《数学广角：植树问题》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学五年级上册

《数学广角：植树问题》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学五年级上册教学内容人教版（2026秋季新教材）小学数学五年级上册《复习与关联》单元·数学广角《植树问题》，分为2个课时。第1课时重点教学线段上两端都栽的植树问题，建立间隔数与棵数的基础模型；第2课时教学两端不栽、一端栽一端不栽及封闭图形植树问题，完善植树问题完整模型体系，贴合教材例题、示意图与配套习题展开教学。学情分析五年级学生具备基础的观察、操作、归纳能力，能够准确数出线段上的间隔数量，熟悉简单的数形结合学习方式，但首次接触“间隔问题模型”，思维存在明显局限。学生普遍会直观认为“棵数=总长÷间距”，忽略端点带来的数量变化，难以理解间隔数与棵数的本质关联，容易混淆三种线段植树情况的规律，无法自主区分封闭与不封闭图形的差异。学生擅长具象画图，缺乏抽象建模、归纳规律的能力，需要依托教材图示、动手画图、列表对比，从具体实例逐步抽象出通用数学模型，突破固定思维误区。教材分析《植树问题》是本册数学广角的核心内容，属于典型的模型思想教学内容，安排在全册知识收尾阶段，依托学生已掌握的除法运算、线段认知基础展开教学。2026秋季新教材编排梯度清晰、层层递进，贴合新课标模型意识培养要求。教材以校园植树的真实生活情境导入，借助线段示意图、数据表格，引导学生通过化繁为简的思想，从小数据入手探究规律。第1课时聚焦两端都栽的基础模型，是所有植树问题的核心根基；第2课时延伸拓展两端不栽、一端栽一端不栽、封闭图形植树三类变式模型，配套对应的做一做与课后习题，实现基础模型到变式模型的完整构建。本课教学不仅解决植树问题，更渗透化繁为简、数形结合、一一对应的数学思想，为后续锯木头、爬楼梯、敲钟等同类间隔问题的学习奠定核心模型基础。核心素养教学目标1.模型意识：经历植树问题的探究全过程，理解间隔数、间距、总长、棵数的数量关系，掌握线段植树三种情况、封闭图形植树的数学模型，能依托模型解决教材基础习题与生活化变式习题。2.几何直观：能借助教材线段示意图、自主画图分析问题，通过数形结合的方式直观理解间隔与棵数的一一对应关系，清晰辨析不同植树类型的图形差异与数量规律。3.推理意识：通过化繁为简、列表对比、观察归纳，自主推理总结不同植树场景下棵数与间隔数的运算规律，能有条理表述规律推导过程，感悟归纳推理的数学思想。4.应用意识：能结合教材情境与生活实例，识别植树问题的原型，灵活运用对应模型解决实际问题，建立数学知识与生活场景的关联。教学重难点教学重点：理解并掌握线段上两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽的植树规律，掌握封闭图形植树问题模型，能准确计算间隔数与棵数。教学难点：理解棵数与间隔数的一一对应本质，区分四类植树模型的差异，能根据实际场景精准选择对应规律解决问题，突破“直接用总长除以间距求棵数”的思维误区。教学过程第1课时：植树问题（一）——线段两端都栽情境导入，初识间隔师：同学们，请大家观察教材本节课的情境图，校园道路一旁正在开展植树活动，这是我们生活中常见的场景。今天我们就从数学角度研究植树中的隐藏规律，学习《植树问题》。师：大家先观察自己的手指，伸出5根手指，数一数，5根手指之间有几个空隙？生：5根手指有4个空隙。师：在数学中，这个空隙我们叫做间隔。5根手指，4个间隔；那4根手指有几个间隔？3根呢？生：4根手指3个间隔，3根手指2个间隔。师：大家发现了什么简单的规律？生：手指数量比间隔数量多1。师：非常棒！生活中很多排列问题都有这样的规律，植树问题就是典型代表。请大家翻开教材，阅读本节课核心例题：同学们在一条长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端都栽）。一共要栽多少棵树？师：认真读题，找出题目中的关键数学信息。