，因此小波反变换是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用平面上离散栅格上的来重建，以消除重建过程中的信息冗余。引出标架理论小波变换定义小波反变换代入证明：证毕！9.6小波的分类

对作为小波函数的要求：是带通函数；是正、负振荡的；希望它在时域与频域都是有限支撑的；满足容许条件；，两两之间最好是正交的；对应的滤波器最好具有线性相位；最好有高阶的消失矩。小波的种类：一、经典小波（Crudewavelet)Haar小波；Morlet小波；Mexicanhat小波；Gaussian小波等；二、正交小波Daubechies正交小波（db小波）；对称小波；Coiflet小波三、双正交小波有多种形式的双正交小波db小波的变形一、经典类小波1.Haar小波

其他来自于1910年提出的Haar正交函数集（1）Haar小波在时域是紧支撑的，即其非 零区间为（0，1）

（3）是对称的

（4）仅取＋1和－1， 计算简单（2）属正交小波

2.Morlet小波

Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。

在MATLAB中，取：Morlet小波也不是紧支撑的。但是，当时，时域、频域都具有很好的能量集中。Morlet小波是对称的。时域频域3.Mexicanhat小波

该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换

4．Gaussian小波

该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的

离散Meyer小波：“dmey’复数高斯小波：“cgan”复数Morlet小波：“cmor”复数Shannon小波：“shan”复频率B样条小波“fbsp”在经典类小波中，还有：请自己看MATLAB文件二、正交小波

1．Daubechies小波

db小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。的支撑范围，的支撑范围在。db小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。

它是由法国女学者IngridDaubechies于90年代初提出并构造的尺度函数小波函数尺度函数小波函数2.对称小波

它除了有db小波的特点外，主要是是接近对称的，所用的滤波器可接近于线性相位

3.Coiflets小波紧支撑正交、双正交小波，支撑范围:，也是接近对称的。的消失矩是，的消失矩是4．Meyer小波Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。

三、双正交小波

双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中是低通重建滤波器的阶次，是低通分解滤波器的阶次。这一类小波自然是双正交的，是紧支撑的，是对称的，具有线性相位bior3.7双正交小波分解重建9.7连续小波变换的计算

都是连续的，当在计算机上实现时，它们都必须离散化。先考虑的离散化：最常用的方法是取（dyadic)

实际中有时显得尺度跳跃大，可在更小的区间内取值。

上述对应的变换称为“连续小波变换（CWT）”；再考虑都离散化，显然是在（）平面的离散栅格上作小波变换，对应的称为离散小波变换（DWT）；考虑都离散化，对应的小波变换称为离散序列的小波变换（DTWT）；具体实现是用

Mallat的多分辨率分析。具体内容见第10章。实际上，上述三种情况下，都必须离散化，只不过每一种情况下强调的重点不同。连续小波变换（CWT）的计算：最简单的方法是用数值积分的方法

在的区间内：所以上式又可写为：

该式可看作是MATLAB中的“cwt”即是按此思路计算一个信号的连续小波变换的。前面卷积到后面到，然后相减。不足之处：在变化时，式中括号内的积分、差分后的点数不同，也即和卷积后的点数不同。解决的方法是在不同的尺度下对作插值（1）指定母小波及其时间轴刻度，假定长为CWT的计算步骤：（2）从时间轴坐标的起点开始求积分

（3）求卷积：（4）求差分。决定积分的步长a小，得到高频成分

a大，得到低频成分原始信号使用信号“noissin”，对其作CWT时分别

取例9.7.1

使用信号“noissin”，对其作CWT时分别

取小波系数的灰度图，颜色越深，说明小波系数越大例9.7.2接上例。长度之间变换，变换不大，小波系数的区别也不明显。

将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架理论。

9.8离散小波及小波标架理论一、连续小波变换回顾；二、尺度离散化后的离散小波变换；三、长度和位移都离散化后的离散小波变换；四、小波标架讨论如下四个问题：一、连续小波变换回顾都是连续的容许条件反变换正变换信息冗余二、尺度离散化后的离散小波变换一般：半离散化二进小波二进小波变换仍然是连续的取：在二进制小波的情况下，信息的冗余肯定比连续小波的情况下得到减轻，但能否由二进制小波变换重建出原信号？

