聚焦运算本质发展模型思想：小学四年级《乘法结合律》探究性学习设计

聚焦运算本质，发展模型思想：小学四年级《乘法结合律》探究性学习设计

  一、设计理念与理论支撑

  本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是运算能力、推理意识及模型观念。我们摒弃对运算定律“告知—验证—应用”的传统线性教学路径，转而采用“基于真实问题发现猜想—通过多元表征探究本质—在复杂情境中迁移创造”的探究性学习模式。设计深刻认识到，运算定律的教学绝非单纯记忆公式、提高计算技巧，其核心价值在于让学生经历数学化的过程，体会运算本身的一致性，理解算理，掌握算法，并初步形成以数学模型理解和简化现实世界的思维方式。因此，本课将着力于引导学生在解决真实、复杂问题的需求驱动下，主动观察、大胆猜想、严谨验证、抽象概括，最终实现对乘法结合律的意义建构与灵活应用，为后续学习乘法分配律及更复杂的运算奠定坚实的思维基础。

  本设计的理论框架融合了建构主义学习理论、社会文化理论以及项目化学习（PBL）的核心理念。学习被视作学生在已有认知结构（如加法结合律、乘法的意义）基础上，通过积极参与社会性互动（小组合作、全班辩论）和操作实践，主动建构新知识的意义的过程。我们创设一个具有挑战性的、源自真实世界的“工程背景”，将数学知识嵌入其中，使学习始于真实需求，终于问题解决，从而提升学习的内驱力与迁移力。

  二、课标与教材分析

  在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，本课内容归属于“数与代数”领域中的“数与运算”主题。课标明确要求：“探索并掌握运算律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律），能用字母表示运算律，形成一定的运算能力。”其中，“探索”是关键词，强调学生应经历从具体到抽象的过程；“掌握”意味着理解其算理并能在恰当情境中应用；“用字母表示”则指向了初步的符号意识与模型概括。本课是学生系统学习运算定律的第二个（继加法结合律之后），它在整个小学阶段运算教学中起着承上启下的关键作用：承上，是对加法结合律探究方法的迁移与深化；启下，是为理解运算的通用性质（如推广到三个以上因数）、灵活选择算法以及学习乘法分配律提供认知框架。

  以北师大版小学数学四年级上册教材为蓝本进行分析。教材通常在编排上，先通过一个具体的生活情境（如搭积木、包装礼品盒等）引出算式，引导学生计算并观察算式的异同，进而发现规律，然后用字母进行表示，最后进行简便计算练习。这种编排逻辑清晰，但情境相对简单、封闭，问题的挑战性和开放性不足，易使探究过程流于形式。本设计在充分尊重教材知识脉络的基础上，对情境、任务、探究路径进行深度重构与拓展。我们将一个简单的“数方块”或“算盒数”情境，升级为一个整合了测量、估算、规划等元素的微型“工程项目”，并引入了“运算意义理解”、“几何直观支撑”、“反例辨析”等深度思考环节，旨在引导学生在更复杂的认知冲突和更开阔的思维空间中，实现对乘法结合律的深度理解。

  三、学情分析

  本课的教学对象是四年级上学期的学生。从认知发展来看，他们正处于由具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，抽象逻辑思维能力开始发展，但仍需具体事物和表象的支持。从知识储备来看，学生已经熟练掌握了两位数乘两位数的笔算，理解了乘法的意义（求几个相同加数的和），并且刚刚学过了加法结合律，对“结合”的操作有初步体验，也经历了“观察算式—发现规律—举例验证—字母表示”的探究过程。这为本课的学习提供了良好的方法迁移基础。

  然而，潜在的学习障碍也需要审慎预判：第一，迁移的负效应。部分学生可能机械类比加法结合律，错误地认为“先乘前两个数”与“先乘后两个数”只是改变了运算顺序，而未能深刻理解这种顺序改变为何不改变积的本质——即乘法是求几个几的和，无论怎样“结合”，总数（总份数）与每份数都保持不变。第二，形式化理解。学生容易满足于记住字母公式(a×b)×c=a×(b×c)，并在标准题型中套用，但面对需要识别、创造结合律使用情境的复杂问题时，往往缺乏敏感性和灵活性。第三，与交换律的混淆。在学习乘法交换律之后，学生可能将交换与结合的操作混淆，导致应用错误。

