《有趣的密铺：小讲堂》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学五年级上册

《有趣的密铺：小讲堂》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学五年级上册一、学情分析五年级学生已经系统掌握三角形、四边形、正多边形的基本特征，会计算三角形内角和、四边形内角和，认识周角为360°，具备基础的动手拼摆、观察对比与归纳总结能力。学生在日常生活中频繁接触地砖、墙面瓷砖、蜂巢等密铺实景，对“无缝拼接”有直观感性认知，但无法提炼数学概念，也不理解密铺背后的角度原理。

学生主要存在三点学习短板：一是只能直观判断图形能不能铺满，无法从内角和角度推导本质规律；二是容易混淆正多边形与任意多边形的密铺区别，难以解释正五边形、圆形不能密铺的原因；三是不具备用规范数学语言在小讲堂中完整阐述探究过程的表达能力，推理意识与几何语言输出能力有待强化。整体适合按照“感知现象—动手实操探究—小讲堂原理拆解—综合设计应用”两课时阶梯式推进学习。二、教材分析本课隶属于2026年秋季新版人教版五年级上册综合实践板块《有趣的密铺》核心内容，小讲堂是教材专门设置的原理深挖模块，承接前面直观拼摆活动，承担从具象操作上升到抽象数学本质的关键过渡作用。教材编排逻辑层层递进：先依托生活密铺实例建立密铺表层定义，再通过学具拼摆区分可密铺与不可密铺图形，最后以“小讲堂”专题形式拆解底层数学原理，点明**拼接点处所有内角之和等于360°**是密铺成立的核心条件。

从知识体系来看，本节课既是对小学阶段平面多边形内角知识的综合复盘，也是平面几何“图形镶嵌”内容的启蒙铺垫，为初中平面几何全等、多边形镶嵌定理学习搭建前置认知。教材设置小讲堂板块的核心目的，是引导学生完成“动手做”到“讲道理”的思维升级，落实推理意识、几何直观等新课标核心素养，兼具知识性、实践性与数学文化渗透价值。三、核心素养教学目标（一）几何直观1.通过学具拼摆、标注拼接点角度，直观感知密铺“无空隙、不重叠”两大特征，在头脑中建立平面图形拼接的空间表象；2.借助表格梳理正多边形内角度数，可视化推导密铺判定规则，把抽象的角度规律转化为可观察、可计算的直观模型。（二）推理意识1.在小讲堂探究活动中，经历“猜想—拼摆验证—计算内角—归纳原理”完整推理链条，自主总结密铺的数学本质；2.能够通过内角计算合理解释正三角形、正方形、正六边形可以密铺，正五边形、圆形无法密铺的原因，发展合情推理与逻辑说理能力。（三）应用意识1.依托小讲堂学到的密铺原理，判断不同平面图形的密铺可行性，运用可密铺图形独立设计单种、组合两类密铺图案；2.关联地砖铺设、建筑装饰、自然蜂巢等真实场景，体会数学原理在生活中的落地应用。（四）数学语言表达能力能够以小讲堂分享者的身份，条理清晰、用词规范地完整表述密铺定义、判定条件、图形密铺推导过程，学会用数学语言阐释几何规律。四、教学重难点教学重点1.牢固掌握密铺的完整定义，明确密铺两大判定标准：拼接无空隙、无重叠；2.通过教材小讲堂内容学习，理解密铺核心原理：拼接公共顶点处内角总和为360°；3.熟记可以单独密铺的平面图形类别。教学难点1.精准运用内角计算推导密铺原理，解释正五边形、圆形不能密铺的底层逻辑；2.以小讲堂汇报形式完整、严谨地梳理探究过程与数学结论；3.灵活运用多种图形组合进行复合型密铺设计，恪守密铺核心规则。五、教学过程（2课时）第一课时：初识密铺现象，动手拼摆探究，研读教材小讲堂推导核心原理板块1：生活情境导入，感知密铺外在特征，揭示课题教师开篇展示2026版教材《有趣的密铺》配套实景图片：小区人行道正方形地砖、卫生间长方形墙砖、蜂巢六边形结构、室外广场多边形拼接地面，依次引导全班观察思考。

教师提问：同学们仔细观察这几组画面，地面和蜂巢上的图形拼接在一起，大家发现有哪些共同的特点？

预设学生自由发言：一块挨着一块、拼得很整齐、中间没有缝隙、图形不会压在另一个图形上面。

教师继续递进追问：在我们的身边，你还能找到这样的拼接方式吗？

学生举例：拼图玩具、厨房防滑地砖、马赛克墙面等。

教师顺势规范板书数学概念，并引出本节课核心学习板块：像这样用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接，铺满整个平面，图形之间既没有空隙、也没有互相重叠，这种铺设方式在数学上叫做密铺，也叫平面图形的镶嵌。前面我们可以动手拼一拼哪些图形能密铺，而课本专门设置了小讲堂栏目，带我们深挖密铺背后藏着的数学道理，这节课我们就走进密铺小讲堂，探究密铺的本质规律。

