人教版小学数学四年级下册核心素养导向知识清单

人教版小学数学四年级下册核心素养导向知识清单一、数与代数领域：四则运算与运算定律（一）四则运算的意义与各部分关系【基础】▲在第一学段感性认识的基础上，本册对加、减、乘、除四种运算的意义进行抽象概括，这是构建整数运算体系的关键一步，也是后续学习小数、分数运算的基石。1、加法的意义：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。在减法中，已知的和叫做被减数，其中的一个加数叫做减数，求得的另一个加数叫做差。减法是加法的逆运算。3、乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的数叫做因数，乘得的数叫做积。4、除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，求得的另一个因数叫做商。除法是乘法的逆运算。【考点】▲▲▲根据算式各部分间的关系求解未知数。例如：（）×5=100，求括号里的数，运用积÷一个因数=另一个因数。【易错点】★混淆加减法或乘除法之间的关系，尤其是在解方程雏形题目中，对“加数=和另一个加数”、“被减数=减数+差”等关系记忆不牢。（二）有关“0”的运算【高频考点】▲▲0在四则运算中具有特殊性，是极易出错的知识点。1、一个数加上0，还得原数。字母表示：a+0=a。2、一个数减去0，还得原数。字母表示：a0=a。3、一个数乘0，仍得0。字母表示：a×0=0。4、0除以一个非0的数，还得0。字母表示：0÷a=0（a≠0）。5、0不能做除数。这是数学中的铁律，因为0做除数无意义。【易错点】★★判断：“0除以任何数都得0”。（×）错误原因在于忽略了“任何数”包括0，而0不能做除数。正确的表述是“0除以任何非0的数都得0”。（三）四则混合运算的运算顺序【核心技能】▲▲▲这部分内容是对整数四则混合运算顺序的系统总结，并首次引入中括号“[]”，使知识体系趋于完整。1、同级运算：在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。2、两级运算：在没有括号的算式里，如果有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。（即“先乘除后加减”）3、带括号的运算：一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。【考查方式】▲▲▲直接给出算式要求脱式计算，或在应用题中要求列出综合算式。【解题步骤】“一看、二想、三算、四查”。一看清算式中都有什么运算、有几级括号；二想运算顺序；三进行规范计算；四检查数字是否抄错、符号是否遗漏、结果是否合理。【难点】★★正确理解和运用中括号。如计算：960÷[（12+36）÷4]。常见错误是去掉中括号，错误地计算为960÷48÷4。正确应为先算小括号内12+36=48，再算中括号内48÷4=12，最后算括号外960÷12=80。【非常重要】（四）运算定律与简便计算【重中之重】▲▲▲运算定律是数学运算的理论基础，掌握这些定律并能灵活运用，是培养数感和运算能力的关键。1、加法运算定律：（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b=b+a。（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c=a+(b+c)。【简算应用】▲▲针对连加算式，如27+38+73+62，运用交换律和结合律，将27和73、38和62配对，凑成整百数进行简便计算：(27+73)+(38+62)=100+100=200。2、乘法运算定律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。字母表示：a×b=b×a。（2）乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。字母表示：(a×b)×c=a×(b×c)。（3）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。字母表示：(a+b)×c=a×c+b×c。这是简便运算中最核心、最难掌握，也是考查频率最高的定律。【非常重要】【简算应用】▲▲▲a.正向应用：如(125+6)×8=125×8+6×8=1000+48=1048。b.