  因此，教学设计必须着力于：1.强化算理理解，借助几何模型（如面积模型、阵列模型）将抽象运算直观化，揭示“结合”不改变“总量”的数学本质；2.设计多层次、开放性的应用任务，促使学生在辨别、选择、优化策略中发展数感与推理能力；3.设置对比辨析环节，明确交换律与结合律在改变什么（因数位置/运算顺序）及不改变什么（积）上的根本区别。

  四、学习目标

  基于以上分析，设定如下三维学习目标：

  1.知识与技能目标：经历发现问题、提出猜想、验证结论的完整探究过程，理解并掌握乘法结合律的意义；能用字母正确表示乘法结合律；能在实际计算中，有意识地观察算式特征，合理运用乘法结合律进行简便运算，初步体会其优化计算的价值。

  2.过程与方法目标：通过操作学具、绘制几何示意图、列举算式等多种表征方式，发展几何直观能力和初步的模型思维能力；在小组合作探究中，学会清晰表达自己的思考过程，并能对他人的观点进行有根据的质疑或补充，提升合作交流与数学语言表达能力。

  3.情感、态度与价值观目标：在解决富有挑战性的“工程”问题过程中，体验数学与生活的紧密联系，感受数学的实用价值；在探究规律的过程中，获得成功的体验，增强学习数学的自信心和兴趣；初步养成严谨求实、乐于探索的科学态度。

  五、教学重难点

  教学重点：引导学生自主发现、验证并概括乘法结合律，理解其数学本质。

  教学难点：1.从数学本质上理解“结合”为何不改变运算结果（算理理解）；2.在复杂、非标准情境中，灵活、创造性地识别和应用乘法结合律，实现计算策略的优化。

  六、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（含项目背景视频、动态几何演示、分层练习题）；探究学习任务单（每人一份）；三种不同颜色的磁性小方块（或替代教具）若干；实物投影仪。

  2.学生准备：每小组一套学具（如乐高积木块，或印有网格的纸片、彩色贴纸）；直尺；彩色笔。

  七、教学过程

  （一）创设情境，提出问题——在真实挑战中引发认知冲突（预计用时：12分钟）

  1.项目驱动，导入新课。

  教师播放一段简短的视频或展示图片：学校“创客空间”计划为三年级同学定制一批“数学魔方”作为活动奖品。这个“魔方”是一个大的长方体组合教具，它由许多个相同的小正方体木块粘合而成。视频中呈现设计师的初步构想：这个长方体教具，一层一层地看，每层有（5×4）个小木块；一共可以堆3层。

  教师提出问题：“作为项目助理，我们需要帮助采购部门精确计算，制作这样一个‘数学魔方’，总共需要多少个小正方体木块？你能列出算式吗？”

  学生通常能列出两种算式：先算一层有多少个，再算3层总数，即(5×4)×3；或者先算一列（从下到上）有多少个（因为一层有5列，每列有4个高？这里需要澄清），教师引导学生从不同角度观察：也可以看作先算一个“侧面”有多少个，再…此时可能产生分歧。教师顺势引导：“看来从不同角度观察，列出的算式顺序可能不同。我们先用(5×4)×3这个思路来算一下。”

  2.深化问题，制造冲突。

  教师接着提出项目的新需求：“设计师后来优化了方案，为了更稳固，他决定改变内部结构。现在，小木块是这样组合的：先把每4个小木块粘成一根‘小柱’，然后用这样的‘小柱’来拼。”教师用教具演示：先拿出4个同色方块粘在一起（示意），然后说：“这样的‘小柱’，我们需要做5根，并排摆成一层。最后，这样的层需要做3层。”

  教师提问：“按照这个新的制作流程，总块数又该怎么算呢？请用算式表示你的思考过程。”