从对信号作频域分析的角度，我们希望当由变成时，和在频域对应的分析窗能够首尾相连这样，当时，各个尺度下的小波的频带可以覆盖整个频率轴，以实现信号的重建。尺度小波中心频率带宽为保证在相邻尺度下，小波频域窗相连，取通过对小波的调制，很容易做到这时，尺度为的小波的中心频率和带宽有关系：

为了由重建，要寻求的对偶小波。令对偶小波和分析小波取类似的形式：的重建可由下式实现：内积形式Parseval关系FT重建条件显然，如果则重建条件稳定性条件可求出也满足稳定性条件所以，对半离散小波变换，我们可找到对偶小波，实现信号的重建。

如果存在常数，使得则如果满足则定理9.8.1三、尺度和位移都离散化后的小波变换

的选择要保证能由恢复这样，对轴抽样的间隔也可相应地扩大倍

中心频率下降倍带宽下降倍增加倍尺度和位移的离散化二进制小波离散小波变换，但仍然是连续的，实际计算还有困难离散栅格上的小波变换又称如果令归一化处理再令离散平面由该图可看出小波分析的“变焦距”作用，即在不同的尺度下（也即不同的频率范围内），对时域的分析点数是不相同的。

越大，对应中心频率越低，时间轴上分析的点数就越少，即时域分辨率越差，反之，分析点数越多，时域分辨率越好。离散小波变换(DWT)小波级数小波系数傅里叶级数小波级数和傅里叶级数有何区别？（1）傅里叶级数的基函数是一组正交基：小波级数用的不一定是正交基，甚至不是“基”；（2）傅里叶级数的基函数是固定的，且分析和重建的基函数都是

（差一负号）；小波级数：分析 所用的函数是可变的，有多种形式的小波可供选择，且分析和重建所用的函数是不相同的，即分析时是，而重建时是；（3）傅里叶级数的时域和频域的分辨率是固定不变的而小波级数在轴上的离散化是不等距的，这正体现了小波变换“变焦”和“恒Q”性的特点。四、小波标架将平面离散化，栅格的大小决定了对该二维平面的“抽样率”。显然，栅格越密，越有利于重建，但将带来大的冗余；反之，栅格越稀，冗余越小，但有可能无法重建原信号。这即使小波标架问题。类似Gabor标架（1）在上是否完备？完备，是指对任一，它都可以由这一族函数来表示；问题的提法：（2）如果是完备的，那么它对的表示是否有信息的冗余？

（3）对如何抽样才保证既不存在信息的冗余又是完备的？小波标架要回答的问题标架的基本理论，其要点是：

（1）若是Hilbert空间中的一组向量，对给定 的，若存在常数，满足（2）若，则称为紧标架，若，则构成一正交基；

则构成一个标架（3）定义标架算子为

则也构成一个标架，标架界分别为；

可以实现信号重建（4）用标架对作信号分解时，可给出完备的且是稳定的表示，但这种表示是冗余的。即之间是线性相关的，因此不是唯一的。对信号的冗余表示有时并不一定是坏事，它在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性（robustness）方面都优于正交基；（5）在和比较接近时，可取于是：冗余度测量，约接近于1，冗余越小紧标架

如果构成中的一个标架，且标架边界分别为和，则母小波须满足：该定理又称为构成标架的必要条件，实际上是要求母小波要满足容许条件。这和连续小波变换的要求是一样的。定理9.8.2即构成一组正交基，则定理9.8.2是必要条件，但不充分。定理9.8.3给出了构成标架的充分条件，该条件和联系了起来，并给出了标架界的计算方法。

对墨西哥草帽小波，可计算在取不同步长时边界的值。显然，越大，对离散化的步长越小。

例9.8.1分析：（1）当时，无论还是4，墨西哥草帽离散化后的都接近于构成一个紧标架，即这时的接近于1；（2）对同样的，越小，的值越大，反映了冗余度越大；（3）对同样的，越大，的值越大， 这就越远离紧标架。若再增加，有可能 使求出的为负值，从而使这时的 不再构成标架。Riesz基：

若是由母小波通过伸缩与移位生成的上的二维函数族，并且存在常数，使得对于所有满足平方和的序列成立，式中则称是上的一个Riesz基。

定义9.8.1：

有关MATLAB文件－WaveletToolbox

WaveletsInformation：waveinfoDemonstrations：wavedemoWavelets:General；（13个）

WaveletFamilies；（16个）

ContinuousWavelet:cwt（1个）

DiscreteWavelets:One-Dimensional.（10个）DiscreteWavelets:Two-Dimensional.（10个）WaveletsPacketsAlgorithms；（15个）

