2026年黑龙江省绥化市中考数学真题及答案解析

第1页（共1页）2026年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑。1．（3分）下列有理数中，没有倒数的是（）A．﹣2027 B．1 C．0 D．﹣12．（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（）A．x为任意实数 B．x≠1 C．x≠0 D．x＞14．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．|﹣3|＝﹣3 B．a2+2a2＝3a4 C． D．5．（3分）某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如表所示：A组67888910B组479991114下列说法正确的是（）A．两组数据的众数相等 B．A组数据的平均数大于B组数据的平均数 C．A组数据的方差小于B组数据的方差 D．A组数据的中位数大于B组数据的中位数6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（）A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣207．（3分）下列命题正确的是（）A．正五边形的外角和是540° B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C．三角形两边的和大于第三边 D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形8．（3分）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，则∠DBC的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．50°9．（3分）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有x人，可列方程为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝60m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中1.732，计算结果精确到0.1）（）A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝2，将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OA′B′，点A，B的对应点分别是点A′，B′，以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，顶点B′在第一象限对应点B″的坐标是（）A．（6，6） B．（6，2） C． D．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x轴交于A（m，0），B两点，其中2＜m＜3．则下列结论：①0；②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④；⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。13．（3分）海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为．14．（3分）分解因式：a3b﹣ab＝．15．（3分）某几何体是由棱长为1cm的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是cm2．16．（3分）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是m2（计算结果保留根号）．17．（3分）计算：．18．（3分）如图，在⊙O中，，∠ABC＝70°，则∠BOC＝．19．（3分）如图，反比例函数y与边长为10的等边三角形OAB相交于C，D两点，边OB与x轴重合，BD：OC＝1：3，则k的值是．20．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P，D分别在边AB，BC上运动，连接PC，PD．则PC+PD的最小值是．21．（3分）按一定规律排列的数据依次为2，7，14，23，34，47，…．若按此规律继续排列下去，则第n个数可以表示为（结果用含n的代数式表示）．22．（3分）已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，点E，F的对应点分别是点C，D，连接CF．当CF∥AB时，则CF的长为．三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。23．（7分）尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P．【初步探索】（1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）【拓展探究】（2）如图2，若∠AOB＝58°，连接OP，OP＝3．以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，射线OB于C，D两点，则劣弧的长度为．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代数式表示的结果）24．（7分）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题：类别参与创新实践活动的时间x（单位：小时）A0≤x＜0.5B0.5≤x＜1C1≤x＜1.5D1.5≤x＜2Ex≥2（1）本次随机调查的学生共有人，补全条形统计图．（2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数．（3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．25．（10分）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等．（1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？（2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．①乙机械手的工作速度为件/分钟，a＝．②直接写出BC所在直线的函数表达式：．③当乙机械手工作分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交直径AB于点F，交过点B的直线于点M，连接AC并延长，交MB于点N，且CN＝CM．（1）求证：BM是⊙O的切线．（2）若，OF＝4，求线段CE的长．27．（10分）综合与探究已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点O为坐标原点，作直线BC．（1）求该抛物线的解析式．（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点M，点Q的横坐标为．若△MCN的面积记作S1，△PMQ的面积记作S2，当S＝S1+S2有最大值时，求点P的坐标．（自行完成作图并解答）（3）把抛物线y＝ax2+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E是新抛物线y′对称轴与x轴的交点，点F是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标．（自行完成作图并作答）28．（11分）综合与实践【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点．【观察感知】（1）如图1，当点E，F运动到AE＝BF时，连接AF，BE．求证：△ABE≌△BAF．【探索发现】（2）如图2，连接AC，点M是AC上的一点，CM：AM＝1：2，连接AF，BE，AF与BE相交于点G，连接GM．当BE平分∠ABC，AF平分∠BAC时，且AB+AC＝2BC，试求出GM与FC的数量关系，并说明你的理由．【问题拓展】（3）如图3，当AB＝2，BC＝8时，作直线EF，若直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点D作DH⊥EF于点H，连接AH．当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写出∠DAH的正切值．（自行完成作图并作答）

