人教版初中数学七年级上册《有理数的乘除法》教案

人教版初中数学七年级上册《有理数的乘除法》教案

一、课程内容解析与学情研判

1.内容解析及其地位

有理数的乘除法是继有理数的加减法之后，对有理数运算学习的进一步深化与拓展，是“数与代数”领域核心内容的重要组成部分。从数学知识体系的内在逻辑看，它承接了小学阶段非负数的乘除法运算，并将运算对象扩展到整个有理数集，完成了对算术四则运算的全面推广。其核心在于理解并掌握“符号规则”与“绝对值运算”相分离的运算原理，这一原理是后续学习有理数的乘方、实数运算乃至整个代数运算的基石。从数学思想方法层面，本单元是学生系统体验“转化与化归”、“分类讨论”、“从特殊到一般”等数学思想的关键载体。例如，将有理数乘法转化为非负数（算术）乘法与符号确定两个步骤，将除法转化为乘法，均深刻体现了化归思想；对因数符号不同情况的讨论，则是分类思想的典型应用。因此，本章内容不仅是运算技能的传授，更是数学思维结构建立的重要一环，处于承上启下的枢纽地位。

2.学情分析

教学对象为七年级上学期学生。其认知基础是：已经掌握了有理数的概念、数轴表示、绝对值以及有理数的加减法运算，对“符号”与“绝对值”的分离处理有初步体验。然而，学生面临的认知挑战是显著的：

1.心理与认知障碍：从非负数到有理数的运算扩展，需要突破原有的认知框架。尤其是“负数乘负数得正”这一规则，与学生的直观生活经验存在一定距离，容易产生“为何负负得正”的根本性质疑，这是教学的难点与关键点。

2.思维水平：学生正处于从具体运算思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。他们能够从具体例子中发现规律，但将规律抽象为一般化的数学符号语言（法则），并理解其逻辑必然性，仍需教师搭建坚实的认知脚手架。

3.易错点预判：在初学阶段，学生极易在符号确定上出错，表现为忽略符号、符号判断规则记忆混淆；在除法运算中，对“倒数”概念应用不熟，未能熟练将除法统一为乘法；在混合运算中，运算顺序混乱。