DiscreteStationaryWaveletTransformAlgorithms；（4个）De-noisingandCompressionforSignalsandImages.（16个）

TreeManagementUtilities.（30个）

WAVEINFO：给出小波的信息；调用方式：WAVEINFO('wname')：Availablefamilyshortnamesare:'haar':Haarwavelet；'db':Daubechieswavelets.'sym':Symlets；'coif':Coiflets.'bior':Biorthogonalwavelets.'rbio':Reversebiorthogonalwavelets.'meyr':Meyerwavelet；'dmey':DiscreteMeyerwavelet.'gaus':Gaussianwavelets；'mexh':Mexicanhatwavelet.'morl':Morletwavelet；'cgau':ComplexGaussianwavelets.'cmor':ComplexMorletwavelets.'shan':ComplexShannonwavelets.'fbsp':ComplexFrequencyB-splinewavelets.

WaveletFamilies：1.biorwavf-Biorthogonalsplinewaveletfilters.2.cgauwavf-ComplexGaussianwavelet.3.cmorwavf-ComplexMorletwavelet.4.coifwavf-Coifletwaveletfilter.5.dbaux-Daubechieswaveletfiltercomputation.6.dbwavf-Daubechieswaveletfilters.7.fbspwavf-ComplexFrequencyB-Splinewavelet.8.gauswavf-Gaussianwavelet.9.mexihat-MexicanHatwavelet.10.meyer-Meyerwavelet.11.meyeraux-Meyerwaveletauxiliaryfunction.12.morlet-Morletwavelet.13.rbiowavf-ReverseBiorthogonalsplinewaveletfilters.14.shanwavf-ComplexShannonwavelet.15.symaux-Symletwaveletfiltercomputation.16.symwavf-Symletwaveletfilter.WaveletFamilies：CWT：RealorComplexContinuous1-Dwaveletcoefficients.

COEFS=CWT(S,SCALES,'wname')computesthecontinuouswaveletcoefficientsofthevectorSatreal,positiveSCALES,usingwaveletwhosenameis'wname'.ThesignalSisreal,thewaveletcanberealorcomplex.

COEFS=CWT(S,SCALES,'wname','plot')

computesandplotsthecontinuouswavelettransformcoefficients.

COEFS=CWT(S,SCALES,'wname',PLOTMODE)PLOTMODE:ForeachgivenscaleawithinthevectorSCALES,thewaveletcoefficientsC(a,b)arecomputedforb=1tols=length(S),andarestoredinCOEFS(i,:)ifa=SCALES(i).OutputargumentCOEFSisala-by-lsmatrixwherelaisthelengthofSCALES.COEFSisarealorcomplexmatrixdependingonthewavelettype.10.1多分辨率分析的引入10.2多分辩率分析的定义10.3空间、中信号的分解10.4二尺度差分方程10.5二尺度差分方程与共轭正交滤波器组10.6Mallat算法10.7Mallat算法的实现10.8小波变换小结

第10章离散小波变换的多分辨率分析离散化离散小波变换和小波级数，式中仍是连续的如何得到离散序列的小波变换(DSWT)?此式在文献上看不到，原因是实际应用中有困难：（1）除少数的母小波外，大多数小波无闭合的表达式，所以不易简单地利用来得到离散小波；

（2）按上式求出的小波变换往往不具有移不变性；（3）当令时不一定是整数，使实现起来有困难

在80年代后期，由Mallat,Meyer等创建的“多分辨率算法”有效的解决了离散序列的小波变换问题，它也是小波变换的快速算法。MATLAB中的DWT，实际上就是Mallat算法。10.1多分辨率分析的引入现举例来说明多分辨率分析的基本概念：例显然，的整数位移相互之间是正交的，即

构成一组正交基令记：设：是在中的投影记：加权系数则:伸缩、位移，并离散化在空间对 的近似离散序列下面证明：同尺度下尺度函数的整数移位也是正交的，即

作伸缩和移位所产生的即：证明：因为：令：所以：所以：令：当然是两两正交的以上结果表明，对Haar函数，在同一尺度下，其整数位移之间是两两正交的。记张成的空间为

在中的投影

加权系数每一个空间都有一组正交基思考:空间和，那一个对的近似要好？显然，越小，对的近似越好，也即分辨率越好。如：好于，并有：完全逼近逼近误差无穷大可以想象，低分辨率的基函数（如）完全可以由高一级分辨率的基函数（如）所决定

