2026年北师大版四升五数学升学暑假知识点预习(含答案解析)

2026年北师大版四升五数学升学暑假知识点预习(含答案解析)模块一小数除法（五年级上册第一单元核心预习内容）知识点梳理除数是整数的小数除法计算法则按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除；如果被除数的整数部分不够除，商0占位，点上小数点后继续除。例：计算7.42÷7，整数部分7÷7=1，商1对齐个位，点小数点后4÷7不够除商0，42÷7=6，最终结果为1.06。除数是小数的小数除法计算法则先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同位数（位数不够的，在被除数的末尾用0补足），再按照除数是整数的小数除法计算。核心原理：商不变规律（被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变）。商的近似数取值方法（1）常规取值：计算到比需要保留的小数位数多一位，再按照“四舍五入”法取近似值。例如保留两位小数，需要计算到小数部分第三位。（2）实际问题特殊取值：①进一法：解决容器装物、租车租船等问题时，无论余数是多少，都要向前一位进1取整；②去尾法：解决做衣服、做礼盒等材料分配问题时，无论余数是多少，都直接舍去余数取整。循环小数相关概念（1）小数分类：按小数部分位数是否有限，分为有限小数（小数部分位数有限，如2.35、0.7）和无限小数（小数部分位数无限，如3.1415926…、2.333…）；无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数。（2）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数；依次不断重复出现的数字叫做循环节，例如3.2525…的循环节是25，简写为3.25与整数四则混合运算顺序完全一致：同级运算从左到右依次计算；两级运算先算乘除、后算加减；有括号的先算括号内的，先小括号、再中括号、最后大括号。整数的运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）在小数四则混合运算中完全适用，可以用于简便计算。典型例题精讲例1：计算10.8÷0.45解析：除数0.45是两位小数，首先将除数小数点向右移动2位变成45，同时被除数10.8的小数点也向右移动2位，位数不够补1个0，变成1080，再计算1080÷45=24，最终结果为24。例2：某施工队要运走47吨建材，一辆卡车每次最多运3.5吨，至少需要运多少次才能全部运完？解析：总重量÷单次运载量=运载次数，列式为47÷3.5≈13.43次。本题属于运载建材的实际问题，剩余的建材即使不满1车也需要再运1次，因此用进一法取整，最终需要运14次。巩固练习题填空（1）计算3.6÷0.12时，先把除数的小数点向右移动（）位，变成（），同时被除数的小数点也要向右移动（）位，变成（），计算结果是（）。（2）4.7÷3的商用循环小数表示是（），保留两位小数约是（）。（3）做一个手工饰品需要用铁丝0.6米，现在有13.5米铁丝，最多可以做（）个这样的饰品。计算（能简算的要简算）（1）1.25×3.2×0.25（2）9.6÷（1.2+0.8）×5（3）3.7×6.3+3.7×3.7解决问题小明家8月份缴水费49.5元，已知居民用水价格是每吨2.7元，小明家8月份共用水多少吨？巩固练习答案与解析填空（1）答案：2；12；2；360；30。解析：除数0.12是两位小数，按照商不变规律，被除数与除数小数点同时右移2位，被除数3.6位数不足补1个0变成360，计算360÷12=30。（2）答案：1.56；1.57。解析：4.7÷3=1.5666……，循环节为6，因此简写为1.56；保留两位小数时看第三位小数是6，四舍五入进1，得1.57。