2026年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑。1．（3分）下列有理数中，没有倒数的是（）A．﹣2027 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：A、﹣2027的倒数是，故不符合题意；B、1的倒数是1，故不符合题意；C、0没有倒数，故符合题意；D、﹣1的倒数是﹣1，故不符合题意．故选：C．2．（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形【解答】解：A是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，B是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，C是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，D是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意，故选：D．3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（）A．x为任意实数 B．x≠1 C．x≠0 D．x＞1【解答】解：由题可知，x﹣1≠0，解得x≠1．故选：B．4．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．|﹣3|＝﹣3 B．a2+2a2＝3a4 C． D．【解答】解：A、|﹣3|＝3，故该项不正确，不符合题意；B、a2+2a2＝3a2，故该项不正确，不符合题意；C、2，故该项不正确，不符合题意；D、2﹣1，故该项正确，符合题意；故选：D．5．（3分）某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如表所示：A组67888910B组479991114下列说法正确的是（）A．两组数据的众数相等 B．A组数据的平均数大于B组数据的平均数 C．A组数据的方差小于B组数据的方差 D．A组数据的中位数大于B组数据的中位数【解答】解：整理得A组数据为6、7、8、8、8、9、10；B组数据为4，7，9，9，9，11，14，故A组的众数为8，B组的众数为9，故选项A说法错误，不符合题意；8，x9，即A组数据的平均数小于B组数据的平均数，故选项B说法错误，不符合题意；[（6﹣8）2+（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]，[（4﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2+（11﹣9）2+（14﹣9）2]，即A组数据的方差小于B组数据的方差，故选项C说法正确，符合题意；A组的中位数为8，B组的中位数为9，故选项D说法错误，不符合题意；故选：C．6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（）A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20【解答】解：由题知，因为x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9，所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16．故选：A．7．（3分）下列命题正确的是（）A．正五边形的外角和是540° B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C．三角形两边的和大于第三边 D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形【解答】解：A、正五边形的外角和是360°，故A不符合题意；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故B不符合题意；C、此命题是真命题，故C符合题意；D、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意．故选：C．8．（3分）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，则∠DBC的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．50°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180°．∵∠C＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°．∵∠ADB：∠BDC＝1：2，∴∠BDC∠ADC，∴∠DBC＝180°﹣30°﹣100°＝50°．故选：D．9．（3分）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有x人，可列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意得：2．故选：B．10．（3分）如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝60m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中1.732，计算结果精确到0.1）（）A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝60m，∴AB＝2AC＝120207.8（m），∴探测器到目标B的距离AB约为207.8m，故选：A．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝2，将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OA′B′，点A，B的对应点分别是点A′，B′，以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，顶点B′在第一象限对应点B″的坐标是（）A．（6，6） B．（6，2） C． D．【解答】解：设OA＝AB＝x，由勾股定理得：x2+x2＝（2）2，解得：x＝2（负值舍去），∴OA＝AB＝2，由旋转的性质可知：∠OA′B′＝∠OAB＝90°，OA′＝OA＝2，A′B′＝AB＝2，∴点B′的坐标是（2，2），以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，点B′在第一象限对应点B″的坐标是（2×3，2×3），即（6，6），故选：A．