2027金版教程一轮复习数学基础版第3章第3节 函数的奇偶性、周期性

第三章函数与基本初等函数第三节函数的奇偶性、周期性课标解读考向预测1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是利用函数的性质解决有关问题．预计2027年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、单调性等结合起来考查，以多选题的形式呈现.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且___________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且___________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_____对称1．函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_______正周期．最小1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；(2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性；(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．√×题组一走出误区——判一判(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(

)(2)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(

)(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期．(

)×(3)(人教B必修第一册第三章复习题B组T5改编)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________．(4)(北师大版必修第二册习题1.1T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2029)＝________．解析：因为f(－1)＝2f(10)＋3，且f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3，即f(1)＋3＝0，解得f(1)＝－3，故f(2029)＝f(676×3＋1)＝f(1)＝－3.－3考点探究提素养1．判断函数奇偶性的方法考点二函数奇偶性的应用(多考向探究)考向1利用函数的奇偶性求解析式、函数值(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝(

)A．x－1 B．x＋1C．－x－1 D．－x＋1解析：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故选A.(1)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(2)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝_____．解析：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.1对于利用函数的奇偶性求参数的问题，一是考虑定义域是否关于原点对称，若定义域含参数，求出参数；二是借助奇偶性的定义求解，对于在x＝0处有定义的奇函数，利用f(0)＝0求参数，通常也可以有效简化运算．ln2考向3

“奇函数＋常数”模型设函数F(x)＝ax5－bx3＋cx＋4且F(3)＝10，则F(－3)＝________．解析：因为F(－x)＋F(x)＝(－ax5＋bx3－cx＋4)＋(ax5－bx3＋cx＋4)＝8，所以F(－3)＝8－F(3)＝8－10＝－2.－2对于F(x)＝f(x)＋c，其中f(x)为奇函数，有(1)F(a)＋F(－a)＝2c；(2)若F(x)的最大值与最小值分别为m，n，则m＋n＝2c.5.已知定义在R上的奇函数y＝f(x)，M，m分别为g(x)＝f(x)＋x＋3的最大值与最小值，则M＋m＝______．解析：由题意，得g(x)－3＝f(x)＋x为奇函数，所以(M－3)＋(m－3)＝0，即M＋m＝6.6利用函数的奇偶性解不等式时，应首先变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解．根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期的运用．解析：当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.－1(2)已知函数f(x)为R上的奇函数，函数f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2029)＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2解析：∵函数f(x)为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，∵函数f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又函数f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2029)＝f(4×507＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故选C.(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期．(2)利用函数的周期性将自变量的绝对值较大的函数值转化为自变量的绝对值较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考点函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用函数奇偶性的判断判断函数的周期性由函数的奇偶性、周期性求函数值由函数的奇偶性求参数函数的奇偶性与单调性的综合函数的奇偶性与周期性的综合函数奇偶性的判断函数的奇偶性与周期性的综合题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点函数的奇偶性与单调性的综合由函数的奇偶性求参数函数奇偶性的应用由函数的周期性求值函数的奇偶性与周期性的综合函数的奇偶性与单调性的综合由函数的奇偶性求函数的最大值函数的奇偶性与周期性的综合函数的奇偶性与单调性的综合一、单项选择题1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上(

)A．单调递增且最小值为－5 B．单调递减且最小值为－5C．单调递增且最大值为－5 D．单调递减且最大值为－5解析：因为奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.故选C.3．(2026·山西名校联盟质检)定义在R上的两个函数f(x)，g(x)，恒有[f(x)]3＝g(x2)，则(

)A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数C．g(x)为奇函数 D．g(x)为偶函数解析：因为[f(x)]3＝g(x2)，所以[f(－x)]3＝g((－x)2)＝g(x2)＝[f(x)]3，则f(－x)＝f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数．故选B.4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列函数是周期函数的是(

)A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x解析：依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D.5．(2026·江西赣州模拟)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝(

)A．－5 B．0C．2 D．5解析：因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)，又因为f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝－f(1)，故f(1)＝0，即f(－5)＝f(1)＝0.故选B.7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，则不等式f(x2)≥4f(x)的解集为(

