2027金版教程一轮复习数学基础版第3章第4节 函数的对称性及与其他性质的综合

第三章函数与基本初等函数第四节函数的对称性及与其他性质的综合课标解读考向预测1.能结合具体函数，理解函数图象的轴对称性和中心对称性．2.能利用函数图象的轴对称性和中心对称性解决问题.函数图象的对称性是近几年高考的热点，常与函数的周期性交汇命题，题型以选择题、解答题为主，难度中档．预计2027年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、对称性结合起来综合考查，以多选题形式呈现.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础函数图象的对称性(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于______对称．(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于______对称．(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于______对称．y轴x轴原点√×√√(2)(人教A必修第一册习题3.2T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－5是奇函数，且f(4)＝3，则f(0)＝_____．解析：由y＝f(x＋2)－5是奇函数，得f(x)的图象关于点(2，5)对称，故f(0)＋f(4)＝10，又f(4)＝3，所以f(0)＝7.7(3)(人教B必修第一册习题3－1CT2改编)若偶函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝3x＋1，则f(－1)＝_____．解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝3×3＋1＝10，∴f(－1)＝10.10考点探究提素养3判断对称轴、对称中心的方法设P0(x0，y0)为y＝f(x)图象上任意一点：(1)若y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔点P1(2a－x0，2b－y0)在y＝f(x)的图象上；(2)若y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称⇔点P2(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．3.(多选)(2026·福建福州模拟)已知f(x＋1)是奇函数，f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则下列结论正确的是(

)A．f(x)是周期为4的周期函数B．f(x－5)为偶函数C．f(x)的图象关于点(－3，0)对称D．f(5)＝0解析:对于A，由题知，f(x＋1)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(－x)＋f(2＋x)＝0

①，因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－x)＝f(－2＋x)

②，将②代入①可得f(－2＋x)＋f(2＋x)＝0，将x换为2＋x代入上式有f(x)＋f(x＋4)＝0

③，再将x换为x＋4代入③有f(x＋4)＋f(x＋8)＝0

④，所以f(x)＝f(x＋8)，所以f(x)是周期为8的周期函数，故A错误；对于B，因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称且周期为8，所以f(－x－5)＝f(3＋x)＝f(x－5)，所以f(x－5)为偶函数，故B正确；对于C，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)及f(x)的周期为8，可知f(－x－3)＝－f(x＋5)＝－f(x－3)，所以f(x)的图象关于点(－3，0)对称，故C正确；对于D，因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，取x＝0可得f(1)＝0，所以f(5)＝f(－3)＝f(1)＝0，故D正确．考点三单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合(1)已知定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(

)A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12)解析：∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A.(2)(多选)(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝1，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则下列结论正确的是(

)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)为偶函数C．∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立 D．不等式f(x)＞1的解集为(－1，1)解析：若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数，故B正确，A不正确；因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立，故C正确；因为f(1)＝1，f(x)为偶函数，所以f(x)＞1，即f(|x|)＞f(1)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x|＜1，解得－1＜x＜1，所以不等式f(x)＞1的解集为(－1，1)，故D正确．故选BCD.函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．4.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x)＋f(x＋4)＝0，且对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则下列判断正确的是(

)A．函数f(x)是奇函数B．函数f(x)的最小正周期是4C．函数f(x)在[2，6]上单调递增D．直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴解析：由f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，A正确；对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，所以函数f(x)在[－2，0]上单调递减，结合奇函数知，函数f(x)在[0，2]上单调递减，即函数f(x)在[－2，2]上单调递减，由A项分析及f(x)＋f(x＋4)＝0，可知f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋4)，即f(－x)＝f(x＋4)，故函数f(x)关于直线x＝2对称，所以函数f(x)在[2，6]上单调递增，且直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴，C，D正确；又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，结合函数f(x)在[－2，6]上的单调性可知，函数f(x)的最小正周期为8，B错误．故选ACD.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点轴对称、中心对称的判断由轴对称求参数对称中心的判断由奇偶性、对称性、单调性解不等式由中心对称求参数由奇偶性、对称性求函数值由奇偶性、对称性、单调性比较大小题号891011121314难度★★★★★★★★★★考点由奇偶性、对称性、周期性求函数值轴对称、中心对称的判断单调性、对称性、周期性的综合奇偶性、对称性、周期性的综合已知函数求对称中心由函数图象的对称性求解析式由奇偶性、对称性、周期性求函数值题号151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★考点由奇偶性、对称性求函数值奇偶性、对称性、周期性的综合奇偶性、单调性、对称性、周期性的综合由奇偶性、单调性、对称性、周期性解不等式由奇偶性、对称性、周期性求和式的值奇偶性、单调性、对称性的综合2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(

)A．1 B．2C．0 D．－2解析：由函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即2|2＋x－a|＝2|2－x－a|，则有|2＋x－a|＝|2－x－a|

(*)恒成立，可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0，解得x＝0或a＝2，检验可得a＝2时(*)式恒成立．故选B.3．已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(

)A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称解析：因为函数y＝f(x＋1)为奇函数，所以其图象关于点(0，0)对称，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A.5．(2026·山东烟台模拟)若函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象关于点(2，0)对称，则实数a的值为(

)A．－3 B．3C．－6 D．68．设函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－1)＋1为奇函数，y＝f(x－2)为偶函数，若f(2028)＝1，则f(－2)＝(

)A．1 B．－1C．0 D．－3解析：因为y＝f(x－1)＋1为奇函数，所以f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，则f(－1)＝－1.因为y＝f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称．由f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，得f(－x－2)＝－2－f(x)，所以f(x－2)＝－2－f(x)，则f(x－4)＝－2－f(x－2)＝－2－f(－x－2)＝f(x)，则f(x)的周期为4，f(2028)＝f(0)＝－2－f(－2)＝1，则f(－2)＝－3.故选D.10．(2026·河北衡水中学模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，且恒有f(x－1)＝f(3－x)，若f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是(

)A．直线x＝1是f(x)图象的对称轴 B．f(x)的最小正周期T＝2C．f(x)在[4，5]上单调递增 D．f(5)＝0解析：因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)图象的对称轴，故A正确；因为f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，又因为f(x)的对称轴为直线x＝1，且f(x)在[1，2]上单调递减，所以f(x)在[0，1]上单调递增，且f(x)的最小正周期T＝4，所以f(x)在[4，5]上单调递增，故B错误，C正确；因为f(x)的最小正周期T＝4，所以f(4)＝f(0)＝0，所以f(5)＞f(4)＝0，故D错误．(2，1)13．(2026·安徽合肥模拟)已知直线x＝1是定义在R上的函数y＝f(x)的对称轴，且当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则f(x)的解析式是____________________．214．已知函数y＝f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(－x)＝2，则f(2028)＋f(2030)＝______．解析：因为函数y＝f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1＋x)＝f(1－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)

①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，则f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)

②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)

③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2028)＋f(2030)＝f(0)＋f(2)，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2028)＋f(2030)＝f(0)＋f(2)＝2.15．(2026·辽宁沈阳质监)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)＝3，则f(3)＝(

)A．－3 B．－1