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x轴交于A（m，0），B两点，其中2＜m＜3．则下列结论：①0；②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④；⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y轴交于正半轴，∴a＜0，，∴b＝4a＜0，∴，故①错误；∵b＝4a，∴b﹣4a＝0，故②错误；∵a＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴a﹣b+3c＝a﹣4a+3c＝3（c﹣a）＞0，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，5），∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝5，即4a﹣2×4a+c＝5，∴c＝4a+5，由图象可得当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴4a+8a+4a+5＞0，∴，由图象可得当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，∴9a+12a+4a+5＜0，∴，∴，故④正确；∵方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0可化为ax2+bx+c＝﹣k2x﹣k2，∴该方程的解为抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点的横坐标，∵直线y＝﹣k2x﹣k2＝﹣k2（x+1），∴该直线过定点（﹣1，0），且过第二、三、四象限，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2必有交点，∴方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．故⑤正确．综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个．故选：B．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。13．（3分）海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为3×106．【解答】解：300万＝3000000＝3×106．故答案为：3×106．14．（3分）分解因式：a3b﹣ab＝ab（a+1）（a﹣1）．【解答】解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．15．（3分）某几何体是由棱长为1cm的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是14cm2．【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何体有3个小正方体，且依次相邻，∴这个几何体的表面积是1×14＝14．故答案为：14．16．（3分）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是24m2（计算结果保留根号）．【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M，∵正六边形ABCDEF的中心为O，∴∠AOB60°，OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∵OM⊥AB，∴∠AOM∠AOB＝30°，OA＝AB＝4m，AM＝BM＝2m，∴OM2（m），∴S正六边形ABCDEF＝6S△AOB＝64×2＝24（m2）．故答案为：24．17．（3分）计算：．【解答】解：原式．故答案为：．18．（3分）如图，在⊙O中，，∠ABC＝70°，则∠BOC＝80°．【解答】解：∵，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°．故答案为：80°．19．（3分）如图，反比例函数y与边长为10的等边三角形OAB相交于C，D两点，边OB与x轴重合，BD：OC＝1：3，则k的值是．【解答】解：过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N，∵三角形ABO是等边三角形，∴∠ABO＝∠AOB＝60°．∵BD：OC＝1：3，∴令BD＝a，OC＝3a．在Rt△COM中，sin∠AOB，cos∠AOB，∴CM，OM，则点C坐标可表示为（），同理可得，点D坐标可表示为（）．∵点C和点D都在反比例函数y的图象上，∴，解得a＝0或a＝2，∵a≠0，∴a＝2，∴点C坐标为（），则k故答案为：．20．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P，D分别在边AB，BC上运动，连接PC，PD．则PC+PD的最小值是3．【解答】解：延长CA至点M，使∠ABM＝∠CBA，连接MB，过点C作CN⊥MB，交AB于点P，过点P作PD⊥BC于点D，∵∠ABM＝∠CBA，∴PD＝PN，这时PC+PD有最小值，即CN的长度，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴，∵∠ABM＝∠ABC＝30°，∴∠CBM＝∠ABC+∠ABM＝60°，∴，，∵，即，∴CN＝3，∴PC+PD的最小值是3，故答案为：3．21．（3分）按一定规律排列的数据依次为2，7，14，23，34，47，…．若按此规律继续排列下去，则第n个数可以表示为n2+2n﹣1（结果用含n的代数式表示）．【解答】解：设第n个数对应序号为n，n为正整数，将已知数据按序号整理：当n＝1时，2＝（1+1）2﹣2，当n＝2时，7＝（2+1）2﹣2，当n＝3时，14＝（3+1）2﹣2，当n＝4时，23＝（4+1）2﹣2，当n＝5时，34＝（5+1）2﹣2，当n＝6时，47＝（6+1）2﹣2，，因此可得第n个数的表达式为（n+1）2﹣2，即为n2+2n﹣1，故答案为：n2+2n﹣1．22．（3分）已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，点E，F的对应点分别是点C，D，连接CF．当CF∥AB时，则CF的长为或．【解答】解：作BG⊥CF于点G，如图所示，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AC的中点，∴，∠ABC＝45°，∴，由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，∴，∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠BCG＝45°∴，∴，∴；当点F运动到点F'时，此时CF'∥AB，同理可得，，，∴；综上所述，CF的长为或，故答案为：或．三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。23．（7分）尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P．【初步探索】（1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）【拓展探究】（2）如图2，若∠AOB＝58°，连接OP，OP＝3．