陕西省西安市田家炳中学高二数学3.2.2《最大值、最小值问题》导学案（北师大选修2-2）教案

陕西省西安市田家炳中学高二数学3.2.2《最大值、最小值问题》导学案（北师大选修2-2）教案课题课时课程基本信息1.课程名称：高二数学3.2.2《最大值、最小值问题》导学案（北师大选修2-2）

2.教学年级和班级：高二年级全体学生

3.授课时间：2022年X月X日第X节课

4.教学时数：1课时核心素养目标培养学生运用数学语言描述现实问题的能力，提升逻辑推理和数学建模的核心素养。通过分析函数图像，引导学生理解函数最值的概念，学会运用导数等方法解决实际问题，增强学生的数学运算能力和解决实际问题的能力。同时，培养学生严谨的数学思维和良好的合作学习习惯。学情分析1.学生层次：本节课针对高二年级全体学生，学生具备一定的数学基础，能够理解和运用函数的基本概念和性质。但学生在解决实际问题时，往往缺乏将数学知识与实际生活相结合的能力。

2.知识方面：学生对函数的基本概念如定义域、值域、单调性等有一定的了解，但对学生而言，函数最值问题是一个相对较新的概念，需要通过具体实例和图形来加深理解。

3.能力方面：学生在逻辑推理和数学建模方面的能力有待提高，特别是在运用导数求解函数最值时，需要学生具备较强的分析问题和解决问题的能力。

4.素质方面：部分学生在学习过程中存在依赖教师讲解、缺乏自主学习的习惯，这在最大值、最小值问题的解决过程中可能影响学生的思考和实践。

5.行为习惯：学生在课堂上通常能够认真听讲，但在面对复杂问题时，部分学生可能表现出焦虑情绪，需要教师在教学中注重培养学生的自信心和解决问题的勇气。

6.对课程学习的影响：基于以上分析，教师在教学中应注重以下几点：

-引导学生将函数知识与实际生活相结合，提高学生的应用能力；

-培养学生独立思考和解决问题的能力，通过实例分析和小组讨论等形式，激发学生的学习兴趣；

-加强学生的数学思维训练，提高学生的逻辑推理和数学建模能力；

-关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在最大值、最小值问题的学习中取得进步。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、电子白板、数学教学软件

-课程平台：学校内部教学平台、在线教育资源网站

-信息化资源：函数图像绘制软件、数学公式编辑器、在线互动平台

-教学手段：PPT演示文稿、黑板板书、实例分析、小组讨论、实际问题解决任务教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们之前学习了函数的单调性，那么在现实生活中，有没有哪些问题涉及到函数的最值呢？

2.学生回答：比如，工厂生产某种产品，成本和售价与生产数量有关，我们需要找到成本和售价的最小值，以实现利润最大化。

3.老师总结：今天我们就来学习最大值、最小值问题，通过分析函数图像，掌握求解函数最值的方法。

二、新课讲授

1.老师讲解：首先，我们来看一个简单的例子，函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的最大值和最小值是多少？

2.学生思考：根据函数图像，我们可以看出，在x=0时，函数取得最小值0；在x=1时，函数取得最大值1。

3.老师总结：这个例子告诉我们，通过观察函数图像，我们可以直观地找到函数的最值。接下来，我们学习如何运用导数求解函数最值。

4.老师讲解：对于可导函数，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

5.学生练习：请同学们求出函数f(x)=x^3-3x^2+4x的导数f'(x)。

6.学生展示：f'(x)=3x^2-6x+4。

7.老师总结：接下来，我们需要找到导数f'(x)的零点，即解方程3x^2-6x+4=0。

8.学生练习：请同学们解方程3x^2-6x+4=0。

9.学生展示：方程的解为x=1和x=2/3。

10.老师讲解：我们找到了导数的零点，接下来需要判断这些零点对应的函数值是否为最值。我们可以通过比较相邻的函数值来判断。

11.学生练习：请同学们比较f(1)和f(2/3)的大小。

12.学生展示：f(1)=2，f(2/3)=4/27。

13.老师总结：由于f(1)>f(2/3)，所以x=1是函数f(x)=x^3-3x^2+4x的极大值点，x=2/3是函数的极小值点。

14.老师讲解：对于实际问题，我们通常需要找到函数的最大值或最小值。接下来，我们学习如何应用这个方法解决实际问题。

15.学生练习：请同学们分析以下问题：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=1000x+2000，售价函数为P(x)=1500x-1000x^2，求工厂的最大利润。

16.学生展示：首先，我们需要求出利润函数L(x)=P(x)-C(x)=500x-1000x^2。然后，我们求出L(x)的导数L'(x)=500-2000x。

17.老师讲解：接下来，我们需要找到L'(x)的零点，即解方程500-2000x=0。

18.学生展示：方程的解为x=1/4。

19.老师讲解：我们找到了L'(x)的零点，接下来需要判断这个零点对应的函数值是否为最大值。我们可以通过比较相邻的函数值来判断。

20.学生练习：请同学们比较L(1/4)和L(0)的大小。

21.学生展示：L(1/4)=250，L(0)=0。

22.老师总结：由于L(1/4)>L(0)，所以x=1/4是函数L(x)=500x-1000x^2的最大值点，即工厂的最大利润为250。

三、课堂小结

1.老师总结：今天我们学习了最大值、最小值问题，通过分析函数图像和运用导数求解函数最值的方法，我们能够解决实际问题。

2.学生回顾：我们学习了如何通过观察函数图像找到函数的最值，以及如何运用导数求解函数最值。

3.老师提问：同学们，你们认为在今后的学习中，如何将最大值、最小值问题应用到实际生活中呢？

4.学生回答：我们可以将所学知识应用到经济学、工程学等领域，解决实际问题。

四、布置作业

1.老师布置：请同学们完成以下作业：

-分析函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

-求解实际问题：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=2000x+3000，售价函数为P(x)=2500x-1500x^2，求工厂的最大利润。

