2026年湖南长沙周南中学高一下学期期末数学试题及答案

长沙市周南中学年上学期高一年级数学科期末考试试题时量：分量：一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，且互斥，则（）A.0.5B.0.3C.0.8D.03.若，则（）A.B.C.D.4.在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（）A.异面B.平行C.相交D.无法判断5.已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.6.已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（）A.B.C.D.7.若函数的部分图象如下图所示，则的值是（）A.1B.2C.3D.4第1页/共5页8.已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（）A.B.C.D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列叙述正确的是（）A.z的实部为1B.z的共轭复数为C.D.复平面内表示复数z的点在第二象限10.下列结论正确的是（）A.“”的否定是“”B.“”是“”的必要不充分条件C.小张5次数学周测成绩为80，84，84，86，86，则这组数据的平均数为86D.若是幂函数，则已知平面向量，则下列结论正确的是（）A.若与共线，则实数B.一定有最小值C.一定存在一个实数，使得D.若，则在上的投影向量的坐标为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分．12.若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．13.天气预报端午假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率______．第2页/共5页14.且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___．四、解答题：本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.140为40分．现从中随机抽取了40名学生的成绩，并以，，，为分组，制成了如下的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这40名学生成绩的30%分位数x；（2）现采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取33人中选择2人分享学习经验，求所选的2名学生的成绩来自不同组的概率．16.如图，在边长为的正方形中．第3页/共5页（1）求；（2）若为边上一动点，且，问当为何值时，可使最小，并求出的最小值．17.已知函数（1）求函数的对称轴方程；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数的解析式；（3）若函数在区间上没有零点，求的取值范围．18.如图，在直三棱柱，，，分别是线段，上的动点(不含端点)，．（1）求证：（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．19.在中，角所对的边分别为，且．（1）求．（2）若为边的中点，，求的最大值．（3）奥古斯丁•路易斯•柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1是点分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：第4页/共5页，其中，当且仅当时，等号成立．当取得最小值时，求的面积．第5页/共5页

长沙市周南中学年上学期高一年级数学科期末考试试题时量：分量：一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】集合，则.2.已知，且互斥，则（）A.0.5B.0.3C.0.8D.0【答案】C【解析】【详解】因为互斥，所以，所以.3.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由于，所以，则4.在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（）A.异面B.平行C.相交D.无法判断【答案】B第1页/共16页【解析】【详解】因为，分别是棱，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.5.已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解.【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形，所以该圆锥的母线长为4，所以.6.已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用是上的偶函数可知，在区间上单调递增即可判断大小.【详解】利用是上的偶函数可知，，由于，又在区间上单调递增，第2页/共16页则,故.7.若函数的部分图象如下图所示，则的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解.【详解】由图可得：，，所以的图像关于对称，所以，所以，所以.8.已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案．第3页/共16页【详解】作出函数图像如图所示：令，则可化为，若有6个根，结合图像可知方程在上有2个不相等的实根，不妨设，，则，解得，故m的取值范围为.故选：D．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列叙述正确的是（）A.z的实部为1B.z的共轭复数为C.D.复平面内表示复数z的点在第二象限【答案】ABC【解析】AB第4页/共16页C，应用几何意义判断D.【详解】已知，z的实部为1，A选项正确；z的共轭复数为，B选项正确；，C选项正确；复平面内表示复数z的点在第一象限，D选项不正确10.下列结论正确的是（）A.“”的否定是“”B.“”是“”的必要不充分条件C.