生：小路总长100米，每隔5米栽一棵，两端都栽，在小路一边植树。师：谁能说一说“每隔5米栽一棵”“两端都栽”是什么意思？生：每隔5米栽一棵就是两棵树之间的距离是5米，也就是间距为5米；两端都栽就是小路的起点和终点都要栽树。【设计意图】从学生熟悉的手指间隔导入，直观建立间隔概念，贴合教材生活情境引出例题，提取关键条件，为后续化繁为简探究规律做好铺垫，降低新知入门难度。化繁为简，探究新知师：这道题总长100米，数据比较大，直接画图不方便。教材给我们提供了一个重要的数学方法——化繁为简。我们可以先用短距离小路研究规律，再用规律解决大数问题。师：我们先假设小路长20米，间距5米，两端都栽，大家自主画图探究，一共可以栽几棵树？数一数有几个间隔。学生自主画线段图，教师巡视指导。师：谁来分享你的画图结果？生：20米的小路，每隔5米分一段，可以分成4段，也就是4个间隔，一共栽了5棵树。师：我们结合教材表格，整理数据：总长20m，间距5m，间隔数4，棵数5。我们再验证两组数据，总长25米、30米，同样间距5米，两端都栽，快速数一数间隔数和棵数。生汇报：25米，5个间隔，6棵树；30米，6个间隔，7棵树。师：请大家观察这三组数据，小组讨论：两端都栽时，棵数和间隔数有什么关系？生：两端都栽的时候，棵数比间隔数多1。师：精准总结！我们结合教材线段示意图理解一一对应关系：每一个间隔对应一棵树，道路最后端点还多出来一棵树，所以棵数=间隔数+1。师：那间隔数怎么计算？结合数据说一说。生：间隔数=总长÷间距。20÷5=4，25÷5=5，符合我们数出来的结果。师：教师板书两端都栽完整公式：间隔数=总长÷间距，棵数=间隔数+1。师：现在我们回到教材100米的原题，大家独立列式计算。生列式：100÷5=20（个），20+1=21（棵）。师：我们梳理完整解题思路：先根据总长和间距算出间隔数，再根据两端都栽的规律，间隔数加1得到棵数。纠正易错误区：很多同学直接用100÷5=20棵，这是错误的，因为两端都栽，棵数比间隔数多1。【设计意图】严格贴合教材化繁为简的探究思路，通过小数据画图、列表、对比，自主归纳核心规律，借助一一对应思想讲清算理，规避学生典型错误，落实几何直观与推理意识。教材习题巩固，夯实基础模型师：请同学们完成教材本节课“做一做”第一题：一条公路长800米，在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树，一共需要栽多少棵杨树？师：先判断属于哪种植树情况？关键词语是什么？生：从头到尾就是两端都栽，适用棵数=间隔数+1的规律。学生独立列式计算，集体订正：800÷20=40（个），40+1=41（棵）。师：再完成教材基础变式题：在一条长45米的走廊一侧摆花盆，每隔5米摆一盆，两端都摆，一共摆多少盆？生独立完成后汇报：45÷5=9（个），9+1=10（盆）。师：强调：摆花盆、安装路灯、排队问题，只要是两端都布置物体，都属于两端都栽的植树模型，都可以用同一套规律解决。【设计意图】依托教材配套习题，巩固两端都栽的基础模型，拓展同类生活场景，帮助学生识别模型原型，培养应用意识。第1课时课堂小结师：本节课我们借助教材例题，通过化繁为简、画图分析，探究出线段上两端都栽的植树规律：间隔数=总长÷间距，棵数=间隔数+1。大家要记住一一对应的核心关系，明确两端都栽时，棵数始终比间隔数多1，杜绝直接用总长除以间距求棵数的错误。下节课我们继续探究另外两种线段植树情况及封闭图形植树问题。第2课时：植树问题（二）——变式植树模型与封闭图形植树复习回顾，导入新课师：上一节课我们学习了线段两端都栽的植树问题，谁能复述核心公式？生：间隔数=总长÷间距，两端都栽，棵数=间隔数+1。师：我们生活中的植树场景不只有两端都栽，还有很多特殊情况。今天我们结合教材内容，继续探究两端不栽、一端栽一端不栽、封闭图形三类植树问题，完善植树问题的完整知识体系。【设计意图】快速复盘上节课核心知识点，衔接本节课变式内容，构建循序渐进的知识体系，明确本节课学习目标。