2.学生思考：如何分析函数在指定区间上的最值，以及如何求解实际问题中的最大利润。

五、课后反思

1.老师反思：本节课通过实例分析和实际问题解决，帮助学生掌握了最大值、最小值问题的求解方法。在今后的教学中，我将更加注重培养学生的实际应用能力。

2.学生反思：通过本节课的学习，我明白了最大值、最小值问题在现实生活中的应用，以及如何运用导数求解函数最值。在今后的学习中，我将更加努力，提高自己的数学能力。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握情况：

-学生能够准确理解和描述函数最值的概念，包括极大值、极小值和拐点等。

-学生能够运用导数的基本概念和性质，识别函数的极值点。

-学生能够通过求解导数的零点来找到函数的极值点，并判断这些点的性质。

-学生能够应用导数求解实际问题中的最大值和最小值问题。

2.能力提升：

-学生在逻辑推理能力方面有所提高，能够通过分析函数的性质来推导结论。

-学生在数学建模能力方面有所增强，能够将实际问题转化为数学模型，并求解最值。

-学生在问题解决能力方面得到锻炼，能够独立思考和解决复杂的最值问题。

-学生在数学运算能力方面得到提升，能够熟练运用代数和微积分的基本运算。

3.素质培养：

-学生培养了严谨的数学思维，能够在解决问题时注重细节和逻辑性。

-学生培养了良好的合作学习习惯，通过小组讨论和协作，共同解决问题。

-学生增强了自信心，能够在面对挑战时保持积极的心态，勇于尝试新方法。

-学生提高了对数学的兴趣，认识到数学在解决实际问题中的重要性。

4.行为习惯：

-学生在学习过程中养成了自主学习的习惯，能够主动查阅资料，拓宽知识面。

-学生在课堂上更加专注，积极参与讨论，提出问题并寻求答案。

-学生在遇到困难时能够坚持思考，不轻易放弃，培养了坚持不懈的精神。

-学生在日常生活中更加注重观察和分析，能够将数学知识应用于实际生活。典型例题讲解1.例题：已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

解答过程：

首先，求函数的导数f'(x)=3x^2-12x+9。

令f'(x)=0，解得x=1或x=3。

计算f(-1)=5，f(1)=5，f(3)=1。

比较f(-1)、f(1)和f(3)的值，可知函数在区间[-1,3]上的最大值为5，最小值为1。

2.例题：某商品的成本函数为C(x)=1000x+2000，售价函数为P(x)=1500x-1000x^2，求该商品销售x个单位时的最大利润。

解答过程：

利润函数L(x)=P(x)-C(x)=500x-1000x^2。

求导数L'(x)=500-2000x。

令L'(x)=0，解得x=1/4。

计算L(1/4)=250，L(0)=0，L(1)=-750。

由于L(1/4)>L(0)且L(1/4)>L(1)，所以当销售1/4个单位时，最大利润为250。

3.例题：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=2000x+3000，售价函数为P(x)=2500x-1500x^2，求工厂的最大利润。

解答过程：

利润函数L(x)=P(x)-C(x)=500x-1500x^2。

求导数L'(x)=500-3000x。

令L'(x)=0，解得x=1/6。

计算L(1/6)=500/9，L(0)=0，L(1)=-1000。

由于L(1/6)>L(0)且L(1/6)>L(1)，所以当生产1/6个单位时，最大利润为500/9。

4.例题：已知函数f(x)=e^x-2x，求函数在区间[0,1]上的最大值和最小值。

解答过程：

求导数f'(x)=e^x-2。

令f'(x)=0，解得x=ln2。

计算f(0)=-1，f(ln2)=2-2ln2，f(1)=e-2。

比较f(0)、f(ln2)和f(1)的值，可知函数在区间[0,1]上的最大值为e-2，最小值为-1。

5.例题：某企业生产某种产品，固定成本为10000元，每件产品的变动成本为50元，售价为100元，求该企业销售多少件产品时，利润最大。

解答过程：

利润函数L(x)=100x-50x-10000=50x-10000。

求导数L'(x)=50。

由于L'(x)为常数，说明函数L(x)在整个定义域上单调递增。

因此，当销售件数x越大，利润L(x)越大。

当x=200时，L(x)取得最大值，最大利润为L(200)=50*200-10000=5000元。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-函数最值的概念：极大值、极小值、拐点

-导数的概念和性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的求法

-极值的存在条件：函数可导、导数为零或不可导点

-最值的求解方法：导数法、图像法、实际问题应用

②关键词句：

-“函数最值是函数在某一区间内取得