  学生可能会列出：先算一根“小柱”的块数（1×4，可简写为4），再算一层有5根，即4×5，再算3层，即(4×5)×3。也有学生可能从整体数量考虑，先算需要多少根“小柱”？5×3=15根，每根4块，总数为(5×3)×4。

  教师将学生不同的算法板书在黑板上，例如：(5×4)×3，5×(4×3)，(5×3)×4。

  教师追问：“这些算式都是在计算什么？（总木块数）那么，这些不同的算式，计算的结果会相等吗？为什么？你能不能用手中的学具，摆一摆、画一画，向你的组员解释清楚，为什么(5×4)×3和5×(4×3)的结果一定是相等的？”

  【设计意图】通过创设一个真实的、有连续性的“项目”情境，将抽象的数学问题具象化、任务化。改变“结合”方式的设计，自然引出了运算顺序不同的算式，制造了认知冲突，激发了学生验证和解释的欲望。让学生从项目执行者的角度思考问题，增强了代入感和学习的目的性。

  （二）合作探究，建构模型——在多元表征中探寻运算本质（预计用时：20分钟）

  1.多元表征，验证猜想。

  学生以4人小组为单位，利用手中的学具（小积木或网格纸）和彩笔，通过“实物操作”、“画图表征”、“语言表述”、“算式记录”四种方式，来验证(5×4)×3与5×(4×3)是否相等，并尝试解释其道理。

  教师巡视指导，关注不同层次学生的表现，并提示思考方向：

  *（对操作困难的学生）：“你能先用一种颜色的方块，摆出(5×4)×3表示的样子吗？再用另一种颜色，摆出5×(4×3)表示的样子。看看它们占的地方大小一样吗？”

  *（对能摆出的学生）：“除了摆，你能在方格纸上画出这两个长方体的样子吗？标注出长、宽、高分别对应算式的哪一部分？”

  *（对能画出的学生）：“你能用一段话，向别人解释清楚，为什么不管先算哪两个数的积，最后的总块数都不变吗？”

  2.交流分享，聚焦本质。

  请2-3个小组上台展示他们的验证过程和解释。预计学生的解释会从具体走向抽象：

  *层次一（实物对照）：“我们组用蓝色方块按第一种方法摆了一个大长方体，又用红色方块按第二种方法摆了一个，发现它们一样大，所以块数一样多。”

  *层次二（几何直观）：“我们在纸上画了两个长方体。第一个，先算一层5×4=20个，画一个长5格、宽4格的长方形表示一层，再画这样的3层。第二个，先算一列4×3=12个，我们画了一个宽4格、高3格的长方形面，再把这样的面5份。我们发现，它们其实是同一个长方体，只是看的方向不一样！所以体积一样，块数一样。”

  *层次三（意义推理）：“乘法是求总数。第一种，(5×4)×3，是先把每层的20块看成一份，有这样的3份，所以是20×3。第二种，5×(4×3)，是把每列的12块看成一份，有这样的5份，所以是12×5。因为总块数没变，只是我们‘打包’计算的方式变了，所以结果相等。”

  教师利用课件，动态演示从不同视角观察同一个长方体的过程，将学生的语言描述与几何模型、乘法意义紧密结合起来。并板书核心发现：运算顺序不同，但乘数的总数不变，所以积不变。

  3.举例验证，初步归纳。

  教师引导：“我们刚才通过一个特例（5，4，3）发现了这个有趣的现象。这是不是一个普通的规律呢？请每个小组再任意举出三个不同的数，像刚才一样，用你们喜欢的方法验证一下，看看是否都有这样的规律。”

  小组活动后，快速收集几个例子板书。教师可以故意提问：“有没有同学找到反例？三个数相乘，改变结合的顺序，结果不相等的？”在得到否定的回答后，教师指出：“看来，在大量的例子中，这个规律都成立。我们可以初步相信它。”

  4.抽象概括，符号建模。

  教师提问：“这个规律怎么用数学语言简洁地表达出来呢？能不能像我们表示加法结合律那样，也用字母来表示？”

