2027金版教程一轮复习数学基础版微专题（9） 与球有关的切、接、截面问题

第八章立体几何与空间向量微专题（九）与球有关的切、接、截面问题研究与球有关的切、接、截面问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心．常以选择题、填空题的形式出现，考查球的体积、表面积，以及截面形状、面积等．(2)如图，在四面体P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则四面体P－ABC外接球的表面积为(

)A．3π B．9πC．36π D．48π可以补成长方体的三大模型(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两垂直，如图1.(2)(鳖臑模型)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图2.(3)(对棱相等模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图3.16π(2)(2026·安徽阜阳模拟)若三棱锥P－ABC的四个顶点都在表面积为676π的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为25π，则该三棱锥以△ABC为底面的高的最大值为(

)A．25B．16 C．49 D．1如图1和图2，圆锥的高PO1＝h，底面半径AO1＝r，球的半径为R，则OO1＝|h－R|，在△AOO1中，有|h－R|2＋r2＝R2，故圆锥的外接球相关计算抓住△AOO1即可．除了标准的圆锥模型，对于侧棱相等的棱锥，也可放到圆锥中考虑，如图3的三棱锥P－ABC.48π角度4外接球的台体模型(1)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与外接球的表面积之比为(

)A．3∶4B．1∶2 C．3∶8 D．3∶10类型二内(棱)切球(1)(2026·湖北腾云联盟联考)如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为________．解析：作几何体的轴截面ABCD，如图所示，设M，N分别是大球和小球的球心，G，H分别是球M和球N与圆台侧面的切点，E是球M与圆台下底面的切点，F是球N与圆台上底面的切点，延长AD和BC，记交点为Q，连接MG，NH，EQ，显然M，N，168π(3)(2025·新课标Ⅱ卷，14)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.2.5解析：设两铁球的球心分别为A，B，铁球的半径为r，且r<4，如图为两铁球球心所在的圆柱的轴截面．由圆柱与球的性质得AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，因为r<4，所以r＝2.5.(4)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为________．12“切”的问题常用的处理方法(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．(2)通过体积分割法来求内切球的半径．9．已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切)，则上、下两部分几何体的体积之比是(

)A．1∶8 B．1∶9C．1∶26 D．1∶27(1)球的截面一定是一个圆面．(2)球心和小圆圆心连线垂直于小圆圆面．(3)过球内一点作球的截面，最大截面为过球心的圆面，最小截面为过该点且垂直于球心和该点连线的截面．12．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，O1，O2为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径R＝2，则(1)平面DEF截