探究线段变式模型：两端不栽、一端栽一端不栽师：请大家阅读教材本节课第一道例题：大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？师：提取题目关键信息，和上节课的例题有什么不同？生：本题是两端不栽，小路在两个场馆之间，两端不需要栽树，而且是小路两旁栽树。师：我们依旧用化繁为简、画图分析的方法探究规律。假设总长15米，间距3米，两端不栽，画图数一数间隔数和棵数。生画图汇报：15米，间距3米，5个间隔，只栽4棵树。师：再验证一组数据，总长18米，间距3米，两端不栽，间隔数、棵数分别是多少？生：6个间隔，5棵树。师：大家对比数据，总结两端不栽的规律。生：两端不栽时，棵数比间隔数少1，棵数=间隔数-1。师：结合教材示意图理解：两端的位置被建筑占据，无法栽树，在间隔与树木一一对应的基础上，两端各少一棵树，因此棵数=间隔数-1。师：我们回归教材原题，分步计算。第一步求间隔数：60÷3=20（个）。第二步求单边棵数：20-1=19（棵）。第三步求两旁总棵数：19×2=38（棵）。师：重点强调本题易错点：很多同学忘记题目是“两旁栽树”，只计算单边数量，解题一定要看清题目条件。师：我们继续探究第二种变式：一端栽一端不栽。请大家观察教材对应示意图：小路一端有建筑物、一端空旷，只需要一端栽树。同样画图分析：总长20米，间距5米，一端栽一端不栽。生画图得出：4个间隔，4棵树。师：由此我们总结规律：一端栽一端不栽，棵数=间隔数。师：教师梳理线段植树三类完整规律，对照课本总结：两端都栽，棵数=间隔数+1；一端栽一端不栽，棵数=间隔数；两端不栽，棵数=间隔数-1。【设计意图】依托教材两道变式例题与示意图，延续化繁为简、数形结合的探究方法，对比归纳三类线段植树规律，厘清三类模型的差异，突破学生混淆规律的难点。探究封闭图形植树问题师：除了直线上的植树问题，教材还介绍了封闭图形的植树模型。请大家阅读教材例题：一个圆形池塘，周长是120m。如果沿着池塘边每隔10m栽一棵树，一共要栽多少棵树？师：封闭图形包含圆形、正方形、长方形等首尾相连的图形，请大家结合教材图示思考：封闭图形植树，端点有什么特点？生：首尾相连，起点和终点重合，没有多余的端点。师：我们画图验证，取小周长数据，周长40米，间距10米，封闭圆形植树。数一数间隔数和棵数。生：4个间隔，4棵树。师：我们可以把封闭图形剪开拉直，就变成一端栽、一端不栽的直线植树模型。由此总结封闭图形植树规律：棵数=间隔数，间隔数=周长÷间距。师：学生独立计算教材原题：120÷10=12（棵）。师：补充教材拓展图形：正方形花坛植树，边长20米，每隔4米栽一棵，封闭图形计算方式一致，先用周长除以间距求出间隔数，间隔数等于棵数。【设计意图】依托教材封闭图形例题，通过图形转化、数形结合，将陌生模型转化为已学的直线植树模型，降低理解难度，完善植树问题完整模型体系。教材习题专项辨析与巩固师：请同学们完成教材本节课做一做习题，先判断题型，再列式计算。第一题：一条长36米的小路，一侧植树，每隔4米栽一棵，两端不栽，栽树多少棵？生辨析题型、列式：36÷4=9（个），9-1=8（棵）。第二题：一个正方形草坪，周长80米，沿四周每隔5米摆一盆花，一共摆多少盆花？生辨析：封闭图形，80÷5=16（盆）。师：重点带领学生辨析三类易错题型：直线两端都栽、两端不栽、封闭图形，引导学生做题第一步先判断场景类型，再套用对应规律，杜绝公式乱用的问题。【设计意图】通过题型辨析练习，强化学生模型识别能力，让学生掌握“先判型、再计算”的解题思路，精准区分各类植树模型，提升解题准确率。第2课时课堂小结师：本节课我们完善了植树问题的全部模型，掌握了三类线段植树和封闭图形植树的规律：两端都栽，棵数=间隔数+1；一端栽一端不栽、封闭图形，棵数=间隔数；两端不栽，棵数=间隔数-1。解题核心是先求间隔数，再根据实际场景选择对应规律，同时注意单边、两旁、封闭、开放的场景差异。全课总小结本次两课时《植树问题》教学，严格依托2026秋季人教版新教材编排逻辑，以数形结合、化繁为简、一一对应为核心思想，完整构建了植树问题数学模型体系。第一课时聚焦直线两端都栽的基