  引导学生尝试表达：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，它们的积不变。

  学生尝试用字母表示，如(a×b)×c=a×(b×c)。教师强调字母的概括性，并指出这里的a、b、c可以代表任何我们学过的数（目前是正整数，为后续学习小数、分数留伏笔）。

  教师揭示课题：“这个规律在数学上叫作‘乘法结合律’。”并完整板书字母表达式及文字叙述。

  【设计意图】此环节是本节课的核心。通过“操作—画图—语言—符号”的多元表征，让学生从具体经验逐步抽象到形式化表达，完整经历了数学建模的过程。几何直观（长方体模型）的引入至关重要，它为学生理解“结合”的本质（改变计数单位，不改变总量）提供了强有力的认知锚点。小组合作与全班分享，促进了思维的社会性建构。

  （三）对比辨析，深化理解——在概念网络中明确律法内涵（预计用时：8分钟）

  1.对比联系。

  教师将加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)与乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)的字母式并列板书。

  提问：“比较一下，这两个运算定律有什么相同和不同之处？”

  引导学生发现：相同点——都是“结合律”，改变了运算的顺序，但不改变运算的结果；结构形式类似。不同点——运算不同（加法vs.乘法）；名称不同。

  2.辨析防错。

  教师出示两组易混淆的式子：

  第一组：25×4=4×25（这是什么律？——交换律）

  第二组：(25×4)×5=25×(4×5)（这是什么律？——结合律）

  提问：“交换律和结合律改变的是什么？不改变的又是什么？”引导学生总结：交换律改变因数的“位置”，结合律改变的是运算的“顺序”（即先算哪一部分）。它们都不改变最终的计算结果。

  教师可以进一步出示：25×4×5。提问：“如果不改变数的位置，只通过加括号来改变运算顺序，你能变出几种不同的算式？它们都运用了什么律？”（(25×4)×5,25×(4×5)，运用了结合律）“如果我想把25和5交换位置，需要用到什么律？”（交换律）

  【设计意图】通过与已学加法结合律的对比，形成知识网络；通过辨析交换律与结合律，明确各自的内涵与外延，防止后续应用中的混淆，深化对两者本质区别的理解。

  （四）迁移应用，拓展升华——在策略优化中发展运算能力（预计用时：15分钟）

  本环节设计分层、递进的应用练习，旨在引导学生从“识别规律”走向“主动应用”，再到“策略优化与创造”。

  1.基础应用层：简便计算，感受价值。

  *计算：125×7×8。提问：“观察算式的特点，怎样计算最简便？依据是什么？”引导学生发现125×8=1000这个“好朋友数”组合，并讨论是先运用交换律交换7和8的位置，再运用结合律先算125×8，还是直接运用结合律。明确在实际中，交换律与结合律常常协同使用。

  *计算：25×（37×4）。让学生独立完成，并说明简算步骤及依据。

  此层次目标是巩固用字母公式的基本形式，体会结合律可以使计算简便。

  2.综合辨析层：判断选择，明晰条件。

  *判断下列哪些算式运用了乘法结合律？（是的打√，并指出如何结合；不是的打×）

   (1)(3×5)×8=3×(5×8)（√）

   (2)4×6×25=4×25×6（×，主要运用了交换律）

   (3)9×(10×5)=(9×10)×5（√）

   (4)12×5×2=12×(5×2)（√）

  *选择：计算4×29×25，最简便的方法是（）。

   A.(4×25)×29 B.(4×29)×25 C.4×(29×25)

   引导学生分析比较，体会“凑整”的优化思想。

  3.问题解决层：回归项目，灵活创造。

  *回到最初的“数学魔方”项目。教师提出：“采购员发现，小木块的零售单价是2元。如果我们要定制15个这样的魔方，采购总费用如何列式快速估算？”引导学生列出总块数算式，再乘单价。即：[(5×4)×3]×15×2。提问：“你能运用今天所学的知识，重新‘结合’这些乘数，使计算变得更简单吗？”鼓励学生尝试不同的结合方式，如先算5×2=10，4×15=60等，在尝试中体会结合律的灵活性与优化计算的强大功能。