显然：或者：低分辨率的空间（如）应包含在高分辨率的空间中（如），即从信号的逼近看，有两个相邻空间逼近之差，应是一些细节概貌如何得到细节？含义：在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。

取一基本函数：Haar小波请自己证明：同一尺度下整数位移具有正交性从图上可看出如下关系记：则：

是在 中的投影

是在 中的投影离散细节由可有：直和：互为正交补将上述思路推广，有：并且：由此，同时使用了两个函数，即和，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。对作概貌近似的函数称为“尺度函数”，而对作细节近似的函数 称为小波函数。

在尺度正交基空间细节离散细节概貌离散概貌以上的讨论引入了空间逐级分解的概念；每一个空间存在正交基的概念例两通道分析滤波器组：频带剖分由频带剖分来理解空间剖分：树状滤波器组频率轴剖分所以，从频率轴的剖分也可引出空间的剖分：滤波器组对信号分解的特点：1.恒性思考一个问题：在多级滤波器组中，每一级都有二抽取，因此各级工作在不同的抽样频率下，因此，每一级所需要的滤波器应有不同的通带和阻带，但是，为什么各级的滤波器都是和？假定：第一级的：归一化频率对第二级：二抽取后:滤波器保持不变2．各级滤波器的一致性多级滤波器组中各级的滤波器都是同一组滤波器，即都是 和，这一方面体现了树状滤波器组中各级滤波器的一致性，也深刻体现了上述空间剖分的特点。于是有：10.2多分辩率分析的定义设是空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说，是一个多分辨率近似。

定义：2.有即1．，若

则4．

3.若则5.以上定义由Mallat给出6．存在一个基本函数,使得

是中的Riesz基。关于以上六个性质的说明：性质1说明:空间对于正比于尺度的位移具有不变性，也即函数的时移不改变其所属的空间。即

性质2和3

是明显的，具体解释见教材。性质4说明:当时，分辨率，这时我们将会失去的所有信息，也即等效交集为零性质5：是性质4的另一面，即当时，分辩率，那么信号在该尺度下的近似将收敛于它自身，即等效并集收敛到整个空间性质6说明了：中Riesz基的存在性问题，并要由此引出中正交基的存在性问题，因此，需要加以证明。是中Riesz基的充要式中是的傅里叶变换.定理10.1条件是存在常数使得先说明一下Riesz基：一组向量（函数）信号分解线性无关分解系数有界Riesz基本身是一个标架，但它比一般的标架的要求要高，但它又比正交基要求低。

证明：对任意的

，作如下分解：两边作傅里叶变换，有FT和DTFT混合的形式

要证明的是：（1）如果(A)式成立，必有：(A)由Riesz基的条件：所以是一组Riesz基；（2）反过来，若是一组Riesz基；则由Riesz基的条件，必有则是中的正交归一基。是产生Riesz基的基本函数的傅里叶变换。

令是一多分辨分析空间序列，是一尺度函数，若其傅里叶变换可由下式给出：定理10.2并令如果是正交基证明：定理10.1已证明

中的Riesz基有界低通函数带通函数总结：1．子空间10.3空间、中信号的分解

在中的投影

在中的离散逼近，或 时的概貌2．子空间

在中的投影

在中的离散逼近，或时的概貌3．子空间带通函数小波函数正交基

在中的投影

在级时的小波系数，也即小波变换。它是信号在级下的离散细节。的关系：或：

以上关系反映了两个互为正交补的空间对信号近似的关系，这一级和上一级的近似关系。这一结论可推广到任意相邻的两级。4．对子空间10.4二尺度差分方程

中的元素中的元素也都属于，因此可以用其中的基来表示加权系数因为所以二尺度差分方程

由往递推，有二尺度差分方程

如何求出加权序列？令：上式揭示了一个重要的关系，即与无关，它对任意两个相邻级都适用。即由的二尺度差分方程求出的适用于取任何整数时的二尺度差分方程。类似于前述的两通道滤波器组，对应低通，对应高通，且在每一级，保证不变。如果这一设想是正确的，那就把小波变换和滤波器组联系了起来。再分析例10.1.1和图10.1.1～10.1.4，显然有：低通特性高通特性Haar小波及其尺度函数所对应的滤波器的系数

