2026年《概率论与数理统计》课后习题附答案

2026年《概率论与数理统计》课后习题附答案1.某城市智能手表用户睡眠质量监测数据显示，用户夜间深度睡眠时长X（单位：小时）服从正态分布N(μ,σ²)。已知随机抽取10名用户的深度睡眠时长为：3.2,4.1,3.8,4.5,3.6,4.3,3.9,4.0,3.7,4.2。（1）计算样本均值X̄和样本方差S²；（2）若σ²=0.25，求μ的95%置信区间；（3）若σ²未知，求μ的95%置信区间（t₀.₀₂₅(9)=2.262）。答案：（1）样本均值X̄=(3.2+4.1+3.8+4.5+3.6+4.3+3.9+4.0+3.7+4.2)/10=39.3/10=3.93；样本方差S²=[(3.2-3.93)²+(4.1-3.93)²+…+(4.2-3.93)²]/(10-1)=[0.5329+0.0289+0.0289+0.3249+0.1089+0.1369+0.0064+0.0049+0.0529+0.0729]/9=(1.299)/9≈0.1443。（2）σ²=0.25，σ=0.5，置信水平95%，Z₀.₀₂₅=1.96，置信区间为X̄±Z₀.₀₂₅(σ/√n)=3.93±1.96(0.5/√10)=3.93±0.309，即(3.621,4.239)。（2）σ²=0.25，σ=0.5，置信水平95%，Z₀.₀₂₅=1.96，置信区间为X̄±Z₀.₀₂₅(σ/√n)=3.93±1.96(0.5/√10)=3.93±0.309，即(3.621,4.239)。（3）σ²未知，用t分布，t₀.₀₂₅(9)=2.262，置信区间为X̄±t₀.₀₂₅(9)(S/√n)=3.93±2.262(√0.1443/√10)=3.93±2.262(0.38/3.162)≈3.93±0.270，即(3.660,4.200)。（3）σ²未知，用t分布，t₀.₀₂₅(9)=2.262，置信区间为X̄±t₀.₀₂₅(9)(S/√n)=3.93±2.262(√0.1443/√10)=3.93±2.262(0.38/3.162)≈3.93±0.270，即(3.660,4.200)。2.某电商平台用户下单后，物流延迟的概率为0.15。若某天有500个独立订单，用中心极限定理近似计算物流延迟订单数超过80的概率（Φ(1.645)=0.95，Φ(1.96)=0.975）。答案：设延迟订单数为X，X~B(n=500,p=0.15)，则E(X)=np=75，Var(X)=np(1-p)=63.75，σ=√63.75≈7.984。由中心极限定理，X近似服从N(75,63.75)，标准化得Z=(X-75)/7.984。P(X>80)=P(Z>(80-75)/7.984)=P(Z>0.626)≈1-Φ(0.63)≈1-0.7357=0.2643。3.设随机变量X的概率密度为f(x)=k(1-x²)，-1≤x≤1，其他为0。（1）求常数k；（2）求X的分布函数F(x)；（3）计算P(|X|≤0.5)。答案：（1）由∫₋∞^∞f(x)dx=1，得∫₋₁¹k(1-x²)dx=k[xx³/3]₋₁¹=k[(1-1/3)-(-1+1/3)]=k(4/3)=1，故k=3/4。（1）由∫₋∞^∞f(x)dx=1，得∫₋₁¹k(1-x²)dx=k[xx³/3]₋₁¹=k[(1-1/3)-(-1+1/3)]=k(4/3)=1，故k=3/4。（2）当x<-1时，F(x)=0；当-1≤x≤1时，F(x)=∫₋₁^x(3/4)(1-t²)dt=(3/4)[tt³/3]₋₁^x=(3/4)[xx³/3(-1+1/3)]=(3/4)(xx³/3+2/3)=(3x/4)(x³)/4+1/2；当x>1时，F(x)=1。（3）P(|X|≤0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=[(30.5/4)-(0.5³)/4+1/2][(3(-0.5)/4)-((-0.5)³)/4+1/2]（3）P(|X|≤0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=[(30.5/4)-(0.5³)/4+1/2][(3(-0.5)/4)-((-0.5)³)/4+1/2]=[0.3750.03125+0.5][-0.375+0.03125+0.5]=0.843750.15625=0.6875。4.某新能源汽车电池续航里程Y（单位：公里）服从指数分布，已知其平均续航为400公里。（1）求Y的概率密度f(y)；（2）求电池续航超过500公里的概率；（3）若电池已使用400公里仍未衰减，求其续航超过800公里的概率。答案：（1）指数分布均值1/λ=400，故λ=1/400，f(y)=(1/400)e^(-y/400)，y>0。（2）P(Y>500)=∫₅₀₀^∞(1/400)e^(-y/400)dy=e^(-500/400)=e^(-1.25)≈0.2865。（3）无记忆性，P(Y>800|Y>400)=P(Y>400)=e^(-400/400)=e^(-1)≈0.3679。