（3）答案：22。解析：总铁丝长度÷单个饰品铁丝用量=可制作数量，列式为13.5÷0.6=22.5，本题属于材料制作类问题，剩余0.5份的材料不足以制作1个完整饰品，因此用去尾法取整，最多可做计算（1）答案：1。解析：利用乘法结合律简便计算，将3.2拆分为0.8×4，原式=（1.25×0.8）×（4×0.25）=1×1=1。（2）答案：24。解析：按照混合运算顺序，先算小括号内的加法1.2+0.8=2，再从左到右计算除法与乘法：9.6÷2=4.8，4.8×5=24。（3）答案：37。解析：利用乘法分配律简便计算，提取公因数3.7，原式=3.7×（6.3+3.7）=3.7×10=37。解决问题答案：18吨。解析：总水费÷每吨水价=用水总量，列式为49.5÷2.7=18吨，经检验18×2.7=49.5，结果正确。模块二轴对称和平移（五年级上册第二单元核心预习内容）知识点梳理轴对称图形相关概念（1）定义：把一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（2）性质：轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线与对称轴垂直。（3）常见轴对称图形的对称轴数量：正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。补全轴对称图形的步骤①找：找出已知图形的关键点（顶点、交点、端点等）；②数：数出每个关键点到对称轴的距离；③定：在对称轴的另一侧，按照距离找到各关键点的对应点；④连：按照已知图形的顺序顺次连接对应点，得到完整的轴对称图形。平移相关概念（1）定义：物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。（2）平移的两个核心要素：平移的方向（上、下、左、右）、平移的距离（平移的格数）。（3）判断图形平移距离的方法：找原图形的一个关键点，数出这个点到平移后对应点之间的格数，就是图形平移的距离，不要数两个图形之间的空格。画平移后图形的步骤①选：选出原图形的关键点（顶点、交点等）；②移：按照要求的方向和格数平移每个关键点，得到对应点；③连：按照原图形的顺序顺次连接平移后的对应点，得到平移后的图形。典型例题精讲例1：判断“平行四边形是轴对称图形”这句话是否正确，说明理由。解析：这句话错误。普通的平行四边形无论沿着哪条直线对折，直线两侧的部分都无法完全重合，因此不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形（长方形、正方形、菱形）才是轴对称图形。例2：将一个底为4cm、高为3cm的三角形先向右平移5格，再向下平移2格，平移后的三角形面积是多少？解析：平移不改变图形的形状和大小，因此平移后的三角形面积和原三角形面积相等，面积为4×3÷2=6cm²。巩固练习题判断题（1）圆有无数条对称轴，半圆也有无数条对称轴。（）（2）平移后的图形和原图形大小、形状完全相同。（）（3）所有的三角形都是轴对称图形。（）操作题提示（实际操作时在方格纸完成）（1）画出等腰三角形的所有对称轴。（2）在方格纸上画出一个半棵松树的轴对称图形，补全整棵松树。（3）将补全后的松树向右平移6格，画出平移后的图形。巩固练习答案与解析判断题（1）答案：×。解析：半圆只有1条对称轴，是经过圆心且垂直于半圆直径的直线。（2）答案：√。解析：平移的性质就是只改变位置，不改变形状、大小和方向。（3）答案：×。解析：只有等腰三角形、等边三角形是轴对称图形，普通的不等边三角形不是轴对称图形。操作题要点提示（1）等腰三角形的对称轴是经过顶点和底边中点的直线，只有1条。（2）补全轴对称图形时，先找到松树轮廓的顶点，数出每个顶点到对称轴的距离，在另一侧找到对应点后顺次连接即可。（3）平移时每个顶点都向右数6格，再连接，注意不要数两个图形之间的空格，要数对应点之间的格数。模块三倍数与因数（五年级上册第三单元核心预习内容）知识点梳理注：本单元研究倍数和因数时，范围限定为非零自然数（即正整数），不涉及0、小数、分数。倍数与因数的定义如果a×b=c（a、b、c都是非零自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某一个数是倍数或因数。例：3×4=12，只能说3和4是12的因数，12是3和4的倍数，不能说“12是倍数，3是因数”。因数和倍数的特征（1）一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。（2）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（3）找因数的方法：从1开始，一对一对列乘法算式寻找，直到两个乘数重复为止；找倍数的方法：用这个数依次乘1、2、3……，得到的积都是它的倍数。2、3、5的倍数特征（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，也叫偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，个位上是1、3、5、7、9。（2）5的倍数特征：个位上是0或5的数。（3）同时是2和5的倍数特征：个位上是0的数。（4）3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数。例：123的各数位和为1+2+3=6，6是3的倍数，因此123是3的倍数。质数与合数（1）定义：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫素数）；一个数除了1和它本身还有其他因数，这个数叫做合数。（2）特殊规定：1既不是质数也不是合数；最小的质数是2（也是唯一的偶质数），最小的合数是4；100以内共有25个质数。典型例题精讲例1：两个质数的和是12，积是35，这两个质数分别是多少？解析：先列出和为12的质数组合：5+7=12，3+9=12（9是合数，排除），2+10=12（10是合数，排除），验证5×7=35，符合条件，因此两个质数是5和7。例2：判断“所有的偶数都是合数”这句话是否正确。解析：错误，2是偶数，但2的因数只有1和2，属于质数，因此不是所有偶数都是合数。巩固练习题填空题（1）18的因数有（），其中质数有（），合数有（）。（2）同时是2、3、5的倍数的最小两位数是（），最小三位数是（）。（3）一个数的最大因数是12，这个数的最小倍数是（）。判断题（1）一个自然数不是质数就是合数。（）（2）个位上是3、6、9的数一定是3的倍数。（）（3）因为15÷3=5，所以15是倍数，3是因数。（）解答题有一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的偶数，个位上是最小的合数，这个数是多少？巩固练习答案与解析填空题（1）答案：1、2、3、6、9、18；2、3；6、9、18。解析：列乘法算式找18的因数：1×18、2×9、3×6，因此因数有6个；其中只有1和本身两个因数的是2、3，属于质数；除了1和本身还有其他因数的是6、9、18，属于合数，1既不是质数也不是合数。（2）答案：30；120。解析：同时是2和5的倍数个位必须是0，再满足3的倍数特征，十位最小填3（3+0=3是3的倍数），因此最小两位数是30；最小三位数的百位是1，个位是0，十位最小填2（1+2+0=3是3的倍数），因此最小三位数是120。（3）答案：12。解析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是12，最小倍数也是12。判断题（1）答案：×。解析：1是自然数，但1既不是质数也不是合数。（2）答案：×。解析：3的倍数看各数位数字和，例如13个位是3，但1+3=4不是3的倍数，因此13不是3的倍数。（3）答案：×。解析：倍数和因数是相互依存的，应该说15是3和5的倍数，3是15的因数。解答题答案：204。解析：最小的质数是2，因此百位是2；最小的偶数是0，因此十位是0；最小的合数是4，因此个位是4，这个数是204。模块四多边形的面积（五年级上册第四单元核心预习内容）知识点梳理面积比较方法常用的面积比较方法有数方格法、割补法、重叠法、拼接法等，割补法的核心是图形形状变化但总面积不变。平行四边形的面积（1）推导过程：将平行四边形沿高剪开，通过平移拼成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形面积=长×宽，因此平行四边形面积=底×高，字母公式为S=ah。