反向应用（提取公因数）：如93×6+93×4=93×(6+4)=93×10=930。这是乘法分配律的逆运用，极其重要。c.拓展应用：如102×45=(100+2)×45=100×45+2×45=4500+90=4590；或99×56=(1001)×56=100×561×56==5544。3、减法的运算性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。字母表示：abc=a(b+c)。反之亦然。【简算应用】如=234(66+34)==134。4、除法的运算性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。字母表示：a÷b÷c=a÷(b×c)（b、c不为0）。反之亦然。【简算应用】如3000÷125÷8=3000÷(125×8)=3000÷1000=3。【易错点】★★★混淆乘法结合律与乘法分配律。如25×（40×4）应运用结合律等于25×40×4；而25×（40+4）则必须用分配律等于25×40+25×4。学生常错写成25×40×4。（五）解决问题——租船/购票策略【高频考点、难点】▲▲▲运用四则运算知识解决生活中的最优方案问题，体现了数学的优化思想。1、核心策略：（1）优先考虑人均租金便宜的方案。（2）尽可能保证没有空座，即满座，此时最省钱。（3）若出现空座，需调整方案，采用“少租一条贵船/车，增加便宜船/车”的思路进行尝试，直至找到最优解。【非常重要】2、解题步骤（以租船为例）：（1）计算每种船的人均单价，比较哪种船便宜。（2）假设全租便宜的船，列出算式，求出需要几条船以及剩余人数。（3）计算方案一（全租便宜船，剩余人租另一种船）的总价。（4）调整方案，减少一条便宜船的数量，将这部分人与之前剩余的人合并，改租另一种船，计算方案二的总价。（5）对比各方案的总价，选出最省钱的方案。【考查方式】▲▲▲给出人数和两种交通工具的限乘人数及租金，要求设计最省钱的方案。有时也以“怎样买票最合算”等形式出现。二、数与代数领域：小数的意义、性质与加减法（一）小数的意义和读写法【基础】▲小数是十进分数的另一种表示形式，是数概念的一次重要扩展。1、产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。2、意义：分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……3、计数单位：小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……每相邻两个计数单位之间的进率是10。【重要概念】▲▲理解小数每相邻两个单位间的进率是10，这与整数是一致的，体现了数系的统一性。4、数位顺序表：这是学习小数的核心工具。需熟记整数部分、小数点、小数部分的数位及对应的计数单位。特别要注意“整数部分没有最高位，小数部分没有最低位”。（二）小数的性质和大小比较【核心知识】▲▲1、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。【高频考点】▲▲▲化简小数（如把0.700化简为0.7）和改写小数（如把5改写成两位小数5.00），依据都是小数的性质。【易错点】★混淆“末尾”与“中间”。在小数点后面添0或去0，必须是在小数末尾，而不能是中间。如3.05去掉中间的0变成3.5，大小就变了。2、小数的大小比较：【方法】▲▲先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同，就比较百分位……以此类推。【易错点】★★学生常错误地认为小数位数多的数就大，如错误地认为3.56大于3.8。比较的关键是对齐数位逐位比，而不是看位数多少。（三）小数点移动引起小数大小的变化【非常重要】▲▲▲这是小数的核心规律，是学习小数乘除法计算的基础，也是单位换算的关键。1、规律：（1）小数点向右移动一位、两位、三位……相当于把原数乘10、100、1000……小数就扩大到原数的10倍、100倍、1000倍……（2）小数点向左移动一位、两位、三位……相当于把原数除以10、100、1000……小数就缩小到原数的1/10、1/100、1/1000……【记忆技巧】▲右移扩大，左移缩小；移动一位（扩大或缩小）10倍，移动两位100倍，以此类推。2、应用：（1）单位换算：把高级单位的数改写成低级单位的数，要乘进率，即小数点向右移动；把低级单位的数改写成高级单位的数，要除以进率，即小数点向左移动。这是本单元的难点。