5.设总体X的概率分布为P(X=1)=θ²，P(X=2)=2θ(1-θ)，P(X=3)=(1-θ)²，其中θ∈(0,1)未知。现抽取容量为3的样本，观测值为(1,2,3)，求θ的极大似然估计值。答案：似然函数L(θ)=P(X=1)P(X=2)P(X=3)=θ²2θ(1-θ)(1-θ)²=2θ³(1-θ)³。答案：似然函数L(θ)=P(X=1)P(X=2)P(X=3)=θ²2θ(1-θ)(1-θ)²=2θ³(1-θ)³。取对数得lnL=ln2+3lnθ+3ln(1-θ)，求导得d(lnL)/dθ=3/θ3/(1-θ)=0，解得θ=1/2。故极大似然估计值为θ̂=1/2。6.某医院记录了10名患者的康复时间（单位：天）：12,15,10,14,13,16,11,17,12,14。假设康复时间服从正态分布N(μ,σ²)，检验是否有理由认为μ≠13（α=0.05，t₀.₀₂₅(9)=2.262）。答案：H₀:μ=13，H₁:μ≠13。样本均值X̄=(12+15+10+14+13+16+11+17+12+14)/10=134/10=13.4；样本方差S²=[(12-13.4)²+…+(14-13.4)²]/9=(1.96+2.56+11.56+0.36+0.16+6.76+5.76+12.96+1.96+0.36)/9=44.4/9≈4.933，S≈2.221。检验统计量t=(X̄-μ₀)/(S/√n)=(13.4-13)/(2.221/√10)=0.4/(0.702)≈0.569。|t|=0.569<t₀.₀₂₅(9)=2.262，故不拒绝H₀，无理由认为μ≠13。7.袋中有3个红球，2个白球，每次从中不放回取1球，直到取到白球为止。设取球次数为X，求X的分布律、期望和方差。答案：X可能取值1,2,3,4（最多取4次必取到白球）。P(X=1)=2/5；P(X=2)=(3/5)(2/4)=3/10；P(X=3)=(3/5)(2/4)(2/3)=1/5；P(X=4)=(3/5)(2/4)(1/3)(2/2)=1/10。期望E(X)=1(2/5)+2(3/10)+3(1/5)+4(1/10)=0.4+0.6+0.6+0.4=2；期望E(X)=1(2/5)+2(3/10)+3(1/5)+4(1/10)=0.4+0.6+0.6+0.4=2；E(X²)=1²(2/5)+2²(3/10)+3²(1/5)+4²(1/10)=0.4+1.2+1.8+1.6=5；E(X²)=1²(2/5)+2²(3/10)+3²(1/5)+4²(1/10)=0.4+1.2+1.8+1.6=5；方差Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=5-4=1。8.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e^(-x-y),x>0,y>0；0,其他}。（1）求X和Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否独立；（3）计算P(X+Y≤1)。答案：（1）f_X(x)=∫₋∞^∞f(x,y)dy=∫₀^∞e^(-x-y)dy=e^(-x)∫₀^∞e^(-y)dy=e^(-x)（x>0），其他为0；同理f_Y(y)=e^(-y)（y>0），其他为0。（2）f(x,y)=e^(-x-y)=f_X(x)f_Y(y)，故X与Y独立。（3）P(X+Y≤1)=∫₀¹∫₀^(1-x)e^(-x-y)dydx=∫₀¹e^(-x)[∫₀^(1-x)e^(-y)dy]dx=∫₀¹e^(-x)(1-e^(-(1-x)))dx=∫₀¹(e^(-x)-e^(-1))dx=[-e^(-x)-xe^(-1)]₀¹=(-e^(-1)-e^(-1))-(-1-0)=1-2e^(-1)≈1-0.7358=0.2642。9.某工厂生产的零件长度服从正态分布N(μ,0.04)，技术改进后，抽取10个零件，长度（单位：mm）为：10.1,10.3,10.2,10.4,10.0,10.5,10.3,10.2,10.1,10.4。检验改进后均值是否显著提高（α=0.05，Z₀.₀₅=1.645）。答案：H₀:μ≤μ₀=原均值（假设原均值为10.0），H₁:μ>10.0；样本均值X̄=(10.1+10.3+…+10.4)/10=102.5/10=10.25；检验统计量Z=(X̄-μ₀)/(σ/√n)=(10.25-10.0)/(0.2/√10)=0.25/(0.0632)≈3.956；Z=3.956>Z₀.₀₅=1.645，拒绝H₀，认为改进后均值显著提高。10.设随机变量X~N(2,4)，Y=3X-1，求：（1）Y的概率密度f_Y(y)；（2）P(Y>5)；（3）Cov(X,Y)。答案：（1）X~N(2,4)，则Y=3X-1~N(32-1,3²4)=N(5,36)，故f_Y(y)=(1/(6√2π))e^(-(y-5)²/(236))=(1/(6√2π))e^(-(y-5)²/72)。（1）X~N(2,