小张5次数学周测成绩为80，84，84，86，86，则这组数据的平均数为86D.若是幂函数，则【答案】AD【解析】【详解】由命题的否定的定义可知“”的否定是“”，A选项正确；当时，一定成立，即“”是“”的充分条件，当时，取，此时，所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件，B选项错误；这组数据的平均数为，C选项错误；若是幂函数，则，所以，所以，D选项正确.已知平面向量，则下列结论正确的是（）A.若与共线，则实数B.一定有最小值C.一定存在一个实数，使得D.若，则在上的投影向量的坐标为第5页/共16页【答案】BCD【解析】【详解】平面向量，若与共线，则，解得，故A错误；，当时，取得最小值，所以一定有最小值，故B正确；若，则，所以，即，所以，所以，解得.当时，，所以，所以C正确；若，则，所以在上的投影向量，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分．12.若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数单调性列出不等式求解即得.【详解】由对数函数在区间上单调递增，得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：第6页/共16页13.天气预报端午假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率______．【答案】【解析】【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地都不降雨为，且与相互独立，所以故答案为：14.且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___．【答案】①.②.64【解析】【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，得到外接球表面积，利用基本不等式得到，求出体积的最大值【详解】鳖臑外接球即为堑堵的外接球，可将堑堵补成长方体，第7页/共16页则外接球直径为，∴其表面积为．∵，当且仅当时取等号，所以，∴阳马的体积为．故答案为：，64四、解答题：本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.140为40分．现从中随机抽取了40名学生的成绩，并以，，，为分组，制成了如下的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这40名学生成绩的30%分位数x；（2）现采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取33人中选择2人分享学习经验，求所选的2名学生的成绩来自不同组的概率．【答案】（1），第8页/共16页（2）【解析】【分析】小问1，根据频率直方图小矩形面积和为1，可将a的值求出，进而求出30%分位数x小问2，先将不低于100分的两组的比例关系求出，得到分别从这两组抽出的人数，结合古典概型公式求出概率.【小问1详解】因为可求出，第一个小矩形的概率为，第一个和第二个小矩形面积和为，所以30%分位数.【小问2详解】分数在与两组内人数的比例关系为，采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取3人，所以在区间内抽取了2人，分别设为m,n在区间内抽取了1人,设为A；则包含的基本事件有（m,n）,(m,A)，(n,A)共三种，设所选的2名学生的成绩来自不同组为事件B，则满足事件B的基本事件有(m,A)，(n,A)共2种，所以.16.如图，在边长为的正方形中．（1）求；（2）若为边上一动点，且，问当为何值时，可使最小，并求出的最小值．【答案】（1）（2）第9页/共16页当时，最小，最小值为【解析】1）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.（2可得，出二次函数的最小值即可.【小问1详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，由正方形边长为，得，，，则，，故.【小问2详解】由，，，得，则，，故.由于二次函数开口向上，对称轴为，代入得最小值为，即时，取最小值.17.已知函数（1）求函数的对称轴方程；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数的解析式；第10页/共16页（3）若函数在区间上没有零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用正弦型函数对称轴的性质，令相位等于求解即可；（2）根据三角函数图象平移“左加右减”的规则代入化简，结合诱导公式得到的解析式；（3）先求在给定区间的值域，无零点等价于不在的值域内，由此得到的取值范围。【小问1详解】对于，正弦函数的对称轴满足相位等于，令，移项得，解得，即的对称轴方程为.【小问2详解】将的图象向右平移个单位，根据图象平移“左加右减”的变换规则，得，化简相位：，利用诱导公式，得，故.第11页/共16页【小问3详解】函数在上没有零点，等价于方程在该区间上无解，令，当时，，由正弦函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减，故的最小值为，最大值为，即，因此，要使无解，则或，即的取值范围为.18.如图，在直三棱柱，，，分别是线段，上的动点(不含端点)，．（1）求证：（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）由题意，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系，第12页/共16页设（，，，，所以，.因为，所以，即.（2）【解析】1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示证明垂直.（2）先根据三棱锥的体积取得最大值，确定、点的位置，再利用空间向量求二面角的余弦.【小问1详解】略【小问2详解】因为，而，所以当时，取得最大值，此时取得最大值.此时，，.所以，，，.设平面的法向量为，则，令，可得.第13页/共16页设平面的法向量为，则，令，可得.设平面与平面的夹角为，则.19.在中，角所对的边分别