以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，射线OB于C，D两点，则劣弧的长度为．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代数式表示的结果）【解答】解：（1）如图，△OMN即为所求；理由：由作图知：OC＝OD，∠ECF＝∠GFH，∴∠OCD＝∠ODC，CD∥MN，∴∠OCD＝∠OMN，∠ODC＝∠ONM，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，∴△OMN即为所求；（2）由作图知：OC＝OD＝OP＝3，∴劣弧的长度为，故答案为：．24．（7分）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题：类别参与创新实践活动的时间x（单位：小时）A0≤x＜0.5B0.5≤x＜1C1≤x＜1.5D1.5≤x＜2Ex≥2（1）本次随机调查的学生共有40人，补全条形统计图．（2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数．（3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）本次调查的学生共有10÷25%＝40（人），C类的学生有40﹣5﹣10﹣12﹣3＝10（人），补全统计图如下：．故答案为：40；（2）320120（人），答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生有120人；（3）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有4种情况．∴选取的两名同学恰好是一男一女的概率为．25．（10分）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等．（1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？（2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．①乙机械手的工作速度为20件/分钟，a＝60．②直接写出BC所在直线的函数表达式：y＝15x﹣450；．③当乙机械手工作22.5分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．【解答】解：（1）设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为（n﹣2）万元，由题意得；解得：n＝6；经检验：n＝6是原分式方程的解，B型机械手的单价：n﹣2＝6﹣2＝4（万元），答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元；（2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手（30﹣m）台，所需费用为w万元，，解得：20≤m＜30，由题意得：w＝6m+4（30﹣m）＝2m+120，∵2＞0∴w随m的增大而增大，且m取正整数，∴当m＝20时，w最小＝2m+120＝2×20+120＝160（万元），此时B型机械手：30﹣m＝30﹣20＝10（台），答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元；（3）①乙机械手的工作速度为20件/分钟，甲机械手的工作速度为15件/分钟，（2250﹣450）÷15＝120（分钟），故a＝180﹣120＝60，故答案案为：20；60；②设BC所在直线的函数表达式为yBC＝kx+b，将点（60，450），（180，2250）代入yBC＝kx+b，得，解得，∴BC所在直线的函数表达式为yBC＝15x﹣450，故答案为：y＝15x﹣450；③设乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝ax+c，将点（30，0），（180，3000）代入y＝ax+c，即，解得，∴乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝20x﹣600，结合函数图象可知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同时为450件，令y＝450代入y＝20x﹣600，即450＝20x﹣600，解得x＝52.5∴当乙机械手工作52.5﹣30＝22.5分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同，故答案为：22.5．26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交直径AB于点F，交过点B的直线于点M，连接AC并延长，交MB于点N，且CN＝CM．（1）求证：BM是⊙O的切线．（2）若，OF＝4，求线段CE的长．【解答】（1）证明：连接BC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCN＝90°，在△BNC中，∠CNB+∠NBC＝90°，∵CM⊥BD，∴∠CED＝∠BEM＝90°，在△BME中，∠EMB+∠MBE＝90°，∵CN＝CM，∴∠CNB＝∠EMB，∴∠NBC＝∠MBE；∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴BC＝BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠CBP＝∠DBP；∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°，∴2∠NBC+2∠CBP＝180°，∴∠NBC+∠CBP＝90°，∴∠ABN＝90°，∵OB为⊙O的半径，∴BM是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴PC＝PD，∠APC＝∠FPC＝90，∵，∴，；由（1）可知，∠ACP＝∠DCE，∵PC＝PC，∴△ACP≌△FCP（ASA）；∴PA＝PF，设⊙O的半径为r，∵OF＝4，∴FA＝OA+OF＝r+4，∴，；∵∠A＝∠CDB，∠ACP＝∠DBP，∴△ACP∽△DBP，∴，∴，解得，r2＝﹣8，∴；∴，在Rt△ACP中，；∵∠ACP＝∠DCE，∠A＝∠CDB，∴△ACP∽△DCE，∴，∴，解得．27．（10分）综合与探究已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点O为坐标原点，作直线BC．（1）求该抛物线的解析式．（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点M，点Q的横坐标为．若△MCN的面积记作S1，△PMQ的面积记作S2，当S＝S1+S2有最大值时，求点P的坐标．（自行完成作图并解答）（3）把抛物线y＝ax2+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E是新抛物线y′对称轴与x轴的交点，点F是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标．（自行完成作图并作答）【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴M（m，﹣m+4），∴MN＝﹣m+4，PM＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∴S＝S1+S2，∵，当m＝2时，面积有最大值．此时，﹣