设计意图：依托教材原生生活素材建立具象感知，从外在视觉特征切入，自然引出“小讲堂原理探究”的课时核心任务，降低抽象原理的理解门槛。板块2：分组动手拼摆实操，初步筛选可密铺与不可密铺图形教师下发统一学具套装：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、圆形、任意三角形、任意四边形纸片，布置小组合作探究任务，同步明确操作要求。

教师宣读探究指令：四人一组，分别用同一种图形在桌面进行拼接，每拼完一种，记录在探究单上，标注两个结果：第一，拼接后有没有空隙？第二，图形之间有没有重叠？最后汇总哪些图形可以顺利铺满平面。

学生分组动手拼摆，教师巡视各组操作过程，重点观察学生拼接时是否围绕同一个公共顶点摆放，对拼摆混乱、重复叠加的小组进行操作指引。小组全部完成拼摆后，全班汇总汇报，教师在黑板搭建汇总表格，师生共同填写内容：平面图形能否单独密铺直观拼摆现象正三角形可以围绕一点无缝拼接正方形可以规整铺满平面，无空隙重叠正五边形不可以拼接处留有明显空隙正六边形可以蜂巢样式完整铺满圆形不可以圆与圆之间全部存在空隙任意三角形可以6个三角形围绕顶点拼接完整任意四边形可以4个四边形内角拼成一周教师抛出小讲堂核心探究问题：为什么这些图形有的能密铺、有的不能密铺？直观拼摆只能看到结果，课本小讲堂将告诉我们背后的数学计算依据，接下来我们共同研读教材小讲堂完整内容。

设计意图：以动手实操积累活动经验，形成初步认知冲突，为小讲堂原理推导做好铺垫，落实几何直观核心素养。板块3：深度研读教材《小讲堂》全文，分步拆解密铺核心数学原理教师翻开教材小讲堂对应页面，逐段带领学生精读原文内容，采用师问生答的方式拆解每一句知识点，全程板书推导过程。步骤1：锁定小讲堂核心结论句教师朗读教材小讲堂中心语句：密铺的关键在于：所有图形汇聚在同一个拼接点（公共顶点）的各个内角相加，度数总和必须等于360°，也就是一个完整的周角。

教师提问：谁能说一说360°在平面上代表什么？

学生回答：绕着一个点完整转一圈的角度就是周角，度数为360°。

教师解读底层逻辑：当多个图形的角聚拢在同一个点，刚好拼成一周，就不会出现空隙；角度总和超出360°，图形就会互相重叠，这就是判定密铺的唯一数学标准。步骤2：依托小讲堂案例，逐一计算正多边形内角度数验证原理教师按照教材小讲堂举例顺序，依次计算可密铺正多边形内角和，板书完整计算过程：1.正三角形

师提问：正三角形每个内角是多少度？几个正三角形可以在拼接点凑成360°？

生回答：正三角形内角60°，60×6=360°。

教师板书：6个60°角相加刚好等于周角，因此正三角形能够单独密铺。2.正方形

师追问：正方形内角90°，需要几个正方形内角拼成360°？

师生共同计算：90°×4=360°，4个正方形围绕公共顶点拼接，完美实现密铺，对应生活中方块地砖。3.正六边形

师引导：正六边形单个内角120°，计算几组相加等于360°？

板书计算：120°×3=360°，三个正六边形内角在拼接点合围一周，对应蜂巢天然密铺结构。步骤3：小讲堂重点剖析不可密铺图形的计算依据（教材重难点）教师聚焦教材小讲堂两个反例，用计算推翻直观猜想，突破理解难点：1.正五边形

教师提问：正五边形每一个内角是108°，我们分别算一算3个、4个内角总和分别是多少？

分步板书：108°×3=324°，小于360°，拼接后出现空隙；108°×4=432°，大于360°，图形相互重叠。无论几个正五边形内角相加，都无法恰好等于360°，因此正五边形不能单独密铺。2.圆形

教师解读小讲堂表述：圆形没有内角，不存在可以聚拢在公共顶点的角，拼接时圆弧之间必然产生空隙，不满足密铺数学条件，所以圆形无法密铺。步骤4：拓展小讲堂延伸知识点：任意三角形、任意四边形均可密铺教师结合小讲堂补充内容继续讲解：除了三种正多边形，任意形状的三角形、任意四边形也能密铺。

师提问：三角形内角和是多少？四边形内角和是多少？

学生集体作答：三角形内角和180°，四边形内角和360°。

教师推导讲解：6个完全相同的三角形，6个内角总和6×180°÷3=360°；4个完全相同的四边形，四个内角刚好相加为360°，都可以在拼接点凑成周角，因此所有三角形、所有四边形都具备密铺条件。

教师最后完整梳理教材小讲堂完整知识框架，板书总结：

密铺核心判定公式：拼接公共顶点处所有内角度数和=360°

可单独密铺图形：任意三角形、任意四边形、正三角形、正方形、正六边形

不可单独密铺图形：正五边形、圆形

设计意图：完全贴合教材小讲堂文本逐句精讲，用算数推导替代单纯记忆，让学生知其然更知其所以然，深度落实推理意识核心素养，攻克本节课核心教学难点。板块4：第一课时课堂巩固，小讲堂口头模拟汇报练习教师布置课堂内化任务：请同学们仿照教材小讲堂的讲解逻辑，同桌之间互相扮演小讲堂主讲人，完整口述三段内容：第一，什么是密铺；第二，密铺的数学原理是什么；第三，为什么正六边形可以密铺、正五边形不能密铺。