二尺度差分方程的频域关系FT频域关系两边分别对积分,因为:

：低通：带通进一步显示滤波器 的低通和高通特性

建立了由滤波器得到尺度函数和小波的关系二尺度差分方程的频域关系之一例令：即：则：例令：即：则：多数情况下要靠迭代求解10.5二尺度差分方程与正交滤波器组定理10.5.1

设,分别是多分辨率分析中的尺度函数和小波函数，分别是满足二尺度差分方程的滤波器，则由于是中的正交归一基，所以

证明：先证明将代入即：令奇、偶项分开：利用了周期性

令有：所以：同理可证明另外两个关系共轭正交镜像滤波器组（CQMFB)的基本关系，即功率互补关系结论：满足小波变换多分辨率分析中二尺度差分方程的、

正是一对共轭正交滤波器组。这样，我们就把小波变换和滤波器组联系了起来，从而为离散信号的小波变换的快速实现提供了有效的途径。关于“＝1”和“＝2”的解释：对CQMFB,有：如果：则：如果：则：总结：1．在中总存在，使构 成中的Riesz基；2.由Riesz基可得到中的正交归一基，再：

3．把视为的正交补，开得到正交归一基4.用对作分解，得到多分辨率分析；5.由空间隶属关系得到二尺度差分方程，方程 的系数正好构成一对CQMFB

令是一多分辨分析，是中的正交基。定理10.5.2是CQMFB，若则存在小波函数使中正交基中正交基

在多分辨率分析中，有两个问题尚需证明，一是空间正交基的存在性，二是和中两组正交基的相互正交性。令是一多分辨分析，是中的正交基,则定理10.5.3或欲证明该定理，只需证明如下关系成立即可10.6Mallat算法令，是多分辨率分析中的离散逼近系数，，是二尺度差分方程的两个滤波器，则存在如下递推关系：定理10.6.1式中Mallat算法的含意：正体现了二抽取的作用当逐渐增大时，即实现了信号的多分辨率分解Mallat多分辨率分解的实现注意：图中没有涉及到离散信号，且之前讨论的还是。?DTWT证明：令可用来表示即由有将上式两边分别和作内积：左边右边所以：请自己证明第二个式中Mallat多分辨率分析的思路：

（1）从滤波器组的角度看

实现了对频带的逐级剖分。一方面保证了各 子频带的恒Q性，另一方面又保证了和在各级的不变性；（2）记所处的频带为空间，处于 ,处于，由其频带的性质，显然（3）把对离散信号的小波变换归结到逐级的线性卷积来实现。若，系数不是太长，卷积可在时域直接实现，也可用DFT及FFT来实现。小波反变换

若，按定理10.6.1得到，则可由下式重建：

定理10.6.2由级重建第级小波反变换证明：因为所以，对任一可作如下分解：两边做内积：用于分解和重建的滤波器都是，而在一般的两通道滤波器组中，用于重建的是；分解时，需要翻转，重建时不需要；分解时需要二抽取，重建时需要二插值。注意：10.7Mallat算法的实现

1.初始化问题未知，且不涉及不等于？（1）由Shannon抽样定理引出和的关系

抽样定理：由 重建近似做卷积，可得到（2）由的逆滤波器求

实际工作中，多是选择：2.数据逐级减少问题由于每一级滤波器后都有一个二抽取环节，这样，每一级分解后和的数据就要比 和减少一半。当较大时，数据量的减少也是很可观的。可用两种办法解决：（1）.逐点计算；（2）.采用“多孔算法（

trousalgorithm）”（1）.逐点计算

（2）.“多孔算法（Atrousalgorithm）”

每两点补一个0

每两点补三个0“多孔”算法抽取环节移到最后总结：1.连续小波变换（CWT）

都是连续的；在做CWT时，可取非整数，即按实际分辨率的需要取粗或取细；2.离散栅格上的小波变换（DWT）dyadic小波DWT小波级数3.离散序列的小波变换（DSWT）

（1）除少数的母小波外，大多数小波无闭合的表达式，所以不易简单地利用来得到离散小波；原因：无法直接应用引出Mallat算法

（2）当令不一定是整数，实现困难（3）按上式求出的小波变换往往不具有移不变性；整数？4.有关Mallat算法的说明：尺度的伸缩在Mallat算法中是如何体现的？（3）体现了尺度的伸缩（1）低通带通低通高通（2）正交正交共轭正交