【难点剖析】★★如将3.2米换算成厘米，因为1米=100厘米，进率是100，属于高级单位（米）→低级单位（厘米），所以用3.2×100，即把3.2的小数点向右移动两位，得到320厘米。（2）解决实际问题：如一个数缩小到原来的1/100后是2.5，求原数，则需要将2.5的小数点向右移动两位，得到250。（四）小数与单位换算【高频考点、难点】▲▲▲将不同计量单位的数进行改写，需要综合运用计量单位间的进率、小数点移动规律等知识。1、单名数互化：（1）高级单位→低级单位：进率×高级单位的数。（2）低级单位→高级单位：低级单位的数÷进率。2、复名数与单名数互化：（1）复名数→单名数（用小数表示）：如5米30厘米=（）米。将低级部分（30厘米）换算成高级单位（米）：30÷100=0.3米，再与高级部分（5米）合并，得5.3米。（2）单名数→复名数：如4.06吨=（）吨（）千克。整数部分4就是4吨，小数部分0.06吨换算成低级单位千克：0.06×1000=60千克，得4吨60千克。【易错点】★★★记错进率是最大的问题。其次是小数点移动方向错误，或位数不够时不会用“0”补足。如把50克换算成千克，应除以1000，得到0.05，而不是0.5或5。（五）小数的近似数和改写【高频考点】▲▲1、求小数的近似数：【方法】▲▲用“四舍五入”法。保留整数，表示精确到个位，要看十分位；保留一位小数，表示精确到十分位，要看百分位；保留两位小数，表示精确到百分位，要看千分位……【易错点】★★近似数末尾的“0”不能去掉。如把2.995保留两位小数，应得3.00，这里的两个0表示精确到百分位，体现了近似数的精确度，去掉就变成了3，精确度变了。2、把大数改写成用“万”或“亿”作单位的数：【方法】▲▲在万位或亿位的右边点上小数点，在数的后面加写“万”字或“亿”字。如果小数末尾有0，可以根据小数的性质化简。【区别】▲改写（如=38.44万）不改变数的大小，只是计数单位变了；求近似数（如≈38万）改变了数的大小，是一个近似值。（六）小数的加法和减法【核心计算】▲▲▲1、计算法则：小数点要对齐。也就是相同数位要对齐，即把相同计数单位的数相加减。2、计算步骤：▲▲（1）小数点对齐（即数位对齐）。（2）从低位算起，按照整数加减法的法则进行计算。（3）得数的小数点要与横线上方的小数点对齐。（4）得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。3、验算：加法可用交换加数位置再算一遍或用减法验算；减法可用加法验算。4、小数加减混合运算：运算顺序与整数相同。有括号先算括号里面的，没有括号按从左到右顺序计算。5、整数运算定律推广到小数：整数加法的交换律、结合律以及减法的运算性质，对于小数加、减法同样适用。【简算应用】▲▲▲如5.42+3.781.42，可交换位置，先算5.421.42=4，再算4+3.78=7.78。【易错点】★★★（1）小数点没对齐。如计算3.8+5.24，错误写成3.8+5.24，个位对个位，十分位对十分位，应让两个小数点对齐。（2）计算结果忘记化简，如得数7.60未写成7.6。三、图形与几何领域：观察物体与三角形（一）观察物体（二）【空间观念】▲本单元是在低年级从不同角度观察实物、几何体的基础上展开的，主要是从三个不同的位置（前面、上面、左面）观察由小正方体搭成的立体图形，并画出或辨认观察到的平面图形（形状）。1、核心要求：（1）能正确辨认从不同方向（前面、上面、左面）观察到的立体图形（若干个正方体组合）的形状图。（2）能根据从两个方向观察到的平面图形，搭出或推理出这个立体图形可能的样子，体会结果的多样性。（3）能根据从三个方向观察到的平面图形，确定唯一对应的立体图形。【思维方法】▲“从体到面”的二维化与“从面到体”的三维化。这是发展空间想象力的关键过程。例如，看到从上面看到的形状，可以确定这个立体图形最底层小正方体的摆放位置；结合从左面看到的形状，可以推理出每一列可能的层高。【考查方式】▲▲连线题、画出从不同方向看到的图形、根据指令搭建立体图形、根据观察到的图形判断需要多少个小正方体等。（二）三角形的特性与分类【核心概念】▲▲▲三角形是几何学中最基本的多边形，本单元是对三角形特征的系统学习。1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。2、三角形的特征：具有稳定性。生活中广泛应用（如自行车架、电线杆支架）。【对比】▲三角形具有稳定性，平行四边形具有易变形性（不稳定性）。3、三角形的各部分名称：顶点、边、角。