学生两两互述，教师随机抽取2至3名学生上台进行全班小讲堂微型分享，纠正表述不严谨、原理阐述模糊的问题，规范数学用语，强化数学语言表达能力。板块5：第一课时阶段性小结教师引导学生复盘本课时全部内容：本节课我们先通过生活图片认识了密铺的定义，动手拼摆筛选出能密铺和不能密铺的图形，重点研读了课本《小讲堂》栏目，弄懂了密铺最核心的数学原理——拼接点内角之和等于360°，并且通过计算解释了各类图形密铺与否的原因。下一节课我们将运用小讲堂学到的原理，进行单种图形密铺、两种图形组合密铺的图案完整设计，完成知识的实践落地。第二课时：运用小讲堂密铺原理，分层设计密铺图案，系统梳理全课知识板块1：复习回顾小讲堂核心原理，衔接第二课时实践内容教师以问答形式快速回顾上节课小讲堂全部重难点，搭建两课时知识桥梁：1.全班齐说密铺的两个外在特征是什么？

学生统一回答：没有空隙、没有重叠。2.密铺小讲堂给出的本质判定条件是什么？

学生作答：汇聚在同一个拼接点的所有内角相加等于360°。3.说一说三种可以单独密铺的正多边形分别是什么？

指名学生回答：正三角形、正方形、正六边形。

教师自然过渡导入：上一节课我们在小讲堂中吃透了密铺底层数学规律，本节课我们就要学以致用，按照密铺规则动手设计规范的密铺作品，分为单一图形密铺和多种图形组合密铺两大类型，同时总结整套探究方法。

设计意图：快速唤醒小讲堂原理记忆，明确第二课时实践应用的学习目标，实现“理论学习—实践运用”的闭环。板块2：任务一：单一图形独立密铺设计，恪守小讲堂判定规则教师发布第一层基础设计任务，同步明确作图规范：在方格纸上选用任意一种可密铺图形（正方形、正六边形、任意梯形、普通三角形均可），完成平面密铺绘制。

教师先带领学生重申小讲堂三大作图约束条件：

第一，选用的图形必须经过小讲堂原理验证，可以单独密铺；

第二，所有图形拼接处必须无空隙、无重叠；

第三，每一组图形的公共拼接顶点处，内角累加恰好为360°。

教师以正方形为例，在黑板方格纸上示范完整绘制步骤：1.在方格左上角绘制第一个标准正方形；2.沿着水平、竖直方向依次平移复制正方形；3.保证每四个正方形交汇于同一个顶点，90°×4=360°，契合小讲堂密铺原理；4.连续排布铺满方格区域，擦掉多余辅助线条。

学生使用方格纸、直尺、彩笔自主完成单一图形密铺设计，教师巡视重点纠正两类高频错误：图形拼接出现缝隙、局部图形互相叠加重叠，每纠正一处都关联小讲堂内角和原理进行讲解，让学生明白错误违背了360°周角拼接规则。

设计意图：将小讲堂抽象数学定理转化为具象作图操作，强化原理的落地理解，夯实应用意识素养。板块3：任务二：组合图形复合型密铺探究与设计（本课难点突破）教师延伸讲解小讲堂拓展隐含知识点：密铺不仅可以用一种图形，两种及以上不同平面图形搭配拼接，只要满足公共顶点内角总和为360°，同样属于规范密铺，也就是组合密铺。

教师以教材隐含范例正方形+正三角形组合密铺为例分步拆解推导：

第一步：计算两个图形内角，正方形90°，正三角形60°；

第二步：搭配组合凑360°：90°×2+60°×3=180°+180°=360°，在同一个拼接点放置2个正方形、3个正三角形，内角相加刚好等于周角；

第三步：按照该固定配比循环排布，形成组合密铺完整图案。

教师板书组合密铺通用判断口诀（源自小讲堂核心原理）：无论几种图形搭配，盯住公共顶点，所有内角相加等于360°即为有效密铺。

随后布置提升创作任务：自主选取两种可密铺图形，先在草稿纸上计算内角组合能否凑出360°，确认符合小讲堂密铺规则后，再在方格纸上绘制组合密铺完整图案，并在作品侧边用文字标注内角计算过程。

学生自主开展组合密铺探究与画图，教师针对性指导内角搭配计算、图形拼接排布问题，引导学生始终以小讲堂的360°判定条件作为创作唯一标尺。

设计意图：深挖小讲堂原理的拓展应用，突破单一图形密铺的局限，让学生完整理解密铺规则的普适性，进一步锻炼推理与综合运用能力。板块4：梳理密铺完整探究方法论，复盘小讲堂学习逻辑在两项设计任务全部完成后，教师带领全班提炼从探究到