其中f1=1Hz,f2=20Hz，f3=40Hz,fs=200Hz,这样保证了对每一个正弦分量都可采到整周期。设数据长度取400点，现希望能将的抽样中的三个正弦信号分离出来。例设信号a1(n)H1(z)↓2H0(z)↓2H1(z)↓2H0(z)↓2H0(z)↓2H1(z)↓2x(n)d1(n)d3(n)a3(n)d2(n)a2(n)信号二进制分解的实现

现在我们用二等分的方法将其频带逐级分开

f1=1Hz,f2=20Hzf3=40Hz有关MATLAB文件：WAVEFUN

：产生小波函数和尺度函数.[PHI,PSI,XVAL]=WAVEFUN('wname',ITER)

时间轴点数小波名称分解重建用于双正交小波[PHI1,PSI1,PHI2,PSI2,XVAL]=WAVEFUN('wname',ITER)WFILTERS

产生与小波对应的滤波器组

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=WFILTERS('wname')LO_D,thedecompositionlow-passfilterHI_D,thedecompositionhigh-passfilterLO_R,thereconstructionlow-passfilterHI_R,thereconstructionhigh-passfilter

ORTHFILT：产生正交小波滤波器组

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=ORTHFILT(W)

尺度函数BIORFILT

：产生双正交小波对应的滤波器组

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=BIORFILT(DF,RF)LO_DDecompositionlow-passfilterHI_DDecompositionhigh-passfilterLO_RReconstructionlow-passfilterHI_RReconstructionhigh-passfilter[LO_D1,HI_D1,LO_R1,HI_R1,LO_D2,HI_D2,LO_R2,HI_R2] =BIORFILT(DF,RF,'8')

返回8个滤波器，前四个对应分解小波，后四个对应重建小波DWT

：单级一维离散小波变换

[CA,CD]=DWT(X,'wname')CA：概貌

CD：细节

[CA,CD]=DWT(X,Lo_D,Hi_D)Lo_Disthedecompositionlow-passfilter.Hi_Disthedecompositionhigh-passfilter.Lo_DandHi_Dmustbethesamelength.WAVEDEC：

Multi-level1-Dwaveletdecomposition.WAVEDECperformsamultilevel1-Dwaveletanalysisusingeitheraspecificwavelet'wname'oraspecificsetofwaveletdecompositionfilters(seeWFILTERS).

[C,L]=WAVEDEC(X,N,'wname')returnsthewaveletdecompositionofthesignalXatlevelN,using'wname'.

Nmustbeastrictlypositiveinteger(seeWMAXLEV).TheoutputdecompositionstructurecontainsthewaveletdecompositionvectorCandthebookkeepingvectorL.APPCOEF

：得到1－D信号的概貌A=APPCOEF(C,L,'wname',N)computestheapproximatiocoefficientsatlevelNusingthewaveletdecompositionstructure[C,L](seeWAVEDEC).'wname'isastringcontainingthewaveletname.LevelNmustbeanintegersuchthat0<=N<=length(L)-2.

A=APPCOEF(C,L,'wname')extractstheapproximationcoefficientsatthelastlevellength(L)-2.DETCOEFExtract1-Ddetailcoefficients.D=DETCOEF(C,L,N)extractsthedetailcoefficientsatlevelNfromthewaveletdecompositionstructure[C,L].SeeWAVEDECformoreinformationonCandL.LevelNmustbeanintegersuchthat1<=N<=NMAXwhereNMAX=length(L)-2.

D=DETCOEF(C,L)extractsthedetailcoefficientsatlastlevelNMAX.

