七年级上册数学讲义

七年级上册数学讲义4.任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。绝对值的意义：*几何意义：表示距离，所以绝对值一定是非负的。*代数意义：如上述性质所述。利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小。例如：比较-3和-5的大小。因为|-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。1.6有理数的加减法1.6.1有理数的加法有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+5)+(+3)=+(5+3)=8；(-5)+(-3)=-(5+3)=-8。2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。例如：(+5)+(-3)=+(5-3)=2；(-5)+(+3)=-(5-3)=-2；(+4)+(-4)=0。3.一个数同0相加，仍得这个数。例如：0+(-5)=-5；(+3)+0=+3。加法运算律：*加法交换律：a+b=b+a*加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)利用运算律可以使运算简便，例如：互为相反数的先加，同分母的先加，能凑整的先加。1.6.2有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)步骤：1.将减号变为加号。2.将减数变为它的相反数。3.按照有理数加法法则进行计算。例如：5-8=5+(-8)=-3；(-3)-(-5)=(-3)+(+5)=2。有理数加减混合运算：可以统一成加法运算，写成省略加号和括号的形式。例如：(-2)+(+3)-(-5)-(+1)可以写成-2+3+5-1，然后按从左到右的顺序进行计算，或运用加法运算律简便计算。1.7有理数的乘除法1.7.1有理数的乘法有理数乘法法则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。2.任何数同0相乘，都得0。例如：(+4)×(+3)=+12；(-4)×(-3)=+12；(+4)×(-3)=-12；(-4)×(+3)=-12；0×(-5)=0。多个有理数相乘：*几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。*几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。乘法运算律：*乘法交换律：a×b=b×a*乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c分配律在简化计算中经常用到。1.7.2有理数的除法有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a×(1/b)(b≠0)法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。注意：0不能作除数。有理数的乘除混合运算：*同级运算，从左到右依次进行。*可以将除法转化为乘法，再运用乘法运算律进行简便计算。1.8有理数的乘方乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如：2³表示3个2相乘，即2×2×2，底数是2，指数是3，结果是8。乘方运算的符号法则：*正数的任何次幂都是正数。*负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。*0的任何正整数次幂都是0。注意：*(-a)ⁿ与-aⁿ的区别：(-a)ⁿ是a的相反数的n次幂；-aⁿ是a的n次幂的相反数。例如：(-2)⁴=16，-2⁴=-16。*1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。1.9有理数的混合运算有理数的混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。运算技巧：*在运算过程中，要注意符号的变化。*灵活运用运算律，可以简化计算。*对于较复杂的计算，要耐心细致，一步一步进行。例题：计算：-1⁴-(1-0.5)×1/3×[2-(-3)²]解答：原式=-1-0.5×1/3×(2-9)（先算乘方：-1⁴=-1，(-3)²=9）=-1-1/2×1/3×(-7)（再算括号内的：2-9=-7）=-1-(1/6)×(-7)（再算乘法：1/2×1/3=1/6）=-1+7/6（再算乘法：1/6×(-7)=-7/6，负负得正）=1/6（最后算加减：-1+7/6=1/6）第二章整式的加减2.1整式2.1.1用字母表示数用字母表示数是代数的基本特点。它可以简明地表达数量关系、运算律和计算公式等。例如：*苹果每千克a元，买了b千克，共需ab元。*加法交换律：a+b=b+a。*圆的面积公式：S=πr²。2.1.2单项式单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。例如：3x，-5，a，πr²都是单项式。单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：3x的系数是3；-5的系数是-5；a的系数是1（通常省略不写）；πr²的系数是π（π是常数）。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：3x的次数是1（x的指数是1）；-2x²y的次数是2+1=3；5的次数是0（没有字母）。2.1.3多项式多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。例如：x+y，2a²-3a+1，都是多项式。多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。例如：多项式2a²-3a+1中，2a²、-3a、1是它的项，1是常数项。多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如：多项式2a²-3a+1中，次数最高项是2a²，次数是2，所以这个多项式的次数是2。整式的定义：单项式和多项式统称为整式。2.2整式的加减2.2.1同类项同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如：3x²y与-5x²y是同类项；-7与3是同类项。判断同类项的标准：1.所含字母相同；2.相同字母的指数也分别相同。两者缺一不可。2.2.2合并同类项合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。例如：3x²y+(-5x²y)=(3-5)x²y=-2x²y；7a+3a²+2a-a²+3=(7a+2a)+(3a²-a²)+3=9a+2a²+3。合并同类项的步骤：1.找出多项式中的同类项；2.将同类项的系数相加；3.字母和字母的指数保持不变。2.2.3去括号法则在进行整式加减时，有时会遇到带有括号的式子。去括号是化简的重要步骤。去括号法则：1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；例如：+(a-b+c)=a-b+c。2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。例如：-(a-b+c)=-a+b-c。注意：去括号时，要将括号外的因数与括号内的每一项都相乘。2.2.4整式的加减运算法则整式的加减的实质就是合并同类项。如果有括号，要先去括号，再合并同类项。整式加减的一般步骤：1.根据去括号法则去括号；2.找出同类项；3.按照合并同类项法则合并同类项。例题：求多项式3a²-2ab+b²与-2a²+ab-3b²的和。解答：