  *拓展问题：“魔方的设计还在迭代。如果每个小木块的棱长是2厘米，你能算出这个魔方教具的体积吗？列出算式，并思考如何计算更简便。”引出体积计算：5×2×(4×2)×(3×2)。这虽然涉及连乘，但可以通过结合律将2结合在一起计算，即(5×4×3)×(2×2×2)，进一步感受结合律在解决复杂问题时的作用。

  4.开放挑战层：逆向思考，设计算式。

  *任务：请你自己设计一道能运用乘法结合律进行简便计算的题目，要求至少包含三个乘数，且通过“结合”能产生诸如整十、整百、整千的数，使计算简便。写出原算式和简便计算过程。

   此任务开放性强，鼓励学生成为问题的设计者，从应用走向创造，深化对数与运算关系的理解。

  【设计意图】应用环节摒弃了机械重复的练习题海，设计了从“巩固”到“辨析”到“解决真实问题”再到“创造”的螺旋上升路径。特别是回归项目情境的复杂问题，使学生体会数学知识的工具性价值。开放挑战任务则赋予了学生主动权，有效发展了其数感和策略性思维。

  （五）总结反思，延伸展望——在梳理展望中升华模型观念（预计用时：5分钟）

  1.学生自主总结。

  教师引导：“回顾我们今天这节‘项目攻关课’，你有哪些收获？”鼓励学生从知识（学到了什么定律、如何表示）、方法（我们是怎样发现这个规律的）、体验（有哪些感受）等多个角度进行总结。

  2.教师提炼升华。

  教师总结：“今天，我们像数学家一样，从一个真实的问题出发，通过操作、观察、猜想、验证，发现了乘法运算中的一个重要规律——结合律。更重要的是，我们理解了它的本质：改变的是‘打包’计算的方式，不变的是总数的‘灵魂’。我们还体会到，它不仅是书本上的一个公式，更是我们解决实际问题、优化计算过程的强大工具。数学规律，源于现实，用于现实。”

  3.布置分层作业与预告。

  *基础作业（必做）：完成课本相关练习题，巩固用字母表示定律及基本简便计算。

  *实践作业（选做A）：寻找生活中或其它学科学习中，可以用乘法结合律来解释或简化计算的例子，记录下来。

  *探究作业（选做B）：猜想一下，如果是四个数相乘，比如a×b×c×d，运用结合律可以有哪些不同的计算顺序？它们的结果还会相等吗？为什么？（可以画图或举例说明）

  教师预告：“今天，我们独立研究了乘法的结合律。在乘法运算中，还有一个更强大、应用更广泛的‘超级定律’，它能把乘法和加法联系起来。我们下次课一起来揭开它的神秘面纱。”

  【设计意图】总结不仅回顾知识，更升华探究过程与思想方法。分层作业尊重差异，满足不同学生的需求。实践作业连接生活与其他学科，探究作业指向规律的一般化，激发学有余力学生的探索欲。预告则为下一课“乘法分配律”埋下伏笔，建立单元整体学习期待。

  八、板书设计

  板书采用思维导图与要点结合的形式，力求清晰反映探究历程与知识结构。

  聚焦运算本质，发展模型思想

  ——乘法结合律探究之旅

  一、项目问题：计算“数学魔方”总块数

      观察角度不同→算式不同

      (5×4)×3   5×(4×3)  (5×3)×4

      （结果相等吗？）

  二、探究验证（我们的方法）

      操作学具  →  画图示意  →  意义解释

      （同一个长方体，不同视角）

  三、发现规律（我们的结论）

      三个数相乘，先乘前两个，再乘第三个数；

      或者先乘后两个，再乘第一个数，积不变。

      本质：改变“结合”方式，不改变总数。

  四、抽象建模（数学表达）

      乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

  五、对比辨析

    加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

    相同：改变运算顺序，不改变结果。

    不同：运算不同。

    vs.乘法交换律：改变因数位置。

  六、核心应用

      凑整简便：如125×7×8=(125×8)×7

      灵活解决问题

  九、作业设计（具体内容略，见教学过程第五部分）

  十、教学反思与评价设计

  1.