三角形的面积（1）推导过程：用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，因此三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，即三角形面积=底×高÷2，字母公式为S=ah÷2。

梯形的面积（1）推导过程：用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底加下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，因此梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，即梯形面积=（上底+下底）×高÷2，字母公式为。

典型例题精讲

例1：一个平行四边形的底是5厘米，对应的高是3厘米，它的面积是多少？和它等底等高的三角形面积是多少？S解析：平行四边形面积=5×3=15平方厘米；等底等高的三角形面积是平行四边形的一半，即15÷2=7.5平方厘米。例2：一块梯形菜地，上底是4米，下底是6米，高是3米，如果每平方米收白菜8千克，这块菜地一共可以收白菜多少千克？解析：先算梯形面积：（4+6）×3÷2=15平方米，再算总收成：15×8=120千克。巩固练习题填空题（1）一个三角形的底是6分米，高是4分米，面积是（）平方分米，和它等底等高的平行四边形面积是（）平方分米。（2）一个梯形的上底是2厘米，下底是5厘米，高是4厘米，面积是（）平方厘米。（3）一个平行四边形的面积是24平方米，底是6米，对应的高是（）米。解决问题一块三角形广告牌，底是8米，高是3.5米，如果要给广告牌的正面刷油漆，每平方米需要油漆0.6千克，一共需要多少千克油漆？巩固练习答案与解析填空题（1）答案：12；24。解析：三角形面积=6×4÷2=12平方分米；等底等高平行四边形面积是三角形的2倍，即12×2=24平方分米。（2）答案：14。解析：梯形面积=（2+5）×4÷2=14平方厘米。（3）答案：4。解析：平行四边形的高=面积÷底，即24÷6=4米。解决问题答案：8.4千克。解析：先算广告牌面积：8×3.5÷2=14平方米，再算油漆总量：14×0.6=8.4千克。综合预习检测卷（满分100分）一、填空题（每空2分，共30分）计算4.2÷0.15时，被除数和除数的小数点要同时向（）移动（）位，商是（）。24的因数有（），其中最小的质数是（），最小的合数是（）。一个三角形的面积是18平方厘米，底是6厘米，对应的高是（）厘米。3.2727…是（）小数，循环节是（），保留两位小数约是（）。同时是2、3、5的倍数的最大两位数是（）。把3米长的绳子平均分成5段，每段长（）米，每段占全长的（）。一个梯形的面积是28平方分米，上底和下底的和是14分米，高是（）分米。二、判断题（每题2分，共10分）无限小数都是循环小数。（）所有的奇数都是质数。（）平行四边形有2条对称轴。（）一个数的倍数一定比它的因数大。（）三角形的面积是平行四边形面积的一半。（）三、计算题（共20分）直接写得数（每题1分，共8分）2.5×0.4=1.2÷0.3=0.72÷0.9=3.6×2=10÷0.5=0.6×0.8=4.5÷0.09=1.25×8=脱式计算（能简算的要简算，每题4分，共12分）（1）3.6×2.5+6.4×2.5（2）18.9÷0.25÷4（3）9.6÷（1.2+0.4）×2.5四、解决问题（每题8分，共40分）李老师拿100元买钢笔，每支钢笔8.5元，最多可以买多少支钢笔？一块平行四边形麦田，底是250米，高是80米，如果每公顷收小麦7吨，这块麦田一共可以收小麦多少吨？（1公顷=10000平方米）五（1）班有48名同学排队做操，要求每行的人数相同，有几种不同的排法？（行数和