26.3 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章二次函数2026人教版·九年级上册26.3二次函数与一元二次方程第1课时学习目标1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与对应一元二次方程根的关系；能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴交点情况判断一元二次方程根的个数.2.经历“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程，掌握数形结合、转化的数学思想，提升观察分析、归纳总结和代数几何转化的能力.3.感受数学知识的关联性与统一性，体会数形结合思想的简洁性与实用性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维习惯.课堂导入以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系.类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系.复习

一次函数

y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于

x的方程

kx+b=3的解为________．

x=213Oxy2y=kx+b思考：如图，下列二次函数的图象与

x

轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当

x

取公共点的横坐标时，函数值是多少？(1)y=x2+x−2；(2)y=x2−8x+16；(3)y=x2−x+1.由此，你能说方程x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0根的情况吗？

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1新知探究通过图中的函数图象可以看出：(1)抛物线

y=x2+x−2

与

x

轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1.当

x

取公共点的横坐标时，函数值是0.由此可知，方程

x2+x−2=0有两个不相等的实数根

−2，1.

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1新知探究新知探究通过图中的函数图象可以看出：(2)抛物线y=x²−8x+16

与

x

轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4.当

x=4

时，函数值是0.由此可知，方程x2−8x+16=0

有两个相等的实数根4.

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1通过图中的函数图象可以看出：(3)抛物线

y=x2−x+1

与

x

轴没有公共点.由此可知，方程

x2−x+1=0

没有实数根.新知探究

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与

x

轴的公共点的情况.新知小结一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论：(1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根.(2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0有两个交点新知小结例题分析例1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间

t(单位：s)的关系近似为h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：当h=20时，则20=20t-5t2.解方程，得t1=t2=2.当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.202即

t2-4t+4=0.你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？即时即练关于例1，回答下列问题：（选自教材P48练习）(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=15，则15=20t-5t2.解得t1=1，t2=3.当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.1513你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？即时即练（选自教材P48练习）(2)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=20.5，则20.5=20t-5t2.即t2-4t+4.1=0.∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根.即小球的飞行高度不能达到20.5m.20.5你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？即时即练（选自教材P48练习）(3)小球从飞出到落地，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=0，则0=20t-5t2.解得t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.所以小球从飞出到落地要4s.二次函数与一元二次方程的关系：y=ax2+bx+c一元二次方程y取定值且a≠0已知二次函数中因变量的值，求自变量的值求相应的一元二次方程的根例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值．新知小结即时即练1.

二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点有()

BA.0个

B.1个

C.2个

D.不能确定2.

若关于x的二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象与x轴的交点坐标是（－1，0）和（3，0），则关于x的一元二次方程－x2＋mx＋n＝0的解为()DA.

x1＝x2＝0B.x1＝1，x2＝－3C.

x1＝1，x2＝0D.x1＝－1，x2＝33.

已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为

⁠.x1＝－1，x2＝3

即时即练课堂小结二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c一元二次方程ax2+bx+c=0b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0与x轴有两个公共点与x轴有一个公共点与x轴无公共点课堂练习1.求抛物线y＝x2－3x－4与x轴、y轴的交点坐标.解：当x＝0时，y＝－4；当y＝0时，x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，∴抛物线与x轴的交点坐标为(4，0)和(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，－4).课堂练习2.(1)抛物线y＝2x2－x－1与x轴的交点坐标为______________；(2)二次函数y＝－2x2＋5与y轴的交点坐标为________.(0，5)(1，0)和3.已知抛物线y＝－2x2＋4x－1，下列结论错误的是

(

)A.与x轴有2个交点

B.与y轴有1个交点C.开口向下

D.对称轴为y轴D课堂练习4.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0),(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________.x1＝－1，x2＝25.已知抛物线y＝

x2＋x＋c与x轴没有交点.(1)求c的取值范围；解得c＞

.解：(1)依题意，得12－4×

c＜0，(2)试确定直线y