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。一个三角形有3条高。4、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。【高频考点】▲▲▲判断给定的三条线段能否围成三角形。通常采用“较短两边之和大于第三边”或“最长边小于另外两边之和”的方法进行快速判断。【易错点】★★学生往往忽略“任意”二字，只检查一组情况。如判断3cm、4cm、8cm的线段，3+4=7<8，显然不能围成。5、三角形的分类：【非常重要】（1）按角分：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。直角三角形：有一个角是直角的三角形。钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。（2）按边分：不等边三角形：三条边都不相等的三角形。等腰三角形：至少有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰的夹角叫顶角，腰和底的夹角叫底角。等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。它是特殊的等腰三角形，每个内角都是60°。【难点】★★理解集合关系：所有的等边三角形都是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。按角分和按边分是两种不同的分类标准，结果存在交叉。（三）三角形的内角和【重要结论】▲▲1、定理：三角形的内角和是180°。2、应用：（1）在三角形中，已知两个角的度数，可以求出第三个角的度数。（2）根据三角形内角和，可以推导出四边形的内角和是360°（连接对角线，分成两个三角形）。【考查方式】▲▲▲计算题，如在一个直角三角形中，一个锐角是35°，求另一个锐角。解决这类问题，学生要掌握三角形内角和180°这个重要性质。四、统计与概率领域：平均数与复式条形统计图（一）平均数【统计量、核心概念】▲▲▲平均数不再仅仅是“总数÷份数”的计算，更重要的它是一个用于刻画一组数据集中趋势的统计量。1、平均数的意义：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商叫做这组数据的平均数。它代表了一组数据的整体水平，是一个虚拟的数，可能不是这组数据中的某一个数。【非常重要】2、平均数的求法：（1）移多补少法：通过把多的数量移给少的数量，使各部分数量相等。这个相等的数量就是平均数。这种方法直观地体现了平均数的意义。（2）公式法：总数量÷总份数=平均数。这是最基本、最通用的方法。3、平均数的特征：（1）敏感性：任何一个数据的变化，都会引起平均数的变化。（2）区间性：平均数介于一组数据的最大值和最小值之间。（3）虚拟性：平均数不是具体某个个体的数据，而是一个代表值。【高频考点】▲▲▲（1）求平均数。（2）用平均数比较两组数据的总体情况，如比较两个班级的考试成绩。（3）根据平均数求总数：总数量=平均数×总份数。【易错点】★★平均数易受极端数据的影响。例如，游泳馆平均水深120厘米，并不意味着每个地方水深都是120厘米，可能有深坑，因此身高140厘米的小朋友游泳仍然存在危险。这是平均数在生活中的应用陷阱。【考查方式】▲▲常结合生活情境，如“平均成绩”、“平均身高”、“平均速度”等。需要注意，求平均速度时，应用总路程除以总时间，而不是将速度直接平均。（二）复式条形统计图【数据分析】▲1、意义：为了便于分析和比较两组或更多组数据，需要把两个（或多个）单式条形统计图合并成一个统计图，这就是复式条形统计图。2、特点：可以直观、清晰地比较同一项目下不同类别（或不同时间）的数据差异。3、构成：除了有横轴、纵轴、直条外，最关键的是要有图例，用以区分不同组别的数据。【考查方式】▲▲（1）根据统计表绘制复式条形统计图。（2）根据统计图回答问题，如“哪一年的差距最大？”“你还能提出什么数学问题？”等，重在考查数据分析能力和获取信息的能力。五、数学广角：鸡兔同笼（一）鸡兔同笼问题【经典数学模型、思维训练】▲▲▲“鸡兔同笼”问题是中国古代著名的数学趣题，承载了列表法、假设法等重要的数学思想方法。1、典型例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？2、解题方法：（1）列表法：逐一列举鸡和兔的数量，直到找出脚数符合条件的情况。此