3.素养导向的教学目标

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求，结合内容与学情，制定如下三维整合的教学目标：

1.知识与技能：

1.2.理解有理数乘法、除法的意义，掌握有理数乘法、除法的运算法则。

2.3.能熟练进行有理数的乘法、除法及简单的乘除混合运算。

3.4.理解倒数的概念，会求一个有理数（0除外）的倒数。

4.5.理解乘法运算律在有理数范围内仍然成立，并能运用运算律简化运算。

6.过程与方法：

1.7.经历从实际情境和已有知识中抽象出有理数乘除法法则的过程，体会类比、归纳、分类、建模等数学思想方法。

2.8.通过“观察-猜想-验证-归纳”的探究活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力。

3.9.在运用运算律简化运算的过程中，发展运算策略选择能力。

10.情感、态度与价值观：

1.11.通过解决实际背景中的问题，感受数学与生活的密切联系，认识数学的应用价值。

2.12.在探究“负负得正”等规则合理性的过程中，培养敢于质疑、乐于探究、严谨求实的科学精神。

3.13.在克服运算困难、获得成功体验的过程中，增强学习数学的信心。

4.教学重点与难点

1.教学重点：有理数乘除法的运算法则；有理数的乘除运算。

2.教学难点：“负负得正”法则的理解与合理性认同；根据具体情况灵活选择运算顺序与运算律进行简便运算。

二、教学理念与策略选择

本设计秉持“以学生发展为中心，以素养培育为导向”的现代教学理念，强调知识的生成过程而非单纯的结果告知。具体策略如下：

1.情境-问题驱动：创设贴近学生认知的现实或数学内部情境，引出具有挑战性的核心问题（如“如何定义有理数乘法才合理？”），驱动学生主动探究。

2.探究-发现学习：设计层次分明的探究活动链，引导学生通过计算具体算式、观察算式结构、比较运算结果，自主发现符号规律与绝对值运算规律。

3.直观-抽象结合：利用数轴、温度变化、行程问题等直观模型，为抽象的符号运算提供现实或几何解释，助力学生理解法则的合理性。

4.类比-迁移建构：紧密联系小学算术乘除法、有理数加减法，运用类比启发学生猜想，通过迁移完成知识结构的同化与顺应。

5.精讲-精练-反馈：教师精讲关键点、疑难点，设计阶梯式、变式化的练习，并通过即时反馈与错例分析，巩固技能，深化理解。

三、教学资源与工具准备

1.多媒体课件（用于呈现情境、动态演示数轴模型、展示探究问题与练习）。

2.几何画板或类似动态数学软件（动态演示数轴上点的运动，直观展示乘法意义）。

3.学习任务单（印制探究表格、基础练习、拓展问题）。

4.板书设计（规划用于呈现探究脉络、核心法则、运算步骤与注意事项）。

四、教学过程实施（两课时连排，共90分钟）

第一课时：有理数的乘法

（一）创设情境，悬疑导入（约8分钟）

1.情境一（复习衔接）：一辆玩具车在东西向的直道上运动，我们规定向东为正，向西为负。若它以每秒2米的速度向东行驶3秒，则它的位置变化如何表示？（+2）×（+3）=+6（向东6米）。这是一个正数乘正数，学生易于回答。

2.情境二（引发冲突）：接上，若它以每秒2米的速度向西行驶3秒呢？（-2）×（+3）=？引导学生类比：速度负表示向西，时间正表示未来3秒，结果是向西6米，即-6。引出（负数）×（正数）的初步猜想。

3.情境三（核心挑战）：如果我们考察过去的时间呢？规定“现在之后”的时间为正，“现在之前”的时间为负。问题：若车现在的位置是原点，它以每秒2米的速度向东行驶，那么3秒前它在什么位置？引导学生分析：速度+2（向东），时间-3（3秒前）。为了找到3秒前的位置，我们需要计算（+2）×（-3）=？直观上，3秒前它应在原点西边6米处，即-6。由此引出（正数）×（负数）的猜想。

4.提出核心问题：那么，（-2）×（-3）等于多少？它表示“以每秒2米的速度向西行驶，3秒前的位置”。这结果应该是多少才符合实际？我们该如何定义有理数的乘法运算，才能保证运算律（如分配律）依然有效，并与现实意义相符？——揭示课题，明确本课核心任务：共同建构有理数乘法法则。

（二）合作探究，归纳法则（约25分钟）

活动1：探究积的符号规律

提供一组算式，学生分组计算或根据情境推理结果：

(+3)×(+4)=+12

(-3)×(+4)=-12

(+3)×(-4)=-12

(-3)×(-4)=？（暂时空缺）

引导学生横向、纵向观察：

1.观察因数符号：分小组讨论上述算式中，两个因数的符号有哪几种情况？（同为正、一正一负、同为负）。

2.猜想符号规律：根据前三个算式的结果符号，你能猜想积的符号与因数符号的关系吗？对于（-3）×（-4），根据规律，它的符号应该是什么？鼓励学生用语言描述规律（同号得正，异号得负）。

3.初步验证：尝试用情境三（时间回溯）的模型解释（-2）×（-3）：向西（-2）是速度，3秒前（-3）是时间，3秒前的位置应在东边6米（+6）。这支持了“负负得正”的猜想。或利用分配律进行数学内部验证：假设（-3）×（-4）=x，考虑算式（-3）×[(+4)+(-4)]=(-3)×0=0。根据分配律，左边也等于(-3)×(+4)+(-3)×(-4)=-12+x。因此-12+x=0，所以x=+12。这从运算律保持的角度证明了“负负得正”的合理性。

活动2：探究积的绝对值规律

再次观察上述算式，关注结果的绝对值与因数绝对值的关系。

引导学生发现：积的绝对值等于各因数绝对值的积。即|a×b|=|a|×|b|。

活动3：归纳完整法则

综合活动1和活动2的发现，请学生尝试用简练的数学语言归纳有理数乘法法则。教师引导、修正，形成板书：

有理数乘法法则：

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2.任何数与0相乘，都得0。

强调法则的两个关键步骤：一定符号，二算绝对值。

活动4：多因数相乘的符号规律拓展

出示算式：(-2)×(-3)×(-4)=？(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=？

引导学生不急于计算绝对值，先专注判断符号。组织小组竞赛：你能快速说出下列各式积的符号吗？（列举多个包含多个负因数的乘法算式）。

引导学生归纳：几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数是奇数时，积是负数。

（三）典例精析，灵活运用（约12分钟）

例1：基础计算（巩固法则）

计算：

(1)(-5)×(-6)(2)(

−

3

4

)

×

8

9

(-\frac{3}{4})×\frac{8}{9}

(−43​)×98​(3)7

×

(

−

1

3

)

7×(-\frac{1}{3})

7×(−31​)

(4)(-0.8)×0(5)(

−

1

1

2

)

×

(

−

2

3

)

(-1\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})

(−121​)×(−32​)

