2027金版教程一轮复习数学基础版第2章第3节 第2课时 一元二次不等式

第二章一元二次函数、方程和不等式第三节二次函数与一元二次方程、不等式第2课时一元二次不等式课标解读考向预测1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，二次函数是解决“二次问题”的核心灵魂.对于一元二次不等式，主要考查利用二次函数求解一元二次不等式、借助二次函数的图象利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围.预计2027年高考对于一元二次不等式的考查还是以解不等式为主，与集合、利用导数研究函数的单调性结合，难度不会太大.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础{x|x>x2，或x<x1}1.二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系R{x|x1＜x＜x2}∅∅f(x)g(x)>0(<0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－a，a)√×××题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第一册2.2.3练习BT1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(

)A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，4}C.{0，1} D.{2，4}解析：由题意，得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，所以A∩B＝{2，4}.故选D.(3)(人教B必修第一册练习AT1(2)改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(

)A.{x|x<－n，或x>m} B.{x|－n<x<m}C.{x|x<－m，或x>n} D.{x|－m<x<n}解析：原不等式可变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0，得m>－n，所以原不等式的解集是{x|－n<x<m}.故选B.－14(－2，2]考点探究提素养考点一一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1不含参数的一元二次不等式的解法已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∪B＝(

)A.{x|－2<x<1} B.{x|1<x<2}C.{x|－2<x<3} D.{x|－2<x<2}解析：因为A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－2<x<3}.故选C.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

1.(2026·河南驻马店模拟)已知集合M＝{x|－x2＋2x＋3≥0}，N＝{x||x|<2}，则M∩N＝(

)A.{x|－1≤x<2} B.{x|－2<x≤3}C.{x|－2≤x<1} D.{x|－3≤x<2}解析：由题意可知，M＝{x|－x2＋2x＋3≥0}＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|－2<x<2}，所以M∩N＝{x|－1≤x<2}.故选A.考向2含参数的一元二次不等式的解法解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).解含参数的一元二次不等式的一般步骤求对应方程的根优先考虑用因式分解法确定，不能因式分解时再用求根公式计算.

2.解关于x的不等式ax2＋x＋1>0，a∈R.考向3可化为一元二次不等式的分式不等式的解法分式不等式的求解策略考点二三个“二次”之间的关系若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集是(

)A.{x|0<x<3} B.{x|x<0，或x>3}C.{x|1<x<3} D.{x|－1<x<3}三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者之间具有密切的联系.一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函数的一种特殊情况：当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为二次方程ax2＋bx＋c＝0；当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，所以解决问题需要三者相互联系.

4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|m<x<m＋4}，则实数c的值为(

)A.9

B.8

C.6

D.4考点三一元二次不等式恒成立问题已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.

恒成立问题求参数范围的解题策略一元二次不等式的恒成立问题通常分为在实数集R上的恒成立问题、在给定区间上的恒成立问题及给定参数范围的恒成立问题.(1)一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题，可用判别式Δ解决，一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，不能用判别式Δ解决，一般用分类讨论求最值或分离参数求最值解决.(2)解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置(变换主元)，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解.一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数.

5.若关于x的不等式(a2－16)x2－(a－4)x－1≥0的解集为∅，则实数a的取值范围为__________.6.设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对任意x∈[1，3]，f(x)>－m＋2恒成立，则实数m的取值范围为__________.(3，＋∞)7.若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则x的取值范围为________________.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点不含参数的一元二次不等式的解法分式不等式的解法三个二次之间的关系一元二次不等式有解问题一元二次不等式在R上的恒成立问题三个二次之间的关系三个二次之间的关系题号8910111213难度★★★★★★★★考点一元二次不等式有整数解问题含参数的一元二次不等式的解法三个二次之间的关系一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题分式不等式的解法三个二次之间的关系题号14151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点给定参数范围的恒成立问题一元二次不等式的实际应用三个二次之间的关系三个二次之间的关系一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题一元二次不等式有整数解问题一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题一、单项选择题1.不等式x2－3x－10＞0的解集为(

)A.(－2，5) B.(－∞，－2)∪(5，＋∞)C.(－5，2) D.(－∞，－5)∪(2，＋∞)解析：由x2－3x－10＞0，得(x＋2)(x－5)＞0，解得x＜－2或x＞5.故选B.3.已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为(

)A.R B.∅C.{x|－1<x<3} D.{x|x<－1，或x>3}4.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(

)A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－1<a<4}C.{a|a≥4，或a≤－1} D.{a|－4≤a≤1}解析：因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}.故选A.5.使得命题“∀x∈R，kx2＋2kx－3<0”为真命题的k的取值范围是(

)A.(－3，0) B.(－3，0]C.(－3，1) D.(3，＋∞)6.已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多有2个整数，则实数a的取值范围是(

)A.(－3，5) B.(－2，4)C.[－3，5] D.[－2，4]解析：x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，要使得解集中至多有2个整数，则1<a≤4；当a＝1时，不等式的解集为∅，满足题意；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，要使得解集中至多有2个整数，则－2≤a<1.综上所述，实数a的取值范围是[－2，4].故选D.[－3，－1)∪[1，＋∞)313.若函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为____.14.若对任意m∈[－1，1]，x2＋(3－m)x－6<2恒成立，则实数x的取值范围是_______________.15.(多选)某景区旅馆共有200个床位，若每个床位每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每个床位每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为(

)A.110元B.120元C.130元D.140元解析：设每个床位的定价应为x元，则每晚有200－(x－50)＝250－x个床位有人入住，所以旅馆每晚的收入为(250－x)x