IDWTSingle-levelinversediscrete1-Dwavelettransform.X=IDWT(CA,CD,'wname')returnsthesingle-levelreconstructedapproximationcoefficientsvectorXbasedonapproximationanddetailcoefficientsvectorsCAandCD,andusingthewavelet'wname'.UPCOEF：Directreconstructionfrom1-Dwaveletcoefficients.Y=UPCOEF(O,X,'wname',N)computestheN-stepreconstructedcoefficientsofvectorX.'wname'isastringcontainingthewaveletname.IfO='a',approximationcoefficientsarereconstructed.IfO='d',detailcoefficientsarereconstructed.问题的解释：去除混叠失真实现准确重建标准QMFB在Mallat算法中：为什么没有取？能否去除混叠失真仔细分析，为去除混叠失真，希望这只是一种选择，它对任意形状的都适用，因此，对，前的负号是不可少的。但是，如果和PR条件统一起来考虑：功率互补因此，在功率互补条件满足的情况下，方程的每一项都应为零，这时，负号有没有无所谓。请自己证明，在两通道滤波器组中，若保证：则该滤波器组可实现PR。对应Mallat算法11.1正交小波概述11.2由递推求解的方法。11.3消失矩、规则性及支撑范围11.4Daubechies正交小波构造11.5接近于对称的正交小波及Coiflet小波11.6双正交滤波器组11.7双正交小波11.8双正交小波的构造11.9双正交样条小波11.10正交小波包第11章正交、双正交小波构造及正交小波包11.1正交小波概述

1.Haar小波Haar小波在时域的正交性是明显的正交、双正交；时域有限支撑，频域无限扩展2.Shannon小波Shannon小波的尺度函数，

中的正交基。如何求出Shannon小波？Shannon小波Haar和Shannon小波是正交小波中两个极端的例子。

Shannon小波及其尺度函数的频谱如图所示，显然，它们在频域有着明显的正交性。?3.Daubechies小波设计出更通用、时域和频域都具有紧支撑的正交小波设计思路：对要设计的小波提出要求；将这些要求转化为对滤波器的要求；设计出对应该小波的共轭滤波器组；由滤波器得到尺度函数和小波函数。关键是找到小波和滤波器之间的关系小波和滤波器之间的关系：二尺度差分方程时域关系CQMFB先讨论如何由滤波器递推求出尺度函数和小波函数；再讨论如何对小波提出各种要求。二尺度差分方程频域关系如何实现?目的:

11.2由递推求解的方法近似因为未知，所以该式无法利用考虑频率关系每两点插入一个零每两点插入个零依次类推点序列点序列点序列卷积的结果，序列的长度急剧增加。最后要压缩到一个有限长的区间中。令

例当趋近于无穷时，逼近，

“逼近”连续函数

这时需要将连成一个阶梯形的曲线，然后压缩成一条连续曲线。压缩办法，见“wavefun.m”在中，由于不知道，所以无法递推，因而采用的上述的递推方法。假定取某一简单的形式，可用另外的方法递推出所需要的。令

的起始值由递推求解的又一方法：假定的长度为为Haar函数，则：现研究一下支撑范围:即的支撑范围是0～N，也是紧支撑的。继续递推，有现举例说明上述递推过程。例令

其他求递推过程：令

例令

例

但是，并不是上述的递推都可以收敛到一个尺度函数，例如：为什么？11.3消失矩、规则性及支撑范围

定义：1．消失矩(Vanishingmoments)

的阶矩如果在处有阶重零点，即由傅里叶变换的性质，有？则：显然即是容许条件且则说该小波函数具有阶消失矩。上述说法具有阶消失矩。关于消失矩的解释：令并假定小波变换恒为零

由有若可展成一高阶的多项式(如用台劳级数)，如 阶，。那么其中阶次小于的多项式部分(对应低频)在小波变换中的贡献恒为零，反映在小波变换中,有的只是阶次大于

的多项式部分，它们对应高频端，这就有利于突出信号中的高频成分及信号中的突变点。从这个角度讲，我们希望能具有尽量高的消失矩。消失矩越高，在处越平滑地为零，越具有好的带通性质。构造小波要考虑的因数之一若的值大部分为零,有利数据压缩；去除噪声；突出信号中的奇异点。取决于信号自身的特点；小波是否紧支撑；小波是否具有高的消失矩。因为有关于例

以上关系为我们设计具有高阶消失矩的小波提供了一个切实可行的方法。下面的定理进一步明确了有关消失矩的几个相关概念。

令保证了在处有

阶重零点。所以，又保证了在处应有

阶重零点。都具有阶消失矩因此因为定理11.1(1)小波有阶消失矩如果在处阶连续可微，则下面三个说法是等效的：(2)和它的前阶导数在处等于0(3)和它的前阶导数在处等于0证明：两边微分，即有（3）和（2）等效所以（1）和（2）等效所以，如果在处有阶重零点，则上述结论也适用于离散