教学处理：学生口述或板演，强调步骤书写规范：先定符号，再算绝对值。针对(2)(5)强调带分数化为假分数、分数乘法的约分技巧。

例2：多因数运算（应用符号规律）

计算：(-2)×3×(-4)×(-5)

教学处理：引导学生先确定积的符号（三个负因数，奇数个，故积为负），再计算绝对值的乘积。对比按顺序逐次相乘与先确定符号再计算绝对值两种方法，体会后者更简捷。

（四）课堂练习，巩固内化（约10分钟）

学习任务单上的练习分层设计：

A组（基础达标）：

1.口答符号：(+7)×(-9)；(-13)×(-5)；(-1)×0.25；(-2)×(-3)×(-1)。

2.计算：(-3)×(-4)；6

×

(

−

1

2

)

6×(-\frac{1}{2})

6×(−21​)；(

−

5

12

)

×

9

10

(-\frac{5}{12})×\frac{9}{10}

(−125​)×109​；(-0.25)×(-8)。

B组（能力提升）：

1.计算：(

−

1

)

×

(

−

2

)

×

3

×

(

−

4

)

×

5

(-1)×(-2)×3×(-4)×5

(−1)×(−2)×3×(−4)×5。

2.已知|a|=3，|b|=5，且ab<0，求a×b的值。

3.在数轴上，点A表示的数是-2，点B与点A的距离是5个单位长度，且AB在原点同侧，求点B表示的数。若AB在原点异侧呢？（关联数轴与乘法意义）

教师巡视，个别辅导，收集典型错误。

（五）小结与作业（约5分钟）

小结：引导学生回顾本节课的探究历程：从实际问题出发，通过观察、猜想、验证，归纳出了有理数的乘法法则，并拓展到多个因数相乘。强调核心思想：分类讨论（符号）、化归（化为绝对值乘法）。

作业布置：

1.必做题：教材对应练习，完成A组全部，B组选做2题。

2.思考题：

1.3.除了时间、速度模型，你还能举出其他生活或科学中的例子来解释“负负得正”吗？

2.4.计算：(-1)×(-1)=?(-1)×(-1)×(-1)=?你能发现什么规律？(-1)的2023次方等于多少？（为乘方做铺垫）

第二课时：有理数的除法及乘除混合运算

（一）温故知新，类比导入（约5分钟）

1.快速回顾：有理数乘法法则是什么？如何进行多个有理数的乘法运算？

2.情境导入：已知一个长方形的面积为24平方单位，若其一边长为-6个单位（“-”可表示方向，此处理解为在数轴负方向截取的长度），求另一边的长。这需要计算24÷(-6)=？引出有理数除法。

3.回顾联系：在小学，除法是乘法的逆运算。已知积和一个因数，求另一个因数。有理数除法是否也可以这样定义？

（二）探究转化，得出法则（约20分钟）

活动1：从逆运算角度探究

填空：因为(-3)×4=-12，所以(-12)÷(-3)=__，(-12)÷4=__。

因为6×(-2)=-12，所以(-12)÷6=__，(-12)÷(-2)=__。

因为(-5)×(-7)=35，所以35÷(-5)=__，35÷(-7)=__。

组织学生计算并观察，引导发现：有理数除法，仍然满足“除以一个数，等于乘这个数的倒数”。但需先确认有理数倒数的定义。

活动2：定义倒数

结合上述填空，请学生说出4、-3、-2、-5、-7的倒数分别是多少。

归纳倒数定义：乘积是1的两个数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。求一个数（0除外）的倒数，就是求1除以这个数的商，或将其分子分母颠倒（针对分数）。

活动3：归纳除法法则

既然除法可以转化为乘法，请学生尝试直接根据乘法法则，类比推导除法法则。

教师引导对比：

乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘。

除法（除以一个不为0的数）：？

学生可能归纳出：同号得正，异号得负，绝对值相除。

验证：通过活动1的算式进行验证。

形成板书：

有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a

÷

b

=

a

×

1

b

(

b

≠

0

)

a÷b=a×\frac{1}{b}(b≠0)

a÷b=a×b1​(b=0)。

有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

强调：法则1是通用方法，尤其适用于分数除法；法则2在能整除时更快捷。两者本质一致。

活动4：辨析与比较

讨论：为什么0不能做除数？从乘法的逆运算角度和“倒数”角度分别解释。

（三）综合应用，掌握运算（约20分钟）

例3：除法基本计算

计算：

(1)(-36)÷9(2)(

−

12

25

)

÷

(

−

3

5

)

(-\frac{12}{25})÷(-\frac{3}{5})

(−2512​)÷(−53​)

