11届imo试题及详细答案

11届imo试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______第一题设集合A={x∈R|x^2-2x+1=0}，B={x∈R|ax=1}。若A∪B=A，则实数a的取值集合为多少？第二题在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3，b=√7，c=2，求cosB的值。第三题已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=10。求该数列的前n项和S_n的表达式。第四题定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2x+1。若f(0)=1，求f(2023)的值。第五题已知实数x、y满足x^2+y^2=1。求x^2+2y的最大值。第六题给定正整数n≥2。证明：任意n个正整数组成的集合中，必存在两个数，它们的最大公约数大于1。第七题在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a^2+b^2=2c^2。求sinA+sinB的最大值。第八题设函数f(x)=x^3-3x^2+2。求f(x)的单调区间。第九题已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+\frac{1}{a_n}（n∈N*）。证明：数列{a_n}是单调递增的。第十题在一个无限递减的等比数列中，前两项的和为3，前两项的积为2。求该数列的通项公式。第十一题已知函数f(x)=\frac{2x+1}{x-1}。求f(f(f(2023)))的值。第十二题在一个圆内接四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E。已知AB=AD，BC=CD。求证：AE=CE且BE=DE。第十三题证明：对于任意正整数n，n^3+(n+1)^3+(n+2)^3都能被9整除。第十四题设x、y、z是正实数，且满足x+y+z=1。求x^2+y^2+z^2的最小值。第十五题已知函数f(x)=x^2-ax+b。若对于任意实数x，都有f(x)≥x成立，求实数a和b的取值范围。试卷答案第一题解：A={1}。因为A∪B=A，所以B⊆A。当B=∅时，a≠0，满足条件；当B={1}时，a=1。故a的取值集合为{0,1}。第二题解：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+2^2-(√7)^2)/(2*3*2)=(9+4-7)/12=6/12=1/2。第三题解：由等差数列性质，a_4=a_1+3d。代入a_1=2，a_4=10，得10=2+3d，解得d=8/3。故S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2*2+(n-1)*8/3)=n/2*(4+8n/3-8/3)=n/2*(8n/3-4/3)=n(4n-2)/3。第四题解：令x=2022，则f(2023)=f(2022)+2*2022+1。继续递推，f(2022)=f(2021)+2*2021+1，...，f(1)=f(0)+2*0+1。将以上等式相加，得f(2023)=f(0)+2(0+1+2+...+2022)+2023。因为f(0)=1，且0+1+2+...+2022=2022*2023/2=2023*1011。所以f(2023)=1+2*2023*1011+2023=1+2023*(2022+1)=1+2023*2023=1+4092579=4092580。第五题解：令t=x^2+2y。则t=x^2+2√(1-x^2)。设x=cosθ，y=sinθ，则t=cos^2θ+2sinθ=1-sin^2θ+2sinθ=-(sinθ-1)^2+2。由于-1≤sinθ≤1，所以当sinθ=1时，t取得最大值2。第六题证明：假设任意两个数的最大公约数都不大于1。考虑任意两个相邻的整数n和n+1，它们互质，最大公约数为1，与假设矛盾。故必存在两个数，它们的最大公约数大于1。第七题解：由a^2+b^2=2c^2，得(a/c)^2+(b/c)^2=2。设k=a/c，则k^2+1/k^2=2，解得k=±1（舍去负值，因为边长为正）。故a/c=1，即a=c。由正弦定理，sinA/a=sinB/b。代入a=c，得sinA=sinB。因为a<b（由a^2+b^2=2c^2且a=c推出a^2<b^2），所以A<B。故sinA<sinB。又sinA+sinB≤√2(sinA+sinB)，所以sinA+sinB≤√2。等号成立当且仅当sinA=sinB=√2/2，即A=B=π/4。但这与a=c和a<b矛盾。所以sinA+sinB<√2。最大值为√2。第八题解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。故f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。第九题证明：证明a_{n+1}>a_n。即证a_n+1/a_n>a_n。即证1/a_n>0，显然成立。故a_{n+1}>a_n。所以数列{a_n}是单调递增的。第十题解：设公比为q。由题意，a_1+a_1q=3，a_1*a_1q=2。解得a_1=1，q=2。故通项公式为a_n=1*2^(n-1)=2^(n-1)。第十一题解：f(2023)=(2*2023+1)/(2023-1)=4047/2022。f(f(2023))=f(4047/2022)=(2*(4047/2022)+1)/((4047/2022)-1)=(8095/2022)/(2026/2022)=8095/2026。f(f(f(2023)))=f(8095/2026)=(2*(8095/2026)+1)/((8095/2026)-1)=(16191/2026)/(6075/2026)=16191/6075=53/20。第十二题证明：连接AC、BD。因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB。又因为BC=CD，所以∠BCD=∠CBD。因为∠ABD+∠BCD=∠ADB+∠CBD=180°，所以∠AEB+∠CED=180°。又∠AEB+∠BAE=180°，所以∠BAE=∠CED。在△ABE和△CDE中，∠BAE=∠CED，∠ABE=∠CDE(对角相等)，BE=DE(公共边)。故△ABE≌△CDE(角角边)。所以AE=CE且BE=DE。第十三题证明：n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=n^3+(n^3+3n^2+3n+1)+(n^3+6n^2+12n+8)=3n^3+9n^2+15n+9=3(n^3+3n^2+5n+3)。考虑n^3+3n^2+5n+3除以9的余数。当n=0时，余数为3；当n=1时，余数为8；当n=2时，余数为0；当n=3时，余数为3；当n=4时，余数为8；...由此可知，当n≡2(mod3)时，n^3+3n^2+5n+3能被9整除。又因为n(n+1)(n+2)是三个连续整数的乘积，必含因子2和3，故必能被6整除。所以n^3+3n^2+5n+3能被18整除，从而能被9整除。因此，n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除。第十四题解：由柯西不等式，(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2)≥(x+y+z)^2。因为x+y+z=1，所以x^2+y^2+z^2≥1/3。等号成立当且仅当x=y=z=1/3。第十五题解：令g(x)=f(x)-x=x^2-(a+1)x+b。要使g(x)