)A．(－∞，0]∪[4，＋∞) B．[0，4]C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2]解析：当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2，∴f(x)＝x|x|，∴4f(x)＝4x|x|＝f(2x)，∴f(x2)≥4f(x)可化为f(x2)≥f(2x)，当x≥0时，f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增．∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上单调递增，∴x2≥2x，解得x≥2或x≤0.故选C.8．(2026·广东惠州模拟)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)为奇函数，若f(0)＋f(3)＝3，则(

)A．f(x－1)＝f(x＋1) B．f(2029)＝3C．函数f(x)的周期为2 D．f(2028)＝3解析：∵f(x＋1)为奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又f(x)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x－1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，故A错误；由A项分析可得，f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，故C错误；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，∴f(2029)＝f(507×4＋1)＝f(1)＝0，故B错误；∵f(0)＋f(3)＝3，∴f(0)＝3，∴f(2028)＝f(507×4＋0)＝f(0)＝3，故D正确．故选D.二、多项选择题9．若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是(

)A．|f(x)|一定是偶函数 B．f(x)f(－x)一定是偶函数C．f(x)f(－x)≥0 D．f(－x)＋|f(x)|＝0解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．对于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；对于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C错误；对于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D错误．故选AB.10．已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(

)A．f(3)＝0 B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1) D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1解析：因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，所以f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，故C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质，得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．故选ABC.11．(2026·河北邯郸调研)已知函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)－f(x－y)＝2f(y)，f(1)＝1，且当x>0时，f(x)>0，则下列结论正确的是(

)A．f(5)＝1B．f(x)是奇函数C．f(2nx)＝2nf(x)D．不等式f(x2－x－2)>4的解集是(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：对于A，因为f(x＋y)－f(x－y)＝2f(y)，f(1)＝1，令x＝y＝0，得f(0)－f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令x＝y，得f(2x)＝2f(x)，则f(2)＝2f(1)＝2，令x＝3，y＝2，得f(5)－f(1)＝2f(2)，所以f(5)＝2f(2)＋f(1)＝4＋1＝5≠1，故A错误；对于B，令x＝0，得f(y)－f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝－f(y)，所以f(x)是奇函数，故B正确；对于C，令x＝y＝2n－1x，则f(2nx)－f(0)＝2f(2n－1x)，又f(0)＝0，所以f(2nx)＝2f(2n－1x)，所以f(2nx)＝2f(2n－1x)＝22f(2n－2x)＝…＝2nf(x)，故C正确；2三、填空题12．(2026·吉林长春质监)已知函数f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是_____．解析：因为f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，所以f(0)＝(a－2)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x2(x－1)，f(－x)＝x2(－x－1)≠－f(x)，故a＝1不符合题意，舍去；当a＝2时，f(x)＝x(x2＋1)，f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，故a＝2符合题意．综上，a的值是2.413．已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝_____．解析：令g(x)＝asinx＋btanx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.214．(2026·黑龙江大庆检测)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2026)＋f(2028)＋f(2029)＝____．解析：由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＋1代替x，可得f(x＋2)＝3－f(x)，则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，故f(2029)＝f(507×4＋1)＝f(1)＝－1，由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＝2027，则f(2028)＋f(2026)＝3，所以f(2026)＋f(2028)＋f(2029)＝2.15．(多选)(2026·河北秦皇岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x－1)，且f(x－1)是奇函数，则下列结论正确的是(

)A．f(－1)＝0 B．f(0)＝f(2)C．f(－4)＝f(4) D．f(11)＝－1解析：因为f(x＋3)＝－f(x－1)，则有f(x＋7)＝－f(x＋3)＝f(x－1)，所以f(x＋8)＝f(x)，由此可知f(x)是周期为8的周期函数，因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，因为f(x＋3)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(－x－1)．对于A，由f(－x－1)＝－f(x－1)，将x＝0代入，得f(－1)＝－f(－1)，解得f(－1)＝0，故A正确；对于B，由f(x＋3)＝f(－x－1)，将x