(3)0÷(-8.7)(4)(

−

1

1

3

)

÷

2

5

(-1\frac{1}{3})÷\frac{2}{5}

(−131​)÷52​

教学处理：(1)用法则2，强调步骤。(2)用法则1，转化为乘法，并约分。对比两种方法，体会分数除法用法则1更普适。(3)复习0的除法。(4)带分数处理。

例4：乘除混合运算（运算顺序与符号）

计算：

(1)(

−

8

)

×

(

−

6

)

÷

(

−

4

)

(-8)×(-6)÷(-4)

(−8)×(−6)÷(−4)

(2)(

−

3

4

)

×

(

−

1

2

)

÷

(

−

2

3

)

(-\frac{3}{4})×(-\frac{1}{2})÷(-\frac{2}{3})

(−43​)×(−21​)÷(−32​)

(3)(

−

54

)

÷

(

−

9

)

÷

(

−

3

)

×

2

(-54)÷(-9)÷(-3)×2

(−54)÷(−9)÷(−3)×2

教学处理：这是本课难点。强调：

1.运算顺序：只有乘除运算时，应从左到右依次进行。这与加减混合运算顺序一致。

2.符号一次性确定：可以将所有除法转化为乘法，变成多个因数相乘，利用“负因数个数确定积的符号”的规律，一次性确定最终结果的符号，使计算更简捷。以(2)为例：原式=(

−

3

4

)

×

(

−

1

2

)

×

(

−

3

2

)

(-\frac{3}{4})×(-\frac{1}{2})×(-\frac{3}{2})

(−43​)×(−21​)×(−23​)。负因数有3个（奇数），故结果为负。再算绝对值乘积：3

4

×

1

2

×

3

2

=

9

16

\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{16}

43​×21​×23​=169​，所以结果为−

9

16

-\frac{9}{16}

−169​。

3.书写规范：强调步骤清晰，特别是除法转乘法时，要正确写出倒数。

例5：简便运算（运算律的运用）

计算：(

−

7

8

)

×

15

×

(

−

1

7

)

×

(

−

1

5

)

(-\frac{7}{8})×15×(-\frac{1}{7})×(-\frac{1}{5})

(−87​)×15×(−71​)×(−51​)

教学处理：引导学生观察算式中哪些数乘积为整数或便于约分。可利用乘法交换律和结合律，将(

−

7

8

)

(-\frac{7}{8})

(−87​)与(

−

1

7

)

(-\frac{1}{7})

(−71​)结合，15与(

−

1

5

)

(-\frac{1}{5})

(−51​)结合。先分组确定各部分的符号和数值，再相乘。体验运算律在有理数运算中依然成立，并能简化运算。

（四）深化练习，拓展思维（约10分钟）

学习任务单练习：

A组：

1.求下列各数的倒数：5,-2,2

3

\frac{2}{3}

32​,-0.25,-1。

2.计算：(-64)÷(-8)；0

÷

(

−

5

9

)

0÷(-\frac{5}{9})

0÷(−95​)；(

3

8

)

÷

(

−

9

4

)

(\frac{3}{8})÷(-\frac{9}{4})

(83​)÷(−49​)；(-1)÷(-10)×(-5)。

B组：

1.计算：(

−

81

)

÷

9

4

×

4

9

÷

(

−

16

)

(-81)÷\frac{9}{4}×\frac{4}{9}÷(-16)

(−81)÷49​×94​÷(−16)。

2.已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，|m|=3，求a

+

b

m

+

c

d

+

m

\frac{a+b}{m}+cd+m

ma+b​+cd+m的值。（综合考查相反数、倒数、绝对值、有理数运算）。

3.某冷冻厂一个冷库的室温是-2℃，现有一批食品需要在-26℃下冷藏。如果该冷库每小时能降温4℃，问几小时后能达到所需温度？（列式并计算，关注实际问题中的意义）

（五）课堂总结与作业布置（约5分钟）

总结：师生共同梳理有理数乘除法的知识结构图（可板书）：

1.核心：乘法法则、除法法则（两种形式）。

2.关键概念：倒数。

3.运算要点：顺序（从左到右）；方法（除法化乘法，符号一次性判断）；策略（运用运算律简化）。

4.思想方法：转化（除法转乘法）、分类（符号讨论）、类比（与加减法、小学乘除法类比）。

作业布置：

1.必做题：教材对应乘除法混合运算练习题。

2.综合题：设计一道包含加减乘除混合运算的题目，并给出完整解答过程，要求能体现运算顺序和简便方法。

3